数学人教A版选修2-2本章整合第三章数系的扩充与复数的引入

本章整合知识网络专题探究专题一复数的实部与虚部定义的区分对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a和b分别叫做复数z的实部和虚部，一定要记清楚bi并不是虚部．如2＋i的实部为2，虚部为1，而不是i.【例1】复数eq\f(1,－2＋i)＋eq\f(1,1－2i)的虚部是()A．eq\f(1,5)iB．eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5)iD．－eq\f(1,5)解析：eq\f(1,－2＋i)＋eq\f(1,1－2i)＝eq\f(－2－i,(－2＋i)(－2－i))＋eq\f(1＋2i,(1－2i)(1＋2i))＝eq\f(－2－i,5)＋eq\f(1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)i，故虚部为eq\f(1,5).答案：B专题二纯虚数概念的理解对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数，特别要注意记清“a＝0”这一必备的前提条件．【例2】若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1B．2C．1或2D．－1解析：由纯虚数的定义，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.答案：B专题三复数的几何意义1．复数的几何意义及应用(1)复数的几何意义主要体现在以下三个方面：①复数z与复平面内的点Z及向量的一一对应关系；②复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；③复数z－z0模的几何意义．(2)复数几何意义的应用：①求复数问题转化为解析几何的求解问题；②复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化；③利用|z－z0|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z|的最值．2．复数几何意义中数形结合的思想方法复数的实质是有序实数对，也就是复平面内点的坐标．如果复数按照某种条件变化，那么复平面上的对应点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形的有机结合，成为复数问题转化为几何问题的重要途径之一．【例3】复数z＝eq\f(i,1＋i)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：化简复数z，z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(i－i2,2)＝eq\f(1＋i,2)，所以复数z对应复平面内的点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，位于第一象限．故选A．答案：A【例4】在复平面内，点P，Q分别对应复数z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，则点Q的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线解析：∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的几何意义可知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．故选B．答案：B【例5】已知等腰梯形OABC的顶点O，A，B在复平面上对应的复数分别为0,1＋2i，－2＋6i，，求顶点C所对应的复数z.提示：根据题意，画出图形，由，四边形OABC为等腰梯形，知，从而可建立方程组求得点C的坐标，即得点C所对应的复数z.解：设z＝x＋yi，x，y∈R，则顶点C的坐标为(x，y)，如图．∵，，∴kOA＝kBC，|zC|＝|zA－zB|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x2＋y2)＝\r(32＋(－4)2).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4.))∵，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4))(舍去)，故z＝－5.专题四复数代数形式的四则运算复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用．(1)(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(3)(1±i)2＝±2i，(4)eq\f(1,i)＝－i，(5)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，(6)a＋bi＝i(b－ai)．【例6】复数eq\f(i2＋i3＋i4,1＋i)等于()A．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)iB．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)iD．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i解析：eq\f(i2＋i3＋i4,1＋i)＝－eq\f(i,1＋i)＝eq\f(－i(1－i),2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.答案：D【例7】设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b