2022年数列教案课件

数列求和复习课

一.教学目标

1.知识与能力目标：

熟练掌握等差、等比数列的求和公式及非等差、等比数列求和的几种常用

方法

2.过程与方法目标：

归纳数列求和的常用方法，形成知识网络

3.情感态度价值观目标：

体会转化思想，提高观察能力，分析问题、解决问题的能力以及计算能力

二.学情分析

我班学生根底比拟薄弱，故先从刚学过的等差等比数列求和的方法入

手。选题能适应学生的认知水平，使学生在教学过程中能灵活应用，思维

得到提高。

三.教学重难点：

教学重点：数列求和方法及其思路获取.

教学难点：在具体问题情境中，恰中选择求和方法，准确迅速求和

四.教学过程

（一）.数列求和的常用方法：

1、分组转化法：把数列中的每一项分成多个项或把数列中的项重新组

合，使其转化为等差或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解

师：说出等差数列的前n项和公式

—

生：Sn—2，Sn2

师：说出等比数列的前n项和公式

(gw】)S广告WD

生：sn=1-g

师：条件q=l时一，前n项和怎样计算

生：Sn=nai

师:下面请同学们先看例1。

(x+l)+(xJ+-?5-)+AA+(x*+-^-)(x*0,x*Vxl)

例i⑴求和：yy/

设计意图:将数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问题；

师：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一

项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子

的和。

解：当xWO,xWl,yWl时

(不+x'+AA+x*)+(—+f+AA+—)

原式=yyy

x(l-f)+y尸=XT*"+

1-x1I1-x/**1-x*

y

〔以上化简过程，实际上是繁分式的化简应强调结果的完整〕

师：题中附加条件去掉，应该如何考虑请同学们课后思考。

2、倒序相加法：如果一个数列与首末两端等距离的两项的和相等或等

于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数

列的前n项和即是用此法推导的

师：出例如2.求证：

C：+34+5C：+…+(2%+l)C：=(%+1)2，

设计意图:对某些前后具有对称性的数列，可运用倒序相加法求其前3项和.

证明：设松=¥+34+5©+…+(2%+l)C；(1)

把〔1〕式右边倒转过来，得

=(2»+l)qi+(2»-l)C^1+-+3C^+C^(2)

又C；=

所以(2)式可变为

S*=(2〃+l)C：+伽-1©+…+3C；"+C；(3)

由(1)+⑶得

2sx=(2«+2)(C：++…+C；-1+C；)

=2(附+1>2*.

所以S；=5+1)2

3、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的

对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数

列的前n项和就是用此法推导的

师:出例如3.求S*=1+3乂+5>+7>+.“+(2”l)xi(xwl)

生思考后师分析：由题可知，｛Q阀-1)/“)的通项是等差数歹成2〃一4的通

项与等比数列｛犬〉的通项之积，符合错位相减法的特征，可通过错位相减

转化为等比数列的求和来解决。

设计意图：对等比数列与等差数列组合数列求和；

解：设&=1+3=+52+79+…+(2同一1)产自1)(1)

则碍

=x+3/+5/+7x'+…+(2%-l)x*(2)

由Q)-(2),得

(1-x)=1+2X=2X2+2X3+2X++-+2^-1-(2«-1)XS

再利用等比数列求和公式，得

1_/一1

(1-)S*=l+2x———-(2»-l)xs.

1-X

又因为X工1,

斫］(2-1)/1-伽+1)/+(1+力

历昭一(1-x)2

4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和的中间一些项可以相

互抵消，从而求得其和，利用裂项法的前提是数列中的每一项均能分裂成

一正一负两项。裂项相消求和时抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,

也有可能前面剩两项后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需

要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相等。

111.1

,+---+，+AA+-----

师出例如4求和：：•二2•:>4心+1)

师：将各项分母通分，显然是行不通的，能否通过通项的特点，将每一项

拆成两项的差，使它

们之间能互相抵消许多。

11■_1_

生：⑴”—村上+1)一工上+1令k=l,2,3,•••n

八1、,11、+/-1、A/1、

领力［s_p._O--)+(--T)(T7)+A+(-----)

那么原式=221>4n〃+1

=n=n+\

设计意图：用裂项相消法求出前n项和.

LUj+」

变式(1)求和：1"2-43・5双月+2)

11A1

(2)：求数列：1,1+2,1+2+3,1+2+3+A+力的前n项和。

(启发学生，根据上面的方法解决)

5、并项求和法：一个数列的前n项和中，可以两两结合求解称之为并

项法。

1二)、课堂小结：

常用数列求和方法有：

(1)公式法:直接运用等差数列、等比数列求和公式；

(2)分组转化法：将数列的求和问题化为等差数列、等比数列求和问

题;

倒序相加法：对前后项有对称性的数列求和;

(4)错位相减法:对等比数列与等差数列组合数列求和；(乘以公比，

错位相减)

(5)裂项相消法:将数列的通项分解成两项之差，从而在求和时产生相

消为零的项的求和方法.

(6)并项求和法:将相邻n项合并为一项求和；

(三)、作业布置。

四、教学资源：

1、命题走向：

数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下

都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不

等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜测、等价转化、

分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分

析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。

2^有关命题趋势：

(1〕.数列是一种特殊的函数，而不等式那么是深刻认识函数和数列

的有效工具，三者的综合题是对根底和能力的双重检验，在三者交汇处设

计试题，特别是代数推理题是高考的重点；

〔2〕.数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类

题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程

度、灵活程度；

(3).数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的

结合等；

(4).有关数列的应用问题也一直备受关注。

3、预测高考：

1.可能为一道考察关于数列的推导能力的解答题；

2.也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用

问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。

五、教学反思及总结：

1.我从两个方面设计变式题。其一，横向变化，其二是纵向变化。横向

变化是：从公式一例题各个侧面来看求和，让学生开拓了视野，展开丰富

的联想：分组求和可分两组，是否还有分三组来解的题裂项相消法求和有

分母裂项求和，是否还有分母有理化进行求和等。纵向变化：条件削弱，

问题复杂，难度提升。从具体到抽象，从特殊到一般螺旋式的上升。横向

变化，可看出思维变异的多样性。这种思维变异的多样性在今后的学习过

程中将要面临的。如何理解这种数学的合理性呢学生的学习的本质是继承、

借鉴、开展、创新，而问题变式教学恰是在有实例的支持下，继承了思维

变异的常用技巧，借鉴此技巧、寻求更多的变异，如分组成三个或更多个

的式子求和，使学的思维得到充分的开展，从而取得创新的目的，这就是

教学中所要取得的效果。从纵向变化，可看出思维变异的深入性。问题的

层层深入，使问题的一般规律掀起盖头，让学生体验了思维向纵深开展的

规律。

2.反思求和公式方法的总结，我也发现了种种遗憾.如学生的解法均缺

乏根据，但教师赞赏学生这种善于通过类比联想而发现的创造性解法，为

了保护学生的积极性和创造性，没有进行否认，而是让学生课下思考，是

否妥当需要研究.又如裂项相消法等，都是由教师提出来的，假设是能由

学生主动提出就更好了.为此急需加强对学生提出问题的能力的训练和培

养