人教B版数学课件3-2函数与方程不等式之间的关系

3.2函数与方程、不等式之间的关系第三章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释1.了解函数零点的定义,会求简单函数的零点.(数学运算)2.掌握判断一元二次方程根的存在及个数的方法.(数学运算)3.了解函数的零点与方程根的联系,能利用具体函数的图像,借助计算器用二分法求相应方程的近似解.(直观想象)思维脉络课前篇自主预习【激趣诱思】路边有一条河,小明从A点走到了B点,观察下列两组画面,并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河?将这个实际问题抽象成数学模型.【知识点拨】

知识点一、函数的零点(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即

f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.(2)性质:①当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.②两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.要点笔记

(1)函数的零点可以理解为一个函数的图像与x轴的交点的横坐标.(2)方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.微练习下列函数中没有零点的是(

)答案

D解析

由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)有零点,若不存在,则f(x)无零点.由于函数f(x)=中,对任意自变量x的值,均有

≠0,故函数不存在零点.知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系设f(x)=ax2+bx+c(a>0)Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=f(x)的图像

f(x)的零点x1,x2x1(或x2)无零点Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0f(x)=0的根有两个不等的实根x1,x2,且x1<x2有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2没有实数根f(x)>0的解集{x|x<x1或x>x2}

Rf(x)<0的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀微思考

(1)二次函数没有零点的等价说法是什么?提示

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac<0时,函数y=f(x)没有零点,则函数y=f(x)的图像与x轴没有交点.(2)如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,你能得出什么结论?如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为⌀,结论又如何?提示

①如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R,知识点三、零点存在定理及分类(1)函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且

f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即∃x0∈(a,b),f(x0)=0.(2)分类:名师点析

(1)一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点必须同时满足:①函数f(x)在[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线;②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可.(2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.微思考

对于函数f(x),若满足f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)<0一定成立吗?提示

对于函数f(x),若满足f(a)f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内不一定有零点,如图1所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有f(a)f(b)<0,如图2所示.知识点四、求函数零点的近似值的一种计算方法——二分法(1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:这些步骤可用如图所示的框图表示.微练习

答案

B微思考

用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?提示

不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一个闭区间[a,b]内,都不满足f(a)f(b)<0,所以无法判定零点的大致区间,即不能用二分法求其零点近似值.课堂篇探究学习探究一求函数的零点例1求下列函数的零点:(1)f(x)=-x2-2x+3;(2)f(x)=x4-1.分析解对应的方程的根,即为函数的零点.解

(1)由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.故函数的零点是-3,1.(2)由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.故函数的零点是-1,1.反思感悟

求函数零点的方法1.函数零点的求法:解方程f(x)=0,所得实数解就是f(x)的零点.解三次以上的高次方程时,一般需要因式分解.2.对于不能用求根公式的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点.变式训练

1求f(x)=x3-4x的零点.解

令f(x)=0,即x3-4x=0,所以x(x2-4)=0,即x(x+2)(x-2)=0,解得x1=0,x2=-2,x3=2.所以函数f(x)=x3-4x有3个零点,分别是-2,0,2.探究二函数法(图像法)解一元二次不等式例2解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)x2-4x+4>0;(3)-x2+2x-3<0;(4)-3x2+5x-2>0.分析根据一元二次不等式与对应二次方程和二次函数的关系及基本方法求解.(2)∵Δ=0,方程x2-4x+4=0的根是x1=x2=2,∴不等式x2-4x+4>0的解集为{x|x≠2}.(3)原不等式可化为x2-2x+3>0,由于Δ<0,方程x2-2x+3=0无解,∴不等式-x2+2x-3<0的解集为R.反思感悟

函数法解一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据函数图像写出不等式的解集.变式训练

2解下列不等式:(1)2x2+7x+3>0;(2)-4x2+18x-≥0.探究三判断函数的零点个数例3(1)函数f(x)=ax2+bx+c满足ac<0,则函数的零点个数为(

)A.0 B.1 C.2 D.不确定(2)判断下列函数的零点个数:①f(x)=x2-7x+12;

②f(x)=x2-.(1)答案

C解析

二次函数f(x)=ax2+bx+c的零点即方程ax2+bx+c=0的根,因为Δ=b2-4ac>0(因ac<0),所以函数有2个零点.(2)解

①因为由f(x)=0,即x2-7x+12=0,得Δ=49-4×12=1>0,所以方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根3,4.所以函数f(x)有两个零点.方法二:令f(x)=0,即x2-=0,因为x≠0,所以x3-1=0.所以(x-1)(x2+x+1)=0.所以x=1或x2+x+1=0.因为方程x2+x+1=0的根的判别式Δ=12-4=-3<0,所以方程x2+x+1=0无实数根.所以函数f(x)只有1个零点.反思感悟

函数零点的判断方法1.对于函数零点的个数的判断通常的做法有:(1)直接求出零点;(2)结合函数图像分析;(3)对函数解析式确定的二次函数,用判别式Δ即可,若Δ表达式中含有字母,需对字母进行讨论.2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点个数⇔抛物线f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的个数⇔方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的个数.解

当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍);当x>0时,令-2+x=0,解得x=2.探究四零点性质的应用例4当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内?分析对a分a=0,a>0,a<0三种情况讨论,并利用零点的特征性质来解决.解

当a=0时,方程即为-2x+1=0,只有一根,不符合题意.当a>0时,设f(x)=ax2-2x+1,∵方程ax2-2x+1=0的根,即函数f(x)的零点分别在区间(0,1),(1,2)内,反思感悟

解决根的分布问题的一般步骤1.首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.2.结合草图考虑三个方面:(1)Δ与零的大小关系;(2)对称轴与所给端点值的关系;(3)端点的函数值与零的关系.3.写出由题意得到的不等式(组).4.由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意.延伸探究求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.解

设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)·f(0)=11×(-1)=-11<0,f(1)·f(2)=(-3)×5=-15<0.又二次函数f(x)=5x2-7x-1的图像是连续的,故f(x)在(-1,0)和(1,2)内分别有零点,即方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.探究五利用二分法求函数零点的近似值例5求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度0.01).解

确定一个包含负数零点的区间(m,n),且f(m)·f(n)<0.因为f(-1)>0,f(-2)<0,所以可以取区间(-2,-1)作为计算的初始区间,当然选取在较大的区间也可以.用二分法逐步计算,列表如下:由于|-1.929

687

5+1.937

5|=0.007

812

5<0.01,所以函数的一个负零点近似值可取为-1.929

687

5.反思感悟

1.二分法求函数零点近似值的一般步骤

2.二分法应用时的注意事项(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度.(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,以及时终止计算.延伸探究求本例函数f(x)在区间[-2,-1]上精确度为0.1的一个零点近似值.解

因为f(-1)>0,f(-2)<0,且函数f(x)=x3-3x2-9x+1的图像是连续的曲线,根据函数零点的存在性定理可知,它在区间[-2,-1]内有零点,用二分法逐步计算,列表如下:由于|-1.875+1.937

5|=0.062

5<0.1,所以函数在区间[-2,-1]内的一个近似零点可取为-1.937

5.

素养形成二次函数的零点综合问题典例

已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;(3)若函数的两个不同零点是α,β,求α2+β2关于k的关系式h(k).分析本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质.(3)∵α,β是函数f(x)的两个不同零点,∴α,β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两根,∴α+β=k-2,αβ=k2+3k+5.∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6.方法点睛

1.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x1,x2,也可以说x1,x2是f(x)=ax2+bx+c的两个零点,则有x1+x2=2.本题中如果忽视Δ的利用,将会影响α2+β2的范围而导致出错.变式训练

设函数f(x)=ax+2a+1(a≠0)在[-1,1]上存在一个零点,求实数a的取值范围.解

∵一次函数f(x)在[-1,1]上存在零点,∴f(-1)·f(1)≤0.∴(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(3a+1)(a+1)≤0.令g(a)=(3a+1)(a+1)=0,得函数g(a)的两个零点是a1=-1,a2=-,作出g(a)的图像如图所示,

当堂检测1.(多选题)下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求函数零点的图像是(

)答案

ACD2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则实数f(x)=cx2+bx+a的零点为(

)A.1,2