专题11集合及其运算的12种题型

专题1-1集合及其运算的12种题型一、热考题型归纳【题型一】集合与元素判断【题型二】相等集合【题型三】集合中元素的个数【题型四】子集及真子集【题型五】空集性质【题型六】交集运算及其性质【题型七】并集运算及其性质【题型八】全集与补集运算及其性质【题型九】交并补综合运算【题型十】集合运算与新定义【题型十一】集合运算技巧：韦恩图【题型十二】集合运算技巧：容斥原理二、培优练热点考题归纳【题型一】集合与元素判断【典例分析】1.（湖南省长沙市雅礼中学等十六校2022届第二次联考数学试题）已知集合，下列选项中均为A的元素的是（

）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断．集合有两个元素：和，故选：B2.下面五个式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正确的有（

）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；空集是任一集合的子集，所以正确；是的子集，所以错误；任何集合是其本身的子集，所以正确；a是的元素，所以正确.故选：A.【提分秘籍】元素与集合（1）一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.集合通常用大写字母表示，元素通常用小写字母表示．从定义看，集合具有无序性、确定性和互异性．（2）一般地，如果是集合中的元素，就说属于集合，记为，如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记为.（3）自然数集记为N，正整数集记为Z，有理数集记为Q，实数集记为R.【变式演练】1．（2023·北京·统考模拟预测）设集合，则（

）A．当时， B．对任意实数，C．当时， D．对任意实数，【答案】C【分析】依据选项将点代入验证即可.【详解】当时，，将代入A得：成立，故，即A错误；若时，此时将代入不成立，即B错误；当时，此时将代入不成立，即C正确；若时，此时将代入A得成立，即D错误；故选：C.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】结合题意写出集合中的具体元素，然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即可求解.【详解】因为集合，对于A，因为，故选项A错误；对于B，是一个集合，且，故选项B错误；对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，故选：D.3．（2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习）下列各式中，正确的是（

）①

②

③

④

⑤

⑥⑦

⑧A．②⑤⑦⑧ B．②⑤⑦ C．③⑤⑦⑧ D．①⑤⑥⑦【答案】A【分析】利用集合中元素的性质，元素与集合、集合与集合之间的关系依次判断即可.【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故正确，余者不正确，故①③错误，②正确；对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”表示，故不正确，成立，故④错误，⑤正确；对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故不正确，正确，故⑥错误，⑦正确；对于⑧，由集合中元素的无序性，可知，故正确，故⑧正确；综上：正确的命题有②⑤⑦⑧.故选：A.【题型二】相等集合【典例分析】1.（2022·上海·高一专题练习）下列选项中，表示同一集合的是A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2}C．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1} D．A=∅，【答案】B【分析】利用集合相等的定义直接求解．【详解】在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C错误；在D中，A=∅，={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D错误．故选B．【点睛】本题考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（2023秋·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）集合，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解.【详解】因为集合，所以方程有相等实根2，根据根与系数的关系可知，，所以，故选：B【提分秘籍】如果两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为怕判断两个集合是否相等，要看不同形式元素化简后是否一致。【变式演练】1．（2022秋·江苏苏州·高一校考阶段练习）设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（

）A．1000 B．1297 C．1849 D．2020【答案】B【分析】不妨设，则，根据集合相等的定义可得，分析可得为偶数，从而可得可得为奇数，再分析计算即可得出答案.【详解】解：不妨设，则，因为，，，，，所以，因为为偶数，所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数，又因为，所以为不小于3的奇数，若，则，，，，，故，且，所以，不符合要求，若，则，，，，，故，解得，此时，，所以的最小值是1297.故选：B.【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设，判断，，三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力.2．（2023秋·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据集合相等的概念逐项判断即可.【详解】对于A，表示不同的点，故A不正确；对于B，集合与集合相同，故B正确；对于C，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故C不正确；对于D，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故D不正确.故选：B.3．（2023·全国·高一专题练习）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．与互不包含【答案】C【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.故选：C.【题型三】集合中元素的个数【典例分析】1.（2022秋·高一课时练习）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案.【详解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素.故选：D2．（2022秋·北京西城·高一北京市第三十五中学校考阶段练习）已知集合，，若，且对任意，均有，则集合中元素个数的最大值为（

）A．5 B．6 C．11 D．13【答案】B【分析】根据题意，将、的元素看成点，其坐标为，由可得，据此分析可得中的元素最多的情况．【详解】根据题意，，将、中的元素看成点，其坐标为，若对任意的，，均有，即，则集合中，任意的两个元素（点）的连线斜率为负值，则时，集合中的元素最多，有6个.故选：B.【提分秘籍】集合中元素个数：1.点集多是图像交点2.数集，多涉及到一元二次方程的根。记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝card(A)+card(B)-card(A∩B)card[∁U(A∪B)]＝card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B).【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，.定义集合，则的元素个数满足（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先理解题意，然后分①当,时,②当,时,③当,时,三种情况讨论即可.【详解】解:由，,①当,时,,,此时的元素个数为个,②当,时,,,这种情况和第①种情况除外均相同,故新增个,③当,时,,,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:的元素个数为个,故选:A.【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.2．（2020·高一课时练习）已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对由x，y的正负分四种情况去绝对值讨论即可.【详解】当x，y同号时，原式的值是0；当x为正、y为负时，原式的值是2；当x为负、y为正时，原式的值是.综上所述，的所有可能取值组成的集合中的元素个数为3.故选：C【点睛】本题考查绝对值的运算，属于基础题.3．（2015秋·北京朝阳·高三统考期末）设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是A． B． C． D．【答案】C【分析】分类讨论：第一类排除7,14,21,18；第二类排除26个元素，即可得到集合T中最多可以有238-4-26=208个元素.【详解】集合T中不能有满足7倍关系的两个数，因此我们将I中的数分成三类：第一类：1，7,49；2,14,98；3,21,147；4,28,196；共4组，每组最多只能有两个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中4个元素：7,14,21,18；第二类：5,35；6,42；8,56；…；34,238,；共30-4=26组；每组最多只能有一个数在集合T中，即集合T中至少需要排除其中的26个元素；第三类：不在上面两类中的所有数：36,37,38，…，237，它们不是7的倍数，且它们的7倍不在集合I中，所以这组中所有数都可以在集合T中；所以集合T中最多可以有238-4-26=208个元素.故选：C【题型四】子集及真子集性质【典例分析】1．（2022秋·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A．508 B．512 C．1020 D．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是.【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.2．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（

）A．32 B．31 C．16 D．15【答案】B【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可.【详解】由集合满足条件，所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示，则上述集合关系式变成：，则此时集合为集合的真子集，问题转化为求集合的真子集的个数即：，故满足题意的集合有31个.故选：B.【提分秘籍】子集集合相等真子集概念一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作．也就是说，若，且，则如果集合，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集，记作（或）图示或结论（1）任何一个集合是它本身的子集，即（2）对于集合A，B，C，如果，且，那么若且，则（1）若且，则（2）若且，则【变式演练】1．（2023·全国·高一专题练习）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（

）A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集【答案】B【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.【详解】解：对于集合，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集；当时，，且，可得不是的子集；综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.故选：B.2．（2022秋·河南·高一统考期中）满足，且中的集合M的个数是（

）A．16 B．24 C．28 D．30【答案】B【分析】讨论元素与集合的关系，结合元素1、2、3与集合的可能情况求集合的个数.【详解】若时，则1、2、3可能属于，而5不属于，故集合共有种可能；若时，则1、2、3可能属于，而4不属于，故集合共有种可能；若时，则1、2、3可能属于，故集合共有种可能；综上，集合M的个数是24.故选：B3．（2022秋·江苏苏州·高一校联考阶段练习）已知集合，若，是的两个非空子集，则所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数为（

）A．47 B．48 C．49 D．50【答案】C【分析】对A的最大数分类讨论，则可确定B的个数，最后汇总即可【详解】P的所有子集个数为个，（1）中的最大数为1，则，故B只需不包含1即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为15；（2）中的最大数为2，或，故B只需不包含1、2即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为；（3）中的最大数为3，，故B只需不包含1、2、3即可，则B为的非空子集，即个，故的个数为；（4）中的最大数为4，则包含4，其余元素为的子集，即个，故B只需不包含1、2、3、4即可，则，故的个数为8；综上，的个数为.故选：C【题型五】空集性质【典例分析】1．（2011·广东·统考一模）下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据元素与集合，集合与集合的关系及空集的概念对四个选项作出判断可得正确答案.【详解】解：对于A选项，的表示格式不对，元素与集合间用，不能用等号，故A不正确；对于B选项,正确，因为事任何集合的子集；对于C选项,因为事任何集合的子集,所以有，故C不正确；对于D选项,由于空集中没有任何元素，所以事错误的，故D不正确，故选B.【点睛】本题主要考查元素与集合，集合与集合的关系及空集的概念，注意灵活运用其性质解题，相对简单.2．（2022秋·四川阿坝·高一校考阶段练习）下列集合中，只有一个子集的是（

）A． B．或C． D．且【答案】D【分析】只有空集只有一个子集，故看哪个选项是空集即可.【详解】A、B、C都不是空集，，故D只有一个子集.故选：D【提分秘籍】定义我们把不包含任何元素的集合，叫做空集记法规定空集是任何集合的子集，即特性（1）空集只有一个子集，即它的本身，（2）若，则A【变式演练】1．（2017秋·上海宝山·高一校考阶段练习）下列命题为真命题的是（

）A．若，则至少有一个为空集B．若集合，，则C．任何集合必有一个真子集D．若，，则【答案】D【分析】通过反例可排除；根据点集和数集的区别可排除；由没有真子集可排除；分别求解出集合，可得到两集合的包含关系，知正确.【详解】中，若集合，，则，可知错误；中，集合均为点集，则交集结果应为点集，不应是数集，错误；中，没有真子集，错误；中，集合，，则，正确.故选：【点睛】本题考查集合相关命题的辨析，涉及到交集的定义、点集和数集的区别、集合间的包含和真包含关系的判断等知识.2．（2019秋·江苏苏州·高一张家港高级中学校考阶段练习）下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据元素与集合关系的表示，空集的定义和性质，集合相等，交集运算的定义，逐一判断五个结论的正误，可得答案．【详解】“∈”表示元素与集合的关系，故①错误；空集是任何集合的子集，故②正确；由{0，1，2}＝{1，2，0}可得{0，1，2}⊆{1，2，0}成立，故③正确；空集不含任何元素，故④错误“∩”是连接两个集合的运算符号，0不是集合，故⑤错误所以错误写法的个数为3个故选：C．【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断及应用，以及列举法表示集合，特别注意对空集的理解，属于基础题．3．（2020秋·浙江台州·高一校考阶段练习）设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】集合：，集合：，集合的分子代表偶数，集合的分子代表奇数，即可判断选项.【详解】对于集合：，对于集合：，集合的分子代表偶数，集合的分子代表奇数，则集合和集合没有交集.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的运算.属于较易题.【题型六】交集运算及性质【典例分析】1．（2023秋·高一课前预习）设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.【详解】对于A，，当时，结论不成立，则A错误；对于B,，当时，结论不成立，则B错误；对于C，，当时，结论不成立，则C错误；对于D，因为，，所以，又，所以，则，则D正确.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，，．若，则集合A中元素个数的最大值为（

）A．1347 B．1348 C．1349 D．1350【答案】C【分析】通过假设，求出相应的，通过建立不等关系求出相应的值.【详解】设满足题意，其中，则，，，，，，中最小的元素为1，最大的元素为，，，，实际上当时满足题意，证明如下：设，则,由题知，即，故的最小值为674，于是时，中的元素最多，即时满足题意，终上所述，集合中元素的个数的最大值为1349.故选：C.【提分秘籍】文字语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作（读作“交”）符号语言图形语言运算性质，A，，，，【变式演练】1．（2022秋·辽宁·高一葫芦岛第一高级中学校联考阶段练习）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由交集的概念求解【详解】由得，当，时若，可得满足条件的有，故，故选：D2．（2022秋·福建福州·高一福建省福州高级中学校考阶段练习）已知集合，，则所有子集的个数为（

）A．16 B．8 C．7 D．4【答案】B【分析】先解出集合A，B，再求出，可得的所有子集的个数.【详解】因为，，所以，的所有子集的个数为.故选：B.3．（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第一中学校考阶段练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（

）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个【答案】C【分析】由题意知，子集A和B不可以互换，即视为不同选法，从而对子集A分类讨论，当A是二元集或三元集或是四元集，求出相应的B，根据计数原理得到结论．【详解】解：对子集A分类讨论：当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．故选：C．【题型七】并集运算及其性质【典例分析】1.（2016秋·河北衡水·高二统考期中）若，，定义，则A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由题意，，所以,所以考点：新定义及集合的基本运算．2．（2022·高一课时练习）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1），；（2）A的元素个数不是A中的元素，的元素个数不是中的元素．则有序集合对的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根据已知条件，按集合中得元素个数进行分类讨论.【详解】若集合A中只有1个元素，则集合中有3个元素，且，，所以，，此时有序集合对有1对；同理，若集合中只有1个元素，则集合A中有3个元素，此时有序集合对有1对；若集合A中有2个元素，则集合中有2个元素，且，，不满足题意．所以满足题意的有序集合对的个数为．故A，C，D错误.故选：B．【提分秘籍】文字语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作（读作“并”）符号语言图形语言运算性质，A，A；，，【变式演练】1．（2021秋·河南新乡·高一校考阶段练习）设集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据分式不等式的解法，求得，，再结合集合的并集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，根据集合的并集的概念及运算，可得.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的概念及运算，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解集合，结合集合的并集的运算求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2．（2021·全国·高三专题练习）已知全集，若集合，，，A，B的元素个数相同，且对任意的，，则的元素个数最多为（

）A．20 B．18 C．16 D．以上结果都不正确【答案】C【解析】列举出符合条件的A，B的元素，利用A，B的元素个数相同，只需让A，B都取最大元素个数，即可得到的元素个数的最大值.【详解】，，时，，即，同理可得，，，，，，，，，，，A，B的元素个数相同，若的元素个数最多，则，共8个元素，，共8个元素，的元素个数为，故选：C.【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，考查集合的交集、并集的运算，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.3．（2019秋·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考阶段练习）已知集合，集合，则等于。A． B． C． D．【答案】D【分析】根据绝对值不等式及分式不等式，化简集合M,P，根据并集运算求解即可.【详解】,,即，，，即,,故选：D【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，分式不等式，绝对值不等式，属于中档题.【题型八】全集与补集运算及性质【典例分析】1．（2023秋·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，借助韦恩图判断ABC；结合集合的包含关系推理判断D作答.【详解】由是全集的两个非空真子集，，得，如图，当时，，A错误；观察图形，，BC错误；由，得，因此，D正确.故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）已知全集U，M，N是U的非空子集，且，则必有（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据补集的运算性质可得解.【详解】由，根据补集的性质可得：，即由图可知故选：B【提分秘籍】文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作符号语言且图形语言运算性质U，A，U，【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知全集，集合，，则a的所有可能值形成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，即，当时，不符合元素的互异性，时，符合题意.【详解】由，即，则，解得，若，则，而，不符合集合中元素的互异性，舍去；若，则，，，符合题意.所以a的所有可能值形成的集合为.故选：A.【点睛】本题考查补集的性质，注意，属于基础题.2．（2020秋·山西朔州·高二校考阶段练习）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将分式不等式化为整式不等式得到求解集，即为A的集合，进而求A在R上的补集【详解】由，有∴可得：或故，或∴故选：C【点睛】本题考查了补集，将分式不等式转化为整式不等式求解集，结合补集运算得到解集的补集3．（2018春·江西南昌·高二南昌二中校考期末）设全集，集合，，，则实数的值为(

)

A．2或－8 B．－8或－2 C．－2或8 D．2或8【答案】D【分析】利用全集，由，列方程可求的值.【详解】由，且，又集合，实数的值为或，故选：.【题型九】交并补综合运算【典例分析】1.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可知集合中元素特征，后由交集，补集定义可得答案.【详解】由题可知集合A中元素表示被3除余1的自然数，又，则.故选：A2．（2023秋·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）设集合均为全集的非空子集，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据交集的性质，可得，由包含关系，可得并集结果，结合交并补的混合运算，可得答案.【详解】因为，所以，则，.故选：A.【提分秘籍】并集性质①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝A；④A∪＝A；⑤A∪B=B∪A.交集性质①A∩B＝A⇔⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔补集的性质①∁U(∁UA)＝A；②∁UU＝；③∁U＝；④A∩(∁UA)＝；⑤A∪(∁UA)＝U；⑥∁U(A∩B)＝(∁UA)(∁UB)；⑦∁U(A∪B)＝(∁UA)(∁UB)．【变式演练】1．（2022秋·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则集合B的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．16 D．18【答案】C【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，再由可知，分类讨论的归属，从而得到集合的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B的子集的个数.【详解】由题设可知，，又因为，所以，而，因为的解为或，的两根满足，所以分属方程与的根，若是的根，是的根，则有，解得，代入与，解得或与或，故；若是的根，是的根，则有，解得，代入与，解得或与或，故；所以不管如何归属方程与，集合总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合B的子集的个数为.故选：C.2.（2022秋·湖北十堰·高一校考阶段练习）已知全集，，则集合B的真子集个数为（

）A．63个 B．64个 C．127个 D．128个【答案】C【分析】根据补集关系，先得到与集合B互补的结论，再计算出集合B元素个数n，最后根据集合真子集个数为个即可.【详解】根据可得，，，故合B的真子集个数为故选:C3．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析集合M、N，得到，再对四个选项一一判断.【详解】，.因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数.所以对于A：.故A错误；对于B、C：.故B正确；C错误；对于D：.故D错误.故选：B【题型十】集合运算与新定义【典例分析】1.（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）设集合M、，定义集合，则集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】准确理解定义，根据定义先求，再结合定义求.【详解】因为，所以，所以，故选：D.2．（2021·高一单元测试）对于集合，定义，，设，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题中集合新定义的特性结合集合的基本运算可求解出结果.【详解】集合，，则，，由定义可得：且，且，所以，选项ABD错误，选项C正确.故选：C．【提分秘籍】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.【变式演练】1．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算，若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案.【详解】解：因为，所以或所以或，或所以或，，代入验证，故.故选：D.2．（2021秋·海南·高一海南二中校考阶段练习）设，是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：．若，，则（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】计算，，再根据集合的新定义得到答案.【详解】，，故，.则或.故选：B.3．（2021秋·河南焦作·高一温县第一高级中学校考阶段练习）对任意A、BR，记且，并称为集合A、B的对称差.例如，，则.给出四个命题：①若，则；②存在A，BR，使得=⊙；③若，则A=B；④若A，则AB．其中假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据且，判断集合元素之间的关系可判断①正误；设，,判断集合元素之间的关系可判断②正误；由可知，且，可判断③正误；根据题意且可判断④正误；【详解】且B中元素不能出现在中，，故①正确；设，,则，或，，或,或,=⊙，故②正确；且，与相同，，故③正确；且,且故④错误；故选：A【题型十一】集合计算技巧：韦恩图【典例分析】1.（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算且称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：①

②③

④则个命题中是真命题的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的正误.【详解】对于①，，①对；对于②，且且，同理，则，所以，表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：同理也表示如上图阴影部分区域所示，故，②对；对于③，，③对；对于④，如下图所示：所以，，④错.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断.2．（2023·全国·高三专题练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（

）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】如图，由于，故两个阴影部分均为，于是，（1）若，则，，而，成立；（2）反之，若，则由于，，，，，故选：A

【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.【提分秘籍】我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．【变式演练】1.（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合A，B，C是全集U的子集，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，结合韦恩图及排除法判断不合要求的选项，即可得正确答案.【详解】若，如下图示，由图知：、、不成立，A、B、D排除；故选：C2.（2022秋·高一课时练习）如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.【详解】解：如图所示，A.对应的是区域1；

B.对应的是区域2；C.对应的是区域3；

D.对应的是区域4.故选：B3．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）集合，，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】记，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为，，所以，记，对于A选项，其表示，不满足；对于B选项，其表示，不满足；对于C选项，其表示，满足；对于D选项，其表示，不满足；故选：C.【题型十二】集合运算技巧：容斥原理【典例分析】1.（2020秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合A中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合A，B，有.2020年高考后某校考生再创佳绩，其中收到重点大学录取通知书的有172人，收到师范类大学录取通知书的有121人，这些人中收到重点师范类大学（既是重点大学又是师范类大学）录取通知书的有33人，那么该校考生2020年收到重点大学和师范类大学录取通知书的总人数为（

）A．293 B．260 C．205 D．154【答案】B【分析】代入条件中并集的元素个数的公式，即可求解.【详解】设收到重点大学录取通知书的学生构成集合，收到师范类大学录取通知书的学生构成集合，根据，.故选：B2．（2022秋·广东佛山·高一统考期中）某校举办运动会，高一（1）班参加田赛的学生有15人，参加径赛的学生有18人，两项都参加的有5人，那么高一（1）班参加本次运动会的人数共有（

）A．18 B．23 C．28 D．16【答案】C【分析】作出韦恩图后进行辅助计算.【详解】

设集合分别是参加田赛，径赛的学生，由题意集合有名学生，集合有名学生，部分中有人，总人数为含有的人数，即人.故选：C【变式演练】1．（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，问只参与两项活动的同学有多少人？（

）A．30 B．31 C．32 D．33【答案】C【分析】先画出韦恩图，根据荣斥原理求解.【详解】画出维恩图如下：设：只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，则：，；故答案为：32人.2．（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，所以单独参加数学的有人，单独参加物理的有人，单独参加化学的有，故参赛人数共有人，没有参加任何竞赛的学生共有人.故选：D.3．（2020秋·北京·高三强基计划）在一次竞赛中有A，B，C三道题．①在所有参赛学生中共有30人至少解出一道题；②仅解出一题的学生中，解出C题的人数占一半；③解出A题的学生人数等于仅解出B题的学生人数；④仅解出A，B题的人数等于仅解出B，C题的人数；⑤仅解出A题的人数等于4；⑥仅解出A，C题的人数是仅解出A，B题的人数的一半．则同时解出A，B，C三题的学生人数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】设只解出A，B，C的人数分别为a，b，c，仅解出的人数分别为z，x，y，同时解出A，B，C三题的人数为w，则可得关于诸参数的方程组，用表示其他的量后可得其值，从而可求同时解出A，B，C三题的学生人数.【详解】设只解出A，B，C的人数分别为a，b，c，仅解出的人数分别为z，x，y，同时解出A，B，C三题的人数为w，则于是，且，因此同时解出A，B，C三题的学生人数为1．故选：B新模考真题一、单选题1．（2023春·贵州黔西·高二校考期中）设集合，,则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别求出集合,再根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为，，所以.故选：C.2．（2022秋·广东梅州·高一校考期中）设集合，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】应用集合的并运算求集合即可.【详解】.故选：C3．（2023春·贵州遵义·高一统考期中）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由补集的定义可得出集合.【详解】因为全集，集合，则.故选：C.4．（2022秋·江苏·高一淮阴中学校考期中）已知集合，若是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则；则集合的个数为（

）A．8 B．16 C．20 D．24【答案】B【分析】由补集与子集的概念求解，【详解】由题意当时，，当时，，当时，，当时，，元素5与7没有限制，则集合的个数等于的子集个数，集合有个子集，集合可以为：，，，，，，，，，，，，，，，，共16个，故选：B5．（2022秋·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期中）定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为A．2 B．6 C．14 D．15【答案】B【分析】根据集合的新定义运算，再由集合有3个元素确定出n的取值集合，求解即可.【详解】因为，，，所以，又集合有3个元素，当时，即时，满足题意，当时，即，（舍去）时，，不符合题意，当时，即时，满足题意，当时，即，（舍去）时，，不符合题意.综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.故选：B6．（2022秋·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据4和6的最小公倍数为12，得，而，易得两集合之间关系.【详解】,且,,，又，则集合中的元素应为12的正整数倍,集合中的元素为24的整数倍,故,.可知,当元素满足为24的整数倍时,必满足为12的正整数倍,则故A,B错误，对D选项，若，则此元素既不在集合中，也不在集合中，故D错误，故选：C.7．（2022秋·上海宝山·高一上海市行知中学校考期中）用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（

）A．4 B．3 C．2 D．9【答案】C【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论．【详解】由已知，又，所以或，又中显然是一个解，即，因此，所以，所以有两个相等的实根且不为0，，，经检验符合题意，，所以．故选：C．8．（2020秋·上海徐汇·高二位育中学校考期中）非空向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：①若为“类集”，则集合也是“类集”；②若、都是“类集”，则也是“类集”；③若、都是“类集”，且至少有两个公共元素，则也是“类集”；④若、都是“类集”，则集合也是