期末考试高三数学试卷(理科)

西北师大附中2007-2008学年第一学期期末考试高三数学试卷理科一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列函数中，最小正周期为的是（）A． B． C． D．2.已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则=()A.–4B.–6C.–8D.–103.已知函数是的反函数，若的图象过点（3，4），则等于（） A． B． C． D．4.若为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在 （） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5.（2x3－）7的展开式中常数项是（）A14 B－14 C42 D－426.设集合A={x|x2<a},B={x|x<2},若A∩B=A,则实数a的取值范围是（）A．a<4B.a4C.0<a4D.0<a<47.设抛物线与过其焦点的直线交于两点，则的值ABCD8.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（）ABCD9.P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（）A.B.C.D.1610.在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1A B C D11.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四个根可以组成首项为的等差数列，则a+b的值为（）A.B.C.D.12.定义行列式运算=.将函数的图象向左平移（）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（） A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为．14.过长方体的同一个顶点的三条棱长为3cm、4cm、5cm，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是cm2.15.若椭圆的离心率为,则双曲线的离心率为_______16.定义“符号函数”f（x）=sgnx=则不等式x+2＞（x－2）sgnx的解集是___________.三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18-22题各12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.中，，求的值和的面积.18.一个袋子中有4个红球和3个黑球，现从该袋中取出4个球，规定取到一个红球得3分，取到一个黑球得1分，记所取球的得分为.（Ⅰ）求的概率;(Ⅱ)求随机变量的数学期望.19.△OAB是边长为4的正三角形，CO⊥平面OAB且CO=2，设D、E分别是OA、AB的中点。（Ⅰ）求证：OB∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角O-DE-C的大小。AAEBOCD20.已知函数在处取得极值2.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）直线与的图象相切于点P，求直线的方程.（Ⅲ）m满足什么条件时，函数在区间上单调递增？21.如图，点为双曲线:（，）的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.（Ⅰ）给出b和c的关系式，并用c表示点M的坐标；（Ⅱ）求双曲线的标准方程；（Ⅲ）若过点的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，设，当时，求直线的斜率的取值范围.22.已知，.数列满足.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）已知≥，证明：；（Ⅲ）设是数列的前项和，判断与的大小，并说明理由. [参考答案]http//一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）1．B2.B3.D4.D/C5.A6.B7.B8.C9.B10.B11.C12.B二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．14.50π15.16.（－，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17．解：，所以，。18.解：（Ⅰ）时,这四个球中有1个红球,3个黑球………..2分……….4分(Ⅱ)随机变量的可能取值有：6、8、10、12，，，，…………7分681012故随机变量概率分布列是：…….………8分…………………11分答:（Ⅰ）当时的概率为;(Ⅱ)随机变量的数学期望为.……12分AEBOCDAEBOCD∴DE∥OBDE平面CDEOB平面CDE∴OB∥平面CDE（2）解法一：作OM⊥直线DE于M点，∵CO⊥平面OAB，由三垂线定理CM⊥DE，作OH⊥CM于H则OH⊥相交直线CM、ME，∴OH⊥平面CDE已证OM，CM都垂直于DE，∴∠OMC是二面角O-DE-E的平面角，cos∠OMC===，∴二面角O—DE-C的大小为arccos解法二：如图，以O为原点，为z轴正向，为y轴正向，在平面OAB内作OF⊥y轴并以为x轴正向建立空间直角坐标系（如图）则题意得:O(0,0,0),A(2,2,0)AEAEBOCDD(,1,0),E(,3,0)取平面CDE的法向量=（2，0，）取平面OAB的法向量=（0，0，2）cos<,>===∴二面角O—DE—C的大小为arccos20.（I）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.21．（Ⅰ）由…①，，∴…②．由中点坐标公式.（Ⅱ）又在双曲线上，∴…③．联立①②③，解得，．∴双曲线方程为．注：对点M用第二定义，得，可简化计算．（Ⅲ）由（Ⅱ），，设，，m：，则由，得，．由，得．∴，．．由，，，消去，，得．∵，函数在上单调递增，∴，∴．又直线m与双曲线的两支相交，即方程两根同号，∴．∴，故．22．解：（I）∵，∴.∴. ∴.