第06讲函数y＝Asin(ωx＋φ)（原卷版）

第06讲函数y＝Asin(ωx＋φ)1．简谐运动的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2．用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点xeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径一．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1．（1）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【复习指导】：先平移后伸缩和先伸缩后平移中，平移的量是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而导致错误．弄清平移对象是减少错误的好方法．（2）已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（

）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【复习指导】：对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位．（3）已知锐角满足．若要得到函数的图象，则可以将函数的图象（

）．A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度（4）已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，且过点，则需要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位（5）为得到函数的图象，只需把函数的图像（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位（6）将函数的图象沿着x轴向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的一个可能取值为（

）A． B． C． D．【复习指导】：(1)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(2)当x的系数不为1时，特别注意先提取系数，再加减．(3)横向伸缩变换，只变ω，而φ不发生变化.二．由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2．（1）函数其中，的图象的一部分如图所示，，要想得到的图象，只需将的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移2个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移2个单位长度【复习指导】：若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝eq\f(2π,ω)，确定ω.(3)y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)，或把图象的最高点或最低点代入．②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq\f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq\f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π.（2）已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（

）A．B．C．D．（3）已知A，B，C，D，E是函数一个周期内的图像上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为（

）A． B．，C．， D．，（4）(多选)函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．图象的一条对称轴方程是C．图象的对称中心是，D．函数是偶函数（5）（多选）函数，的部分图象如图所示，则（

）A．B．的单调递减区间为，C．D．的单调递减区间为，（6）已知函数，，，如图是的部分图象，则______【复习指导】：给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，求φ.(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．三．三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合应用例3．（1）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所得函数的一条对称轴为（

）A． B． C． D．【复习指导】：三角函数的图像变换求三角函数的性质，先做变换，注意“左加右减”，再将变换后的函数解析式中的当成一个整体,根据的对称轴求出所有对称轴，再作出判定.（2）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数的图象，则函数的最小值为（

）A．4 B．－4 C． D．（3）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．函数的最小正周期为πB．点是曲线的对称中心C．函数在区间内单调递增D．函数在区间内有两个最值点（4）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，则的最小值是___________.（5）已知函数(其中，)的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，求当时，函数的单调递增区间.【复习指导】：(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时为奇函数．(2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．命题点2函数零点(方程根)问题例4．（1）函数在上的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5（2）函数在区间上的零点个数是（）A．3个 B．5个 C．7个 D．9个（3）已知函数在区间内恰好有3个零点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．（4）函数的图象向右平移个单位得到函数，且在内没有零点，则的取值范围是（

）A．B．C．D．（5）已知函数在上有且仅有2个零点，则整数的值为________．（6）已知定义在R上的偶函数满足，且时，，则函数在上的图象与x轴交点的横坐标之和为______．【复习指导】：在求解函数零点和的问题时，一般将问题转化为两个函数的交点问题，结合图象的对称性来求解.命题点3三角函数模型例5．（1）如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)，sin\f(π,3)))开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2,0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.=1\*GB3①求t＝eq\f(π,4)时，A，B两点间的距离；=2\*GB3②若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，y的取值范围．（2）函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<ω<\f(π,2)，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，A(0，eq\r(3))，C(2,0)，并且AB∥x轴．=1\*GB3①求ω和φ的值；=2\*GB3②求cos∠ACB的值．【复习指导】：(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．1．为了得到函数图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位2．已知函数，，是常数，，，的图象，可以将函数的图象（

）A．先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变B．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变3．已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变6．要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位8．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位9．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位10．函数的部分图象大致是（

）A．B．C．D．11．函数的大致图象为（

）A．B．C．D．12．已知函数的图像关于轴对称，则函数的图像可由函数的图像（

）A．向右平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到C．向左平移个单位长度得到 D．向左平移个单位长度得到13．若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度14．函数的图象如图所示，则以下结论不正确的是（

）A．B．C．在上的零点之和为D．最大值点到相邻的最小值点的距离为15．已知函数的图象如图所示．则（

）A． B． C． D．16．函数的部分图象如图所示，若，且，则（

）A．B．C．D．17．如图是函数的部分图象，则不可能为（

）A． B．C． D．18．已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（

）A． B． C． D．19．已知函数与函数的部分图象如图所示，且函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（

）A． B．1 C． D．20．将函数，的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则（

）A．图象的一条对称轴为 B．图象的一个对称中心为C．的最小正周期 D．在区间上为增函数21．已知函数的图象按向量平移后对应的函数为，若在上单调，则的最小值为（

）A． B． C． D．22．设函数，给出下列结论：①若，，则；②存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称；③若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为；④，在上单调递增.其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．423．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．24．已知函数向左平移个单位长度后得到曲线，若方程在有且仅有两个不相等实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．25．已知函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．26．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．27．设函数，在区间上至少有2个不同的零点，至多有3个不同的零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．28．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（）A．0 B． C．1 D．29．函数在区间上的零点个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个30．设函数的定义域为，，，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（

）A． B． C． D．31．已知函数，若的图象在区间上有且只有1个最低点，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．32．（多选）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．先向左平移个单位，再将每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．先向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；再向左平移个单位D．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变；再向左平移个单位33．(多选)已知曲线:，:，则下面结论正确的是（

）A．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线B．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线34．（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．B．要想得到的图象，只需将的图象向左平移个单位C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的取值范围是35．已知函数，对于下列说法：①要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度即可；②的图象关于直线对称：③在内的单调递减区间为；④为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）.36．已知函数的图象如图所示，则___________.37．函数的相邻两个周期的图象与直线及围成的图形的面积是_______3