北师大版九年级数学下册 （二次函数） 教学课件

第二章

二次函数二次函数

1课堂讲解二次函数的定义二次函数的一般形式及函数值

利用二次函数的表达式表示实际问题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？回顾旧知一次函数y＝kx＋b(k≠0)正比例函数y＝kx(k≠0)反比例函数一条直线双曲线导入新知正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为y＝6x2.这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2.这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．1知识点二次函数的定义知1－导问题1n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？

比赛的场次数m＝n(n－1)，即m＝n2－n.知1－导问题2

某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？

两年后的产量y＝20(1＋x)2，即y＝20x2＋40x＋20.知1－导思考：函数y=6x2，m＝n2－n,y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？1、函数解析式是整式；2、化简后自变量的最高次数是2；3、二次项系数不为0.可以发现一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．

知1－讲定义下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2；(3)y＝3a3＋2a2；(4)y＝x－2＋x；(5)y＝3(x－2)(x－5)；(6)y＝x2＋.知1－讲例1知1－讲解：(1)y＝7x－1；×

(2)y＝－5x2；√

(3)y＝3a3＋2a2；×自变量的最高次数是1自变量的最高次数是2自变量的最高次数是3

(4)y＝x－2＋x；x－2不是整式×(5)y＝3(x－2)(x－5)；整理得到y＝3x2－21x＋30，是二次函数√

(6)y＝x2＋不是整式×知1－讲（来自《点拨》）解：

二次项系数二次项系数一次项系数常数项(2)y＝－5x2所以y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系

数为0，常数项为0.(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，

所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，

一次项系数为－21，常数项为30.下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数?知1－练（来自《教材》）1解：2(中考·兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是(

)A．y＝3x－1B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1D．y＝x2＋3下列各式中，y是x的二次函数的是(

)A．y＝B．y＝x2＋

＋1C．y＝2x2－1D．y＝4下列各式中，y是x的二次函数的是(

)A．y＝ax2＋bx＋cB．x2＋y－2＝0C．y2－ax＝2D．x2－y2＋1＝0知1－练（来自《典中点》）CCB5若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，

则(

)A．m≠－2B．m≠2C．m≠3D．m≠－36若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是(

)A．1B．－1C．1或－1D．2知1－练（来自《典中点》）BB7对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是(

)A．y＝mx2＋3x－1B．y＝(m－1)x2C．y＝(m－1)2x2

D．y＝(－m2－1)x2知1－练（来自《典中点》）D2知识点二次函数的一般形式及函数值知2－导一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能化成如下形式：y=ax²+bx+c0(a≠0)这种形式叫做二次函数的一般形式.为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？知2－讲二次函数的项和各项系数y=ax²+bx+c二次项系数一次项系数a≠0二次项一次项常数项指出方程各项的系数时要带上前面的符号.知2－讲函数值：确定一个x的值，代入二次函数表达式中

所得的y值为函数值.例2当x＝－2和1时，对于二次函数y＝x2－x－2

对应的函数值是多少？知2－讲当x＝－2时，y＝4－(－2)－2＝4，当x＝1时，y＝1－1－2＝－2.所以，当x＝－2时，函数值y＝4，当x＝1时，函数值y＝－2.解：已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是(

)A．a＝1，b＝－3，c＝5B．a＝1，b＝3，c＝5C．a＝5，b＝3，c＝1D．a＝5，b＝－3，c＝1知2－练（来自《典中点》）1D关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是(

)A．y是x的二次函数B．二次项系数是－10C．一次项是100D．常数项是20000知2－练（来自《典中点》）2C已知x是实数，且满足(x－2)(x－3)＝0，则相应的函数y＝x2＋x＋1的值为(

)A．13或3B．7或3C．3D．13或7或3知2－练（来自《典中点》）3C3知识点利用二次函数的表达式表示实际问题知3－讲根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历

以下几个步骤：(1)确定自变量与函数代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等

量关系列出方程或等式．(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．

例3

填空：(1)已知圆柱的高为14cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半

径r(cm)之间的函数关系式是_______________；(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，y与x之间的函数关系式是_____________________．(1)根据圆柱体积公式V＝πr2×h求解；(2)有三种思路：如图，①减少的面积y＝S四边形AEMG＋S四边形GMFD＋S四边形MHCF＝x(10－x)

＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②减少的面积y＝S四边形AEFD＋S四边形GHCD－S四边形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2

＋20x，③减少的面积y＝S四边形ABCD－S四边形EBHM＝102－(10

－x)2＝－x2＋20x.V＝14πr2(r＞0)y＝－x2＋20x(0≤x≤10)（来自《点拨》）导引：知3－讲求几何问题中二次函数的解析式，除了根据有关

面积、体积公式写出二次函数解析式以外，还应

考虑

问题的实际意义，明确自变量的取值(在一些

问题中,自变量的取值可能是整数或者是在一定的

范围内)；(2)判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，

不要漏掉一些约束条件．列不等式组是求自变量的

取值范围的常见方法．总

结知3－讲（来自《点拨》）圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增加

ycm2.(1)写出y与x之间的关系式；知3－练（来自《教材》）1(1)y＝π·(1＋x)2－π·12＝πx2＋2πx，

即y与x之间的关系式为y＝πx2＋2πx.解：(2)当圆的半径分别增加1cm，cm，2cm时，圆的

面积各增加多少?知3－练（来自《教材》）(2)当x＝1时，y＝π＋2π＝3π；

当x＝

时，y＝2π＋2π＝(2＋2)π；2m＝200cm，

当x＝200时，y＝40000π＋400π＝40400π.

故当圆的半径分别增加1cm，cm，2m时，圆的

面积各增加3πcm2，(2＋2)πcm2，40400πcm2.解：2一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为(

)A．y＝60(1－x)2B．y＝60(1－x)C．y＝60－x2D．y＝60(1＋x)2知3－练（来自《典中点》）A如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t(0＜t＜3)截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为(

)A．S＝t

B．S＝

t2C．S＝t2

D．S＝

t2－1知3－练（来自《典中点》）3B1.关于二次函数的定义要理解三点：(1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实际意义．(2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要把函数表达式化为一般式．(3)二次项系数不为0.1知识小结2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式．(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．当a＝________时，函数y＝(a－2)x－2＋ax－1是二次函数．易错点：利用二次函数的定义求字母的值时，易忽略二次项系数不为0这一条件而导致错误2易错小结－2根据题意，得a2－2＝2，①a－2≠0.②由①，得a＝±2.由②，得a≠2.所以a＝－2.所以当a＝－2时，函数y＝(a－2)x

－2＋ax－1是二次函数．求二次函数中字母的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求a的值，从而得出错解．易错总结：二次函数第二章二次函数

知识点1

二次函数的概念1.下列函数是二次函数的是

(C)2.二次函数y=(2x-3)(1-x)化为一般式为

y=-2x2+5x-3

,其中a=

-2

,b=

5

,c=

-3

.知识点2

列二次函数关系式3.下列函数关系中,是二次函数的是

(D)A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.半圆面积S与半径R之间的关系4.某工厂2018年某种产品的产量为120吨,该产品产量的年平均增长率为x(x>0).设2020年该产品的产量为y吨,则y与x之间的函数关系式为

y=120(1+x)2

.

5.如图,一块草地是长80m、宽60m的矩形,现欲在中间修筑两条互相垂直的宽为xm的小路,这时草坪的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.解:依题意得y=(80-x)(60-x)=x2-140x+4800,自变量x的取值范围为0≤x<60.知识点3

求二次函数的值6.在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)之间的函数表达式为s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为

(D)A.28米 B.48米

C.68米 D.88米7.已知二次函数y=x2-3x-4,当x=-2时,函数值y=

6

.

9.下列结论正确的是

(B)A.二次函数中两个变量的值是非零实数B.二次函数中变量x的值是所有实数C.形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数D.二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的值均不能为零10.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价售卖.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,那么商店所赚的钱y(元)与售价x(元)之间的函数关系式

(B)A.y=-10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350C.y=-10x2+350x D.y=-10x2+350x-735011.已知函数y=(m-1)x|m|+1+2x是二次函数,当x=3时,y的值为

-12

.

12.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s(米)与时间t(秒)的数据如下表:则s关于t的函数关系式为

s=2t2

.当向下滚动的距离为98米时,所用时间为

7

秒.

13.写出下列问题中的函数表达式及自变量的取值范围,并指出此函数是否为二次函数.(1)矩形的长为4cm,宽为3cm,将其长与宽都增加xcm,增加的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系;(2)某商品每件成本为40元,以单价55元试销,每天可售出100件.根据市场预测,定价每减少1元,销量可增加10件,每天销售该商品的获利金额y(元)与定价x(元)之间的函数关系.解:(1)由题意可得y=(4+x)(3+x)-4×3=x2+7x(x≥0),此函数是二次函数.(2)由题意可得y=(x-40)[100+(55-