最优控制毕业设计草创

#对于线性定常连续被控系统Z(A,B,C),若取其状态变量来构成反馈律，则能得到的闭环控制系统被称为状态反馈系统，闭环系统状态空间模型和状态反馈律可分别记为(3.1)IX二Ax+Bu[y二Cxu二一Kx+v(3.1)式中，K为rxn维的实矩阵，称为状态反馈矩阵；v为与开环被控系统工(A,B,C)输入u同维的r维伺服输入向量。将状态反馈律带入开环系统状态空间模型，可得到描述状态反馈闭环控制系统的状态空间模型为(3.2)X=(A-BK)x+Bvy=(3.2)因此，可求得状态反馈闭环系统的传递函数阵为G(s)=C(sI-A+BK)-iB(3.3)k状态反馈闭环系统的传递函数阵为纭(A-BK,B,C)。3.2状态反馈与极点配置对线性定常系统，系统的稳定性和各种性能的品质指标，在很大程度上是由闭环系统的极点位置决定的。因此在进行系统设计时，设法使闭环系统的极点位于期望极点上，可以有效地改善系统的性能品质指标。这种控制系统设计方法称为极点配置。在经典控制理论的系统综合中，无论采用频率法还是根轨迹法，都是想通过改变系统极点的位置改善性能品质指标，本质上属于极点配置。极点配置的问题则是讨论如何状态反馈阵K的选择，使的状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。对于n阶线性定常系统进行全极点配置时必有：1)可以而且必须给出n个期望极点s*(i=1,2,…,n)；2）期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数；3）期望极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。基于指定的期望极点，线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为：给定线性定常连续系统TOC\o"1-5"\h\zx=Ax+Bu（3.4）确定反馈控制律u=一Kx+v（3.5）使得状态反馈闭环系统的极点配置在指定的n个期望的闭环极点s*（i=1,2,…,n）i上，即九（A-BK）=s*（i=1,2,…,n）（3.6）ii对线性定常系统进行部分或全状态反馈极点配置时有如下规律：1）对线性定常系统工（A,B）利用线性状态反馈阵K,能使状态反馈闭环系统工（A-BK,B）的极点任意配置的充分必要条件为被控系统工（A,B）状态完k全能控。2）状态反馈虽然可以改变系统的极点，但不能改变系统的零点。当被控系统状态完全能控时，其极点可以进行任意配置。”4加权矩阵对系统特征值影响分析4.1李雅谱诺夫稳定判据从经典控制理论可知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关。但非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二法是一种普遍适用于线性系统、非线性系统及时变系统稳定性分析的方法。李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义。李雅普诺夫第二方法可用于任意阶的系统，运用这一方法可以不必求解系统状态方程而直接判定稳定性。对非线性系统和时变系统，状态方程的求解常常是很困难的，因此李雅普诺夫第二方法就显示出很大的优越性。它的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是通过借助与一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰落，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐进稳定的。但是，由于系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系，于是李雅普诺夫定义一个正定的标量函数V(x)，作为虚构的广义能量函数，然后，根据V(x)二d(x)/dt的符号特征来判别系统的稳定性。对于一个给定系统，如果能找到一个正定的标量函数V(x)，而V(x)是负定的，则这个系统是渐进稳定的。这个V(x)叫做李雅普诺夫函数。设V(x)为由n维矢量x所定义的标量函数，，且在xeQ处，恒有V(x)二0。所有在域Q中的任何矢量x，如果：V(X)>0，则称V(x)为正定的。V(X)>0，则称V(x)为半正定。V(X)<0，则称V(x)为负定的。V(X)<0，则称V(x)为半负定的。V(X)>0或V(X)<0，则称V(x)为不定的。4.2李雅谱诺夫稳定判据在最优控制中运用由上节可知，李雅谱诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法。但具体运用是将涉及如何选取适宜的李雅谱诺夫函数来分析系统的稳定性。由于各种系统的复杂性，在运用李雅谱诺夫第二法时，难以建立统一的定义李雅谱诺夫函数的方法。目前的处理方法是，根据各种系统的分类与特性分别寻找建立李雅谱诺夫函数的方法。本节主要讨论对于线性定常连续系统如何利用李雅谱诺夫函数分析系统稳定性以及李雅谱诺夫稳定判据在最优控制中的运用。设线性定常连续系统的状态方程为x=Ax这样的线性系统具有如下特点。1）当系统矩阵A为非奇异时，系统有且仅有一个平衡态x二0，即为e状态空间原点。2）对于该该线性系统，其李雅谱诺夫函数一定可以选取为二次型函数形式。对于任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为矩阵方程PA+AtP=-Q（4.1）的解，并且正定函数Vx）=XTPx即为系统的一个李雅谱诺夫函数。3）若该系统在平衡态x二0的某个领域上是渐进稳定的，则一定是大范e围渐进稳定的。并且此时P为（4.1）所示方程唯一正定解。综上所述，如果对于某个非负定矩阵Q，卩（x）二-xtQx沿任意一条状态轨线不恒为零，那么，系统在原点渐进稳定的条件为：存在正定矩阵P满足李雅谱诺夫代数方程（4.1）。而且只要Q矩阵选成正定或根据上述情况选为非负定的，那么最终的判定结果与Q的选取无关。因此，运用此方法判定系统的渐进稳定性时，最方便是选Q为单位矩阵，即Q=I。相应的上述李雅谱诺夫代数方程（4.1）可改为PA+ATP二—I这就为利用李雅谱诺第二法判断线性定常连续系统的渐进稳定性提供了极大方便。在线性二次型最优控制中黎卡提代数方程AtP+PA—PBR-1BtP+Q二0可变换为(A—BR-1BtP)tP+P(A—BR-iBtP)+Q+PBR-1BtP=0可简化为AtP+PA+Q二0，其中Q为非负定。那么根据本节中介绍的李雅谱诺夫第二法可知线性二次型最优控制系统是渐进稳定的。4.3加权矩阵变化对闭环特征值的影响前面已经提到关于线性二次型问题描述为：对于线性定常系统x(t)=A(t)+Bu(t),x(t)=x，要求找到最优反馈控制解K,使得下列二次型00性能指标泛函为最小。Jtu(•)]=■!■•([Xt(t)Qx(t)+uT(t)Ru(t)]dt(42)20由无限时间状态调节器定理知道最优解u*(t)=-R-iBTPx*(t),其中P为正定常数矩阵，满足下列黎卡提矩阵代数方程：AtP+PA-PBR-1BtP+Q=0当P、R为对称阵有TOC\o"1-5"\h\z(A—BR-iBtP)tP+P(A—BR-iBtP)+Q+PBRBtP=0(4.3)由于最优控制闭环系统特征值只与(A—BR-iBtP)有关，公式(4.3)记为AtP+PA+Q=0(4.4)设变化后的加权矩阵Q为Q=Q+2P，即有Q=Q―2cP带入公式(4.4)得AtP+PA+Q-2bP=0为(A-bI)tP+P(A—b/)+Q=0(4.5)设(a-bi)=a，公式(4.5)变换为ATP+PA+Q=0(4.6)对于公式(4.4)而言求系统特征值有(九I-A)x=0对于公式（4.5）而言求系统特征值有TOC\o"1-5"\h\zG~I—A）x二0（4.7）（兀I-A）x=0n仏I-A+d）x=0n［仏+c）I-A］x=0（4・8）而公式（4.8）中的（兀+c）为九，即加权矩阵变化之前系统特征值。于是就有了兀=X—o（4.9）则当加权矩阵Q增加2oP时闭环系统特征值的实部增加量为（-厂,即当加权矩阵Q增加是闭环特征值在S平面左移。已知最优控制闭环系统特征值只与（A-BR-iBtP）有关。求加权矩阵R变化之前特征值有公式（九I-A+BR-iBtP）x二0h设变化后加权矩阵R为_-R（h〉1，h为常数），即当R减小时求R减小之后h+1的闭环系统特征值：（兀I-A+B-i-R-iBtP）x二0n（兀I-A+BR-1BtP+1BR-1BtP）x二0（4.10）hh有1［（X+BR-1BtP）I-（A-BR-1BtP）］x二0（4.