最优控制结课论文

天津理工自动化学院最优控制原理与应用

结课论文题目：基于最优控制LQR倒立摆系统的设计与仿真学院：自动化学院专业:控制科学与工程姓名：刘琳琳学号：143122305教师：陈鹏2014年11月26日单级旋转式倒立摆系统的建模与控制仿真摘要旋转式倒立摆系统是典型的非线性、不稳定系统。为了能够更好地让系统适应实际的需要，通过分析力学中的拉格朗日法建立了系统的数学模型，在MATLAB环境下设计了LQR控制器，并简述了线性二次型最优控制器原理及设计方法，介绍了加权矩阵Q和R的一些选择规则，研究了两种现代控制算法在旋转式倒立摆系统中的应用：极点配置法及LQR法，并运用MATLAB和SIMULINk工具在两种方法下进行了仿真实验，仿真结果表明：这两种算法在旋转式倒立摆系统的控制中都是可行的，而且效果令人满意。关键词：拉格朗日法MATLAB仿真状态反馈最优控制器DesignandSimulationofoptimalcontrolofinvertedpendulumsystembasedonLQR一ModelingandcontrolsimulationofsingleinvertedpendulumsystemAbstractRotationalinvertedpendulumsystemisatypicalnonlinear,unstablesystem.Inordertobeabletobetterallowthesystemtomeettheactualneeds,thesystemmathematicalmodelisestablishedbyLagrangemethodinanalyticalmechanics,undertheenvironmentofMATLABLQRcontrollerisdesigned,andintroducestwolinearoptimalcontrollerofprincipleandmethodofdesign,introducessomeselectionrulesofweightingmatrixQandR,studiestwomoderncontrolalgorithminapplicationsysteminrotaryinverted:poleplacementmethodandLQRmethod,andthesimulationexperimentisconductedintwowaysbyusingMATLABandsimulinktools,thesimulationresultsshowthat:thecontrolofthetwokindsofalgorithmintherotaryinvertedpendulumsystemarefeasible,andtheeffectissatisfactory.Keywords：LagrangemethodMATLABsimulationstatefeedbackoptimalcontrollerTOC\o"1-5"\h\z第一章绪论11.1引言11.2倒立摆系统的控制算法1PID控制11.2.2现代控制算法21.2.3可拓控制算法2124其它智能控制算法2第二章旋转倒立摆的系统结构及其模型32.1系统机械结构32.2系统数学模型3第三章系统控制算法73.1系统的特性分析73.1.1系统的稳定性73.1.2系统可控性73.1.3系统可观性8极点配置法9LQR控制方法103.3.1线性二次型最优控制的一般概念11Q、R的选择原则11LQR控制方法12第四章总结14参考文献152014级自动化学院研究生最优控制结课论文2014级自动化学院研究生最优控制结课论文#其中,-其中,-G-1C=12(KK+Cme1L2(4m+3m+12m)TOC\o"1-5"\h\z112318(KK+Cme1LL(4m+3m+12m)1212318CLL(4m+3m+12m)1212312(m+3m+3m)C1232—

mL2(4m+3m+12m)22123」--G-1M=9mg2L(4m+3m+12m)TOC\o"1-5"\h\z1236(m+3m+3m)gL(4m+3m+12m)12312KmL21(4m+3m+12m)12318KmLL(4m+3m+12m)12123」其中，m、m、m分别为旋臂、摆杆和角位移传感器质量，123L、L分别为旋臂和摆杆长度，K、K分别为电机力矩系数和反电势系数，12meC、C分别为旋臂绕电机转轴转动的阻尼系数和摆杆绕轴转动的阻尼系数。12将公式代入公式(8)「0010-将公式代入公式(8)「0010--0_0001x+0015.2476-3.4727-0.23254.8898074.9826-3.8965-1.14325.4862(9)，得到的系统数学模型:和Ux=Ax+BU=(10)10000100(11)y=Cx=x(11)0010旋臂质量ml=200g，摆杆质量m2=52g，电位器质量m3=10g旋臂长Ll=20cm，摆杆长L2=25cm，g=9.8m/s2旋臂绕电机转轴转动的阻尼系数C1=O.01N・m.S摆杆绕轴转动的阻尼系数C2=O.001N・m・S第三章系统控制算法现在我们主要研究倒立摆系统的现代控制算法，现代控制理论控制倒立摆的平衡主要用状态反馈来实现的。状态反馈控制系统是在对倒立摆物理模型的分析及建立倒立摆的数学模型的基础上，用状态空间理论推出状态方程和输出方程，再利用状态反馈和kalman滤波相结合的方法，最终实对倒立摆的控制。目前大多采用两种状态反馈的方法来设计倒立摆控制器，即极点配置调节器的方法和LQR最优调节器的方法。3・1系统的特性分析3・1・1系统的稳定性根据系统模型（10）和（11），利用MATLAB的eig函数求出系统的特征值,程序如下：A=[0010;0001;015.2476-3.4727-0.2325;074.9826-3.8965-1.1432];eig（A）运行结果如下图：田ans<4x1double^1.1234027.83573-9.84&B4-2.6048由于系统有非负的特征值，故系统不稳定。3・1・2系统可控性可利用MATLAB的可控性判断函数ctrb直接进行判断，求出系统的能控性矩阵；再通过rank函数求出能控阵的秩，程序如下：A=[0010;0001;015.2476-3.4727-0.2325;074.9826-3.8965-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1000;0100;0010;0001];D=[0]；sys=ss(A,B,C,D);Con=ctrb(sys)r=rank(Con)运行结果如下：Con=1.0e+003*00.0049-0.01830.152900.0055-0.02530.51150.0049-0.01830.1529-1.03610.0055-0.02530.5115-3.0794r二4由于系统可控性阵Con满秩，所以系统完全能控。3・1・3系统可观性利用MATLAB的obsv、rank函数求出系统的能观性矩阵的秩，程序如下：A=[0010;0001;015.2476-3.4727-0.2325;074.9826-3.8965-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1000;0100;0010;0001];D=[0];sys=ss(A,B,C,D);Qo=Obsv(A,C);r=rank(Qo)运行结果为r=4由于系统能观阵Qo满秩，所以系统又完全能观。3・2极点配置法我们都知道，控制系统的稳定性和动态性能指标很大程度上取决于其闭环系统的零极点分布情况，因此，我们进行控制系统设计时，可以根据对系统性能指标的要求，通过选择适当的状态反馈矩阵，使闭环系统的极点配置在所期望的位置，这就是极点配置方法。极点配置法是控制系统时域设计理论中最早发展起来的一种设计思想，系统通过状态反馈可以任意配置闭环极点的充要条件是系统必须完全能控。系统完全能控时，极点配置问题可以通过MATLAB来求解：选取闭环极点为[-3.3+0.8i-3.3-0.8i-6-12]，取初始状态为[30,10,0,0]，通过MATLAB绘出系统的零输入响应图。具体程序如下：clearall;clcA=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1];p=[-3.3+0.8i,-3.3-0.8i,-6,-12];K=place(A,B,p);Ac=A-B*K;Gc=ss(Ac,B,C,0);t=0:0.1:10;x0=[301000];[y,t]=initial(Gc,x0,t);plot(t,y(:,1),t,y(:,2)),gridxlabel('时间/秒');ylabel('旋臂和摆杆的角度/度')

LTiT)-)「|LTiT)-)「|JJ1J1'Aiiiiiiiii012345678910时间/秒图3极点配置算法下，系统零输入下的仿真结果0503226nu5O由图3可见，系统约在3s后即进入稳定状态，所以极点配置法是可行的。3・3LQR控制方法LQR(linearquadraticregulator)即线性二次型调节器，其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统，而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来设计一个优化的动态控制器。二次型问题是在线性系统约束条件下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。LQR最优设计具体是指设计出的状态反馈控制器K要使二次型目标函数J取最小值，而K由权矩阵Q与R唯一决定，故此Q、R的选择尤为重要。最优控制是现代控制理论的核心。所谓最优控制，就是在一定的条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标具有最优值。最优控制系统的设计，就是选择最优控制，以使某一种性能指标为最小。二次型性能指标是一种综合型性能指标，它可以兼顾终端状态的准确性、系统响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。线性二次型最优控制问题的实质是：用不大的控制能量，来保持较小的输出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。加权矩阵中的各个元素之间的数值比例关系，将直接影响系统的工作品质。特别可贵的是，LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律，易于构成闭环最优控制。而且MATLAB的应用为LQR理论仿真提供

了条件，更为我们实现稳、准、快的控制目标提供了方便。3・3・1线性二次型最优控制的一般概念假设线性系统状态空间描述为：JX=Ax+Bu〔V二Cx其中x为n*l状态向量，u为m*l输入向量。不失一般性考虑一个二次型目标函数：J二L(xTQx+utRu)dt。式中，Q、0R分别称为x和u的加权矩阵。且Q为n*n维正半定阵，R为m*m维正定阵。最优控制即寻求控制作用u(图1)使目标函数J最小。应用极小值原理，可以得出最优控制作用：u*(t)=_R-iBtPx=-Kx，式中K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提(Riccati)代数方程：PA+AtP-PBR-1BtP+Q=0。因此，系统设计归结于求解黎卡提(Riccati)方程的问题，并求出反馈增益矩阵K。y=Cx图1控制框图3.3.2Q、R的选择原则Q、R的选择无一般规律可循，一般取决于设计者的经验，常用的所谓试行错误法，即选择不同的Q、R代入计算比较结果而确定。这里仅提供几个选择的一般原则：Q、R都应是对称矩阵，Q为正半定矩阵，R为正定矩阵。通常选用Q和R为对角线矩阵，实际应用中，通常将R值固定，然后改变Q的数值，最优控制的确定通常在经过仿真或实际比较后得到。当控制输入只有一个时,R成为一个标量数(一般可直接选R=l).Q的选择不唯一。这表明当得到的控制器相同时，可以有多种Q值的选择，其中总有一个对角线形式的Q。3.3.3LQR控制方法线性二次型最优控制问题即LQR问题，是一种普遍采用的最优控制系统设计方法，它可以归结为：当系统受扰偏离原平衡状态时，通过控制使系统状态保持在平衡位置附近，并使控制过程中的动态误差和能量消耗综合最优。假设线性连续定常系统的状态方程为：x(t)二Ax(t)+Bu(t)要寻求控制向量u*(t),使得如下二次型目标函数最小：J=—Js(xtQx+utRu)Dt20根据极值原理，可以得出最优控制律，即：U*=-R-1BtPx=-Kx其中，K为最优反馈增益矩阵，P为常值正定矩阵，必须满足黎卡提(Riccati)代数方程，即：PA+AtP+PB-1RBP+Q=O在MATLAB中，只要确定了Q阵和R阵，利用lqr函数就可以很方便的求出最优反馈增益矩阵K。我们需要改变Q、R矩阵的值，经反复实验，这里取：Q=diag([10100])；R=l。程序如下：A=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1];Q=diag([10100]);R=1;sys=ss(A,B,C,0);[k,p,e]=lqr(sys,Q,R)运行结果如下：k二-3.162352.3849-3.00196.06697.2470-21.71082.3737-2.6919-21.7108176.5050-12.710820.87682.3737-12.71081.1111-1.5374-2.691920.8768-1.53742.4761e二-9.7409-7.8941-2.7936+1.9578i-2.7936-1.9578i取系统初始状态为(30,10,0,0),其中,p是黎卡提方程的解，e是闭环系统的特征值。求取系统的零输入响应，程序如下：clearall;clcA=[0010;0001;015.2476-3.4727-0.2325;074.9826-3.8965-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1000;0100;0010;0001];D=0;sys=ss(A,B,C,0);Q=diag([10100]);R=1;[K,P,e]=lqr(sys,Q,R,0);Ac=A-B*K;Gc=ss(Ac,B,C,0);t=0:0.1:10;x0=[301000];[y,t]=initial(Gc,x0,t);plot(t,y(:,1),t,y(:,2)),gridxlabel('时间/s');ylabel('旋臂和摆杆角度/度');

12345678910时间/百050322512345678910时间/百0503225O5O图4Q=diag([10100]),R=l时，LQR算法下系统的零输入响应图由图4可见，3s以内，系统就会进入稳定状态，所以，LQR算法是可以实现倒立摆系统的稳定控制的。第四章总结20世纪60年代初，由于空间技术的迅猛发展和数字计算机的广泛应用，动态系统的优化理论得到迅速发展，形成了最优控制理论这一