2022年河北省定州市初三中考二模数学试题（含详解）

2022年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试

数学试卷

一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分；11~16小题各2分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.―工的相反数是（）

2

11

A.—2B.2C.-----D.—■

22

2.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“抗”字所在面相对

3.我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了

0.000000022米.用科学记数法表示0.000000022为（）

A.22x10-10B.2.2x10-10C.2.2xl0-9D.2.2xl0-8

4.下列运算正确是（）

A.2a2-a2=a2B.a3+a3=a6

C.（-xy2）3=-x3y5D.2mn-3mn-5mn

5.如图，NACD是AABC的外角，CE平分NACD,若NA=60。，ZB=40°,则/ECD等于（）

A

/A/'

/\/A.40°B,45°C.50°D.55°

BCD

6.一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示,对于这10次射击的成绩有如下结

木环数10

10-------------------詈------

论，其中不正确的是（）8\

7…-VT……r-T..............

nl―—-~~"-""'""'~

°12345678910次数

A.众数是8B.中位数是8C.平均数是8D.方差是1

7.如图，点尸、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则APMN的周长为（）

B.6及C.6百

8.在平面直角坐标系中，函数丁=〃a+〃?+2的图象如图所示，则加的取值范围是（

A.m<0B.tri>-2C.-2<w<0D.

>

x

0<m<2

9.如图，O。是等边3c的外接圆，点。是弧BC上的点，且NC4D=20。，则NACO的度数为

（）

A70°B.80°C.90°D.100010.我国古代数学著作《数书九章》记载:

“今有甲乙二人，持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意

思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙一半的钱给甲，则甲的钱数为50,若把甲;的

钱给乙，则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x,乙持钱）'，则可列方程组为（）

XH----y=50—x+y=50

22

2

y=50x+—y=50

1“1“

x+—y=50x+—y=50

22-

1“22

x+—y=50y+—x=50

33

11.如图，抛物线y=ax?+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=l,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为()

12.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留

加宽的门，所有围栏的总长（不含门）为27m，则能建成的饲养室面积最大为（）

B.C.48m2D.些，，2

22

13.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收

2元.圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（）

A.17元B.19元C.21元D.23元

14.如图，AMC是等腰直角三角形，NACB=90。，AC=BC=2,把AABC绕点A按顺时针方向旋

转45°后得到△A8C',则线段8c在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）

11

-7tB.-nC.nI).2乃

32

15.如图，反比例函数y=K

（x<0）的图象经过正方形ABCO的顶点A,B,连接40,BO,作A尸，y轴

X

于点F,与OB交于点E,E为OB的中点，且&AOE=3,则攵的值为（）

DA.4B.-4C.8D.-8

16.如图，OE是边长为4的等边AABC的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿

折线向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿向点C运动，当点P到达终

点时，点Q同时停止运动.设运动时间为四点围成图形的面积S与时间f之间的函数图象是

()

二、填空题（本大题共3个小题，12分.17、18小题每题3分，19小题2空，每空3

分.把答案写在答题卡中横线上）17.因式分解：X2-4%=—.

18.如图，在平面直角坐标系中，以点。为圆心，适当的长为半径画弧，交x轴于点A,交y轴于点B,

再分别以点A,B为圆心，大于/AB的长为半径画弧，两弧在第四象限交于点P.若点P的坐标为（一

2a,4a+6),则a的值为

19.在平面直角坐标系中，直线/：y=x+l与y轴交于点4，如图所示，依次作正方形

OA&G，正方形GA282c2，正方形。2人员G，正方形C3A4B4C4,…，点4，A,4，A4，…在直

线/上，点c，C2,G，…在X轴正半轴上，则第二个正方形GaB2G的对角线长为，前〃

个（〃为正整数）正方形对角线的和是

三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤）

20.先化简，再求值：（1—-三）/;+3\其中x=|G—1]—（—LT-taMS。.

x-3?-92

21.知识改变世界，科技改变生活.导航装备不断更新极大地方便了人们的出行.中国北斗导航已经全

球组网，它已经走进了人们的日常生活.如图，某校周末组织学生利用导航到某地（用A表示）开展社会实

践活动，车辆到达B地后，发现A地恰好在B地的正北方向，且距离B地8千米.导航显示车辆应沿北偏

东60。方向行驶至。地，再沿北偏西45。方向行驶一段距离才能到达A地.求A、C两地间的距离（结果精

确到01千米）.（参考数据：V2®1.414,73»1.732）

22.“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方

式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图.

解答下列问题:

（1）接受问卷调查的学生共有人.

（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“A”所对应的圆心角的度数；

（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞

赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.

23.联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念.

定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心.

举例：如图1,若PD=PE,则点P为13ABe的准内心.

应用：如图2,BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF=^BP,求证：点P是mABC的内

2

心.

探究：已知回ABC为直角三角形，EC=90°,准内心P在AC上，若PC=^AP,求鼬的度数.

2

AB上一点，C。平分NACB,以。为圆心，0B长为半径作。0,。。与BC相切于点8,交C0于点。,

延长CO交。。于点E,连接BO,BE.

（1）求证：AC是0。的切线.

（2）若tan/BOE=2,BC=6,求。。的半径.

25.某公司计划生产甲、乙两种产品，甲种产品所获年利润以（万元）与投入

资金〃（万元）的平方成正比例：乙种产品所获年利润为（万元）与投入资金〃（万元）成正比例，并得

到表格中的数据.设公司计划共投入资金〃？（万元）（加为常数且加＞0）生产甲、乙两种产品，其中投

入甲种产品资金为x（万元）（其中OWxW"）,所获全年总利润W（万元）为X与内之和・

«（万元）2

%（万元）0.1

i

y2（万元）

（1）分别求H和y2关于〃的函数关系式;

（2）求W关于X的函数关系式（用含加的式子表示）；

（3）当“2=50时，公司市场部预判公司全年总利润W的最高值与最低值相差恰好是40万元，请你通过

计算说明该预判是否正确；

26.如图，抛物线y=+8x+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,直线y=-x+6经过B,C

两点，点P为第一象限内抛物线上一点，射线0尸与线段BC交于点D

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,连接AC,当/。^7+/0£^=180。时，求点P的坐标；

（3）过点8作BELx轴交射线OP于点E,当A8QE为等腰三角形时，直接写出点。坐

图1备用图

2022年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试

数学试卷

一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分；11~16小题各2分.在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.―工的相反数是（）

2

【答案】D

【解析】

【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解.

【详解】解：因为-g+g=0,

所以-3的相反数是3.

故选：D.

【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键.

2.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“抗”字所在面相对

的面上的汉字是（）

抗疫

胜C.胜D.利

【答案】B

【解析】

【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.

【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

“抗”与“定”是相对面.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字.解题的关键是掌握找正方体相对两个面上的文字的

方法，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题.3.我国北斗公司在2020年发布了一款

代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米.用科学记数法表示

0.000000022为（）

A.22x1010B.2.2x10-10C.2.2xl0'9D.2.2x108

【答案】D

【解析】

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-n,与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解:0,000000022=2.2X1O8.

故选：D.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟悉相关性质是解题的关键.

4.下列运算正确的是（）

A.2a2—cT=cTB.a3+a3=a6

C.（-xy2）3=-x3y5D.2mn-3mn-5inn

【答案】A

【解析】

【分析】根据合并同类项、塞的运算的法则，逐个进行分析计算，即可得出正确结果.

【详解】解：由题意得，A、根据合并同类项法则，同类项合并时，字母及字母的指数不变，系数相加可

知，2aA选项正确；

B、根据合并同类项法则，同类项合并时，字母及字母的指数不变，系数相加可知，a3+«3=2«3.B选

项错误；

C、根据幕的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘可知，（-孙2）3=—/y6,c选项错误；

D、根据单项式乘单项式的运算法则：系数与系数相乘，相同字母的幕相乘，其他字母连同指数作为积的

因式写下来可知，2mn-3mn-6m2n2>D选项错误；

故选：A.

【点睛】熟练掌握合并同类项法则，基的运算法则是解本题的关键，本类型题属于中考选择必考题型，分

值：3分.

5.如图，/ACD是AABC的外角，CE平分NACD,若NA=60。，ZB=40°,则/ECD等于（）

A

60

BD

A.40°B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【解析】

【详解】【分析】根据三角形外角性质求出NACD,根据角平分线定义求出即可.

【详解】,.•NA=60°,ZB=40°,

ZACD=ZA+ZB=100°,

；CE平分/ACD,

.,.ZECD=|ZACD=5O0,

故选C.

【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关

键.

6.一位射击运动员在一次训练效果测试中射击了10次，成绩如图所示，对于这10次射击的成绩有如下结

论，其中不正确的是（）

A.众数是8B.中位数是8C.平均数是8D.方差

是1

【答案】D

【解析】

【分析】分别根据众数、中位数、平均数和方差的定义计算各项，进而可得答案.

【详解】解：由题意得：这10次成绩的环数为：6,7,7,8,8,8,8,9,9,10（已按照从小到大的顺序

排列）;

所以这10个数据的众数是8环，中位数是8环，平均数=6+7*2+8*4+9、2+10=8环,

10

方差=56-8）2+（7-8）2x2+（8-8）2+（9-8）2x2+（10-8）1=1.2环2.

10L-

所以在以上4个选项中，D选项是错误的.故选：D.

【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数和方差的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关

键.

7.如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则APMN的周长为（）

B.6>/2C.66D.9

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得NABM=120°,AB〃MP,从而得/BMC=NAPD=60°,作AD_LPM于点D,作BCLPM

于点C,得四边形ABCD是矩形，进而得PM=CD+MC+PD=3,即可求解.

【详解】•••点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，

.".ZABM=120°,AB〃MP,

AZBMC=ZAPD=60°,

作ADLPM于点D,作BCLPM于点C,

,11]

...MC=PD=：BM=—AB=—x2=g,BC〃AD,

2442

...四边形ABCD是平行四边形，

又•.，NBCD=90°,

四边形ABCD是矩形，

；.CD=AB,

PM=CD+MC+PD=2+！+：=3,

22

APMN的周长为：9.

故选D.

【点睛】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角

形的性质，以及矩形的判定和性质定理，添加辅助线，构造直角三角形和矩形，是解题的关键.

8.在平面直角坐标系中，函数丁=〃a+〃?+2的图象如图所示，则加的取值范围是（）

0Vm<2

【答案】c

【解析】

【分析】由一次函数产依+6中，人决定了直线的倾斜方向，k>0,直线向右上方倾斜：k<0,直线向右下方

倾斜；〃决定了直线与y轴的交点位置，b>0,直线与y轴交与y轴正半轴；*0直线与y轴交与y轴负半

轴.

【详解】解：由一次函数图象性质可得：

m<Q

m+2>0

解得：一2<〃?<0,

故选C.

【点睛】本题主要考查一次函数图象性质，解决本题关键是要熟练掌握一次函数图象的性质.

9.如图，OO是等边AABC的外接圆，点。是弧8c上的点，且NC4£>=20。，则NACO的度数为

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】D

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质得到N4CB=NA8C=N84C=60。,根据圆周角定理得到

/BCD=/BAD=40。,进而可求出NACO的度数.

【详解】解：,••△43C是等边三角形，

・・・ZACB=ZABC=ZBAC=60°,

NCAO=20。，

・・・ZBAD=ZBAC-ZCAD=40°,

BD=BD，

Q

：.ZBCD=ZBAD=^f

：.ZACD=ZACB+ZBCD=100°,

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的

性质和圆周角定理是解决问题的关键.

10.我国古代数学著作《数书九章》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太

半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙一

2

半的钱给甲，则甲的钱数为50,若把甲§的钱给乙，则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱？若设甲

持钱工,乙持钱则可列方程组为（）

x+—y=50—y=50x+—y=50

222

A.<B.〈「C.<।D.

221

x+—y=50x+—y=50x-\--y=50

x+—y=50

2

y+-x=50

I3

【答案】D

【解析】

【分析】设甲持钱x,乙持钱y,根据“把乙一半的钱给甲，则甲的钱数为50,若把甲:的钱给乙，则乙

的钱数也为50”，即可列出方程组.

【详解】解：设甲持钱X,乙持钱y,根据题意得：

1

x+—y=50

2

25

y+—x=50

3

故选：D.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.

11.如图，抛物线y=ax?+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=l,且经过点P(3,0),贝1Ja-b+c的值为()

B.-1C.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：因为对称轴x=l且经过点P(3,0)

所以抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0)

代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a-b+c=0.

故选A.

考点：二次函数的图象.

12.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的三处各留

加宽的门，所有围栏的总长(不含门)为27机，则能建成的饲养室面积最大为()

2252

75m2B.C.48m2D.-----m~

22

【答案】A

【解析】

【分析】先设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，再根据总长求出x与y的等式关系，然后根据矩形的面积

公式列出函数，最后根据二次函数的性质求解即可.

【详解】设矩形饲养室的长为x米，宽为y米，则x>0,y>0

由所有围栏的总长(不含门)可得：3x+2y—(1+1+1)=27

整理得：y=15-|x

3

由y>0,即15一—%>0得：x<10

2

3

则能建成的饲养室的面积为S=2.=2x（15--%）

整理得：S=-3（x—5尸+75

由二次函数的性质可知，在0<x<10的范围内，当x=5时，S取得最大值，最大值为75

故选:A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，依据题意，正确求出矩形饲养室的长与宽、以及长的取值范围是解

题关键.

13.已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收

2元.圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（）

A.17元B.19元C.21元D.23元

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果.

【详解】由题意得：13+（8-5）x2=13+6=19（元）

即需要付费19元

故选：B.【点睛】本题考查了有理数运算的实际应用，依据题意，正确列出算式是解题关键.

14.如图，AABC是等腰直角三角形，NACB=90。，AC=BC=2,把AABC绕点A按顺时针方向旋

转45°后得到△AB'C,则线段8C在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）

【答案】B

【解析】

【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到/BAC=45。，AB=0AC=2近，再根据旋转的性质得

ZBAB'=ZCAC'=45°,则点9、C、A共线，利用线段8C在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面

积=5浦彩BAB-S南彩6。进行计算即可.

【详解】解：•.♦△ABC是等腰直角三角形，

NBAC=45°,AB=近AC=272，

:△ABC绕点A按顺时针方向旋转45。后得到△ABC,

・・・N3A3'=NC4C'=45。，

・・・点夕、C、A共线，

・・・线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积

二S扇形BAB^S^AB'C-S切形CAC-S^ABC

=S扇形BAB'-S扇形CAC

455x（20）245•万x2?1

=__________________________=——几

3603602

故选：B.

【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面

积.也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质.

k

15.如图，反比例函数y=-（x<0）的图象经过正方形ABC。的顶点A,B,连接AO,BO,作AFLy轴

X

于点尸，与OB交于点E,E为。8的中点，且S20E=3，则上的值为（）

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】D

【解析】

【分析】过点2作轴交于点G,得到即是ABOG的中位线，EF=gBG,设A（a,一），BCb,

za

khk

-）,得到E点坐标为（g-）,设OB的解析式为尸Av,代入E,B坐标得到a=2b,根据&AOE=

b2a

1o

-AExG/得到SAAOH——后，故可求出女的值.

23

【详解】过点B作8G_Ly轴交于点G,

轴,3G_Ly轴,

：.AF//BG

•••E点是OB的中点

:.EF是ABOG的中位线

J.EF^^BG

kk

设A(a,—),B(b,一),

ab

：・BG=-b,EF=--

2

则E点坐标为（2,

2a

设OB的解析式为产女出（太?0）,过E点

.kb

—ki

a2

,,2k

・・k\——

ah

2k

•*-OB的解析式为y=——x,

ah

代入8点，即k;二J2kxb

hah

八,T(k—kz.

把a=2b代入得S^AOE=­XI——-2A:+Z:

：.k=-S

故选D.

【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图

像与性质、待定系数法、三角形中位线的性质.

16.如图，是边长为4的等边△A3。的中位线，动点尸以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿

折线AO-O石向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点3出发，沿向点C运动，当点尸到达终

点时，点。同时停止运动.设运动时间为友,良。,RQ四点围成图形的面积S与时间/之间的函数图象是

【答案】C

【解析】

【分析】分两种情况进行讨论：①当0〈江2时，点尸在AO上，根据三角形的面积公式可知ABP。的面

积，代入数据求出S与，之间的函数解析式；②当2V以时，点尸在QE上，根据图形的面积公式可知梯

形的面积，代入数据求出S与f之间的函数解析式，从而判断出函数图象而得解.【详解】解：

•••OE是边长为4的等边"BC的中位线，

：.AD=DB=DE=2,4B=4,NB=60°.

分两种情况：①当0VW2时，点P在4。上，

'：AP=BQ=t,

：.BP=AB-AP=4-t,BQ边上的高〃=子(4_0

△BPQ的面积S=；BQ-h=Jf•走(4一f)=一立产+6/；

2224

②当2</4时，点尸在£>E上，

：.DP=t-2,BQ=t,BQ边上的高/i=6

梯形BOPQ的面积(DP+BQ)•力(f-2+r)义拒=+t-拒;

纵观各选项，只有C选项图形符合.

故选：C.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了等边三角形的性质，解直角三角形，分两段得到由

8、。、P、。四点围成的图形面积并求出相应的函数关系式是解题的关键.

二、填空题(本大题共3个小题，12分.17、18小题每题3分，19小题2空，每空3

分.把答案写在答题卡中横线上)

17.因式分解：x2-4x=___.

【答案】Mx-4)

【解析】

【分析】式子中含有X公因式，所以利用提取公因式法分解因式即可得.

详解】解：x2-4x=x(x-4),

故答案为：x（x—4）.

【点睛】题目主要考查利用提公因式法进行因式分解，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解题关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，以点。为圆心，适当的长为半径画弧，交x轴于点A,交y轴于点B,

再分别以点A,B为圆心，大于gAB的长为半径画弧，两弧在第四象限交于点P.若点P的坐标为（一

2a,4a+6）,则a的值为.0\J

ip

【答案】-3

【解析】

【分析】根据作图可知点P在第四象限的角平分线上，从而得出-（-2a）=4a+6,解之可得.

【详解】由作图可知点P在第四象限的角平分线上，

2a=4a+6,

解得a=-3,

故答案为-3.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形性质的相关知识点.

19.在平面直角坐标系中，直线/：y=x+l与），轴交于点A，如图所示，依次作正方形0A4G，正方形

c,AB2C2,正方形GA3B3G，正方形GA464c4,…，点A，A2,4,...在直线/上，点C,

c2,G，…在x轴正半轴上，则第二个正方形GAB2G的对角线长为，前〃个（〃为正整

Z,

【答案】①.20②.(2-1)V2

【解析】

【分析】由题意可得正方形。ABiG的对角线长为J『+]2=&,第二个正方形G4282c2的对角线长为

,2?+22=20，正方形AS3c3c2的对角线长为次+42=472，得到正方形A，8CC7的对角线长为

2"T、历，得到前〃个正方形对角线长的和是：（l+2+4+8+...+2n-1）V2＞进一步计算就可以得到前〃

个正方形对角线长的和，本题得以解决.

对于直线/：y=x+1,

当x=0时，y=l,

当y=0时，O=x+1,解得x=-l,

・••点4的坐标是（0,1）,04=1,点A的坐标是（-L0）,OA=1,

正方形OAIBIG边长为1,正方形。4SG的对角线长为户手=夜,

OC\=A\B\—81cl=1,

对于直线/：y=x+l,

当x=l时，y=2,

.••点4的坐标是（1,2）,

2cl=2,

正方形A232c2G的边长为2,

・・・第二个正方形G482c2的对角线长为7FZF=2＞/2，

同理正方形A383c3c2的边长为4,

正方形4383c3c2的对角线长为“2+42=4A/2，

…正方形的边长为2"正

正方形＞的对角线长为2'-'0，

前〃个正方形对角线长的和是：（1+2+4+8+…+2'i）&，

设S=1+2+4+8+…+2"-I,则2s=2+4+8+…+2"-1+2",

则2S-5=2"-1,

：.S=2"-1,

+2+4+8+…+2”7=2"-1,

.•.前〃个正方形对角线长的和是：（2"-1）夜，故答案为：4也,（2«-1）夜，

【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正方形的的性质，解答本题的关键

是明确题意，利用数形结合的思想解答.

三、解答题（本大题共7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.先化简，再求值：（1一一二”r+31其中x=|G—1|—（__L）T—tan45。.

x-3X2-92

【答案】一一，—百

X

【解析】

【分析】先将括号里的分式通分，根据分式的减法进行计算，再根据分式的除法法则进行计算，最后代入

求值.

-3x—3

x-3x

3

当x=|一口"45。=百—1+2—1=百时

3

原式=--不=一6.

【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的运算法则.

21.知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行.中国北斗导航已经全

球组网，它已经走进了人们的日常生活.如图，某校周末组织学生利用导航到某地（用A表示）开展社会实

践活动，车辆到达B地后，发现A地恰好在B地的正北方向，且距离B地8千米.导航显示车辆应沿北偏

东60。方向行驶至。地，再沿北偏西45。方向行驶一段距离才能到达A地.求A、C两地间的距离（结果精

确到0.1千米）.（参考数据：0~1.414,6=1.732）

45°i

【答案】7.2千米

600

B

【解析】

【分析】设AC=x千米，过点C作可得A0=CO=Y2X，

PNCD~TX

2BD——=^-®0.408x

tan6Q°V3

根据4?=">+助>列方程求解即可.

【详解】解：设AC=x千米，过点C作COLAS,交A8于点。

Ji

在R/ACZM中，ZCAD=45°,AD=CD=—x^0.7()7x

2

----X

在应A88中，“80=6。°,BD=_^_=2«0,408x

tan6Q°G

AB=AD+BD=S

0.707X+0.408%=8

x«7.2

答:A、。两地间的距离约为7.2千米.

【点睛】本题主要考查解直角三角形应用和特殊三角函数..熟练掌握特殊三角函数值是解决问题的关键.

22.“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方

式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图.

图例：

A:基本了解

B:了解

C:了解很少

D:不了解

解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有人.

（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“A”所对应的圆心角的度数；

（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞

赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.

3

【答案】（1）60；（2）见解析，60；（3）树状图见解析，j

【解析】【分析】（1）根据样本容量=频数+频率即可求解；

（2）先根据频率=频数+样本容量求出频率，再根据扇形统计图中圆心角=360叩频率即可求解;

（3）根据概率的定义和画树状图法即可求解.

【详解】（1）解：30+50%=60,

故答案为：60.

（2）学生共有：30+50%=60（人）,

的人数为：60-5-30-10=15（人）,

“A”所占圆心角的度数为：360°X—xl00%=90°,

60

补全条形图如图所示：

（3）画树状图为

开始

男Z女1女2女3男1女1女2女3男1男Z女Z女3男1男2女1女3男1男Z女1女2

由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，

123

（选中一男一女）=—=-.

205

【点睛】本题主要考查统计图分析和概率计算，解决本题的关键是要熟练掌握统计图分析方法和画树状图

求概率的方法.

23.联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念.

定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心.

举例：如图1,若PD=PE,则点P为13ABe的准内心.

应用：如图2,BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，且PF二』BP,求证：点P是团ABC的内

2

心.

探究：已知回ABC为直角三角形，0C=9O°,准内心P在AC上，若PC=，AP,求E1A的度

2

【答案】应用：见解析，探究：30°

【解析】

【分析】应用：由AABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到/ABC=60。，由角平分线的性质

ZPBE=3O°,得到PE=±PB,因为BF是等边4ABC的角平分线，由三线合一得到BF±AC,PF=：BF,

证得PE=PD=PF,得到结论P是4ABC的内心;

探究：根据题意得：PD=PC=1AP,由锐角三角函数得到结论.

【详解】应用：•••△ABC是等边三角形,

.,.ZABC=60°,

:BF为角平分线，

ZPBE=30°,

1

.\PE=-PB,

2

VBF是等边aABC的角平分线,

.\BF±AC,

1

VPF=-BF,

2

；.PE=PD=PF,

AP>AABC的内心;

探究：根据题意得：

I

PD=PC=-AP,

2

L

:.PD2AP1，

sinA==-=—

APAP2

AZA是锐角,

ZA=30°.

【点睛】此题考查圆的综合，用到的知识点是角平分线的性质，特殊角的三角函数，等边三角形的性质,

解题关键是读懂题意，弄清楚准内心的定义.

24.如图，已知，在“8C中，。为AB上一点，CO平分/AC3,以。为圆心，08长为半径作。0,。0

与8c相切于点8,交C。于点。，延长C