粒子运动状态的量子描述

粒子运动状态的量子描述在什么情况下使用经典描述，什么情况下使用量子描述？如何来判别呢？20世纪当不少物理学家为光的波粒二象性感到困惑时，德国物理学家德布罗意于1924年提出一个假说，认为一切微观粒子都具有波粒二象性，并把标志波动性质的量3和k通过一个普适常数用标志粒子性质的&和p联系起来。&=bw p=hk h=h/2n普朗克常数是物理中的基本常数，它的量纲是［时间］•［能量］=［长度］•［动量］=［角动量］这样一个物理量通常成为作用量，因而普朗克常数也称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采用经典描述或量子描述的判据。当一个物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个物质系统就是量子系统。反之，如果物质系统的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究。在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于离子的自由度数。微观粒子的运动不是轨道运动，这一点我们可以作如下解释：继德布罗意之后，1927年，海森堡在研究粒子和波动的二象性时，得到一个重要的结果：微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。即用4q表示粒子坐标的不确定值和4p表示粒子动量不确定值，在量子力学所容许的最精确的描述，4q与4p的乘积满足4q4旷h称为测不准关系或写成AtAE»h它揭示：量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动量，因此这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，是微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数来描述的。值得指出的是：在经典力学的理论中，粒子可以同时具有确定的坐标和动量，这并不是在实际上我们可以任意的精确度做到这一点，而是说在经典的理论中，原则上不允许对这种精确度有任何限制。特别地在经典范围内，波动量很小，以致于探测不到。因此认为物质有确定的坐标和动量，这并不与测不准关系发生矛盾。具体事例空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动。在量子力学中粒子的运动满足薛定谭方程：-2mv2必）=M）其中二XI+二XI+yj+zk)上式可变成为：2屮(r)=P-屮(r)解为屮6)=cexp—p-r

2m 2m 力上式可变成为：根据周期性边界条件，在点A(J2,yZ和A‘C-l/2,y,z) (r)的自己i(L )i(L )cexp——p+p+pzhl2xyz丿应相同。即：i(1)=cexp-pL+p+pzh12x y z丿expf衲l]=1得p=l力x丿2方兀L同理可得：p=—n和p=2兀nyLyzLz以上的式子表示，动量只能取分立的值。p2 2力2兀2n2:£ =x= xnx 2m m L2总能量：£= C2±n2±n2)mL2xyz以上的式子表示，能量是分立的。这里nx，ny，nz即为量子数，量子态即由这些量子数来描述，对于一确定的能量&，nx，ny，nz可取不同的值，因此，对于一确定的能量来说，系统有许多量子态。经典粒子的动量和能量是连续的，而在量子情形中，动量和能量是分立的，这是局域在有理空间范围的量子粒子的特性。一维的情况：2h一维的情况：2hnp=nxLx2力2兀2£= n2mL2 x相邻两个能级的间距为：A£=£相邻两个能级的间距为：A£=£-£n+1x=Lh2兀2(2n+1)mL2 x显然，若S8时，△&T0，即能量此时是连续的。粒子的状态与g空间体积元的对应关系在统计物理学所讨论的某些问题中，普朗克常数与有关的物理量相比是一个较小的量，这时，可以利用半经典近似认为粒子是沿着满足量子化条件的那些轨道做轨道运动的。这些量子化轨道与量子描述中的量子状态相对应。由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量子态不能用g空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为相格。相格的大小为血自由度为r的粒子，相格大小为：Aq…AqAp…Ap二hr1 r1 r如果将g空间划分为若干个体积元△31（1=1,2…），则在体积元△31中粒子可能的状态数为431/h 。例如：三维自由粒子的一个状态对应于g空间中体积为h的一个体积元，以V表示容器的体积，在体积V内，三维自由粒子可能的状态数为：Vdpxd匕h3一般常用动量空间中的球极坐标p，，申，来描写自由粒子的动量p，B，卩与p、p、p的关系为：p=psin0cosp；p=psin0sinp；p=pcos0xyz x y z用球极坐标，动量空间的体积元为： p2sin0dpd0dp在体积V内，动量在p到p+dp，e到0+de，申到卩+dp，自由粒子可能的状态数为Vp2sin0dpd0dph3在体积V内，动量绝对值在p到p+dp的范围内，自由粒子可能的状态数为：Vp2dpJ2dp卜sin0d0 4nVp2dp00=h3 h3以能量形式表示，即E=p/2m ，因此在V内，在E到E