电动力学电动力学二六(电多极矩)

§2.6电多极矩(Electricmultipolemoment)本节所要讨论的问题是：在真空中，假若激发电场的电荷全部集中在一个很小的区域（如原子、原子核内），而要求的空间是距源电荷较远，这时可以采用多极矩近似法来解决问题。1、多极矩的概念对于带电体系而言，若电荷分布在有限区域V内，在V中任取一点o作为坐标原点，区域V的线度为l，场点P距o点距离为R。多极矩法是讨论R>>l情况下的场分布问题。xyzoQa=xyzoQ+xyzoQaxyzoQa-Q

以一个最简单的例子来说明：假设V中有一个点电荷Q，位于（a,o,o）点上，如果对远处产生的电势来说，相当于xyzoQ零级近似如果作为一级近似，且o=+xyzQaxyzoQxyzoQa/2-Qo+xyz-Q-QQ+Q如果作二级近似，同理得到xyzoQ+xyzo+Q-Q一级近似xyzoQa=xyzoQ+xyzoQa/2-Q

二级近似xyzoxyzo+-QQQa/2Qxyzo-QQQxyzo-Q-Q-Q-Qa/4Q-QQQQ+Q-Q总之，移动一个点电荷到原点，对场点产生一个偶极子分布的误差；移动一个偶极子到原点，对场点产生一个电四极子分布的误差；移动一个电四极子到原点，对场点产生一个电八极子分布的误差；……。xyzo-QQQ-Q-Qa/4+2、点电荷系的多极展开式

假定V内都是点电荷分布，其中第k个点电荷qk

位于点A处，如图所示。符合R>>l

的条件，P点的电势为其中l··zxPyAqjqkqlo··因为展开令，则相对于原点，有其中表示电荷处在点o对远处产生的电势；上面各个包含cosθ的因式就是勒让德多项式Pn(cosθ)。实际上，通过这个多极子的展开式，P点的电势可写为表示在点o处的电偶极矩的电势；表示在点o处的电四极矩的电势。

若区域V内电荷是连续分布的，且电势为zxPyVoρ考虑源点到场点的距离远大于带电区域V的线度，故可将对在原点附近作泰勒级数展开。3、连续分布电荷体系的多极子展开式

在一元函数f(x)情况下，在原点x=0邻域的泰勒级数为：如果在x=a邻域展开，泰勒级数是：

对于三元函数f(x,y,z)，在原点x=0,y=0,z=0邻域的泰勒级数是：如果在x=a,y=b,z=c点邻域展开，且展开式为实际上由单元到多元直接作如下的对应变换单元三元点变化，并把在原点o附近展开，且有有了以上泰勒级数展开式，取f(x)=

，因r是的函数，即。把场点固定不变。而让源上式是在附近的级数展开。

因为令所以从而得到故得到讨论展开式的每项物理意义：▲展开式的第一项：

▲展开式的第二项：

▲展开式的第三项：表示体系总偶极矩集中于原点处，对场点产生的势，它作为体系在观察点处势的一级近似。表示体系总电荷集中于原点的势，它作为小区域带电体系在观察点的势的零级近似。

综上所述，展开式表明：一个小区域内连续分布的电荷在远处激发的场等于一系列电多极矩在远处激发的场的迭加。讨论：

（1）如果带电体系的总电荷为零，计算电势时必须考虑电偶极子，只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩；如果带电体系的总电荷为零，总电偶极矩也为零，计算电势时必须考虑电四极矩。只有对原点不是球对称的电荷分布才有电四极矩。表示体系总电四极矩集中于原点处，对场点产生的势它作为体系在观察点处势的二级近似。（2）对电四极矩的进一步认识为张量表示对不连续分布的点电荷而言，其总电量和偶极矩、电四极矩的表示式分布为是电四极矩张量的ij

分量，共有9个分量，即其中

i,j=1,2,3也可以写成

▲下面主要证明电四极矩的9个分量，只有5个分量是独立的：a）因为，，。则则则的9个分量只有5个分量独立。的9个分量只有6个分量独立。b)

又令

下面来观察用替代后其电势由变化为=0并不改变其电势的结果，但独立变量由6个变为5个，以后我们可以用也可以用来作为电四极矩张量ij

的分量形式。分析：体系可看成小区域（R>>l），体系对原点而言是不对称的，总电荷为零，故没有零级近似。故必须要考虑电偶极近似zP(x,y,z)-q(o,o,-z´)oq(o,o,z´)lθRr-r+（3）几种典型的电多极矩产生的场a）但偶极矩不为零，即则q-qzP(x,y,z)-qolθRr-r+qba分析：体系为小区域（R>>l），体系内总电荷为零，总偶极矩为零，故没有零级近似和一级近似。由于电荷分布不具有球对称性，可见有电四极矩存在。故有b）即这里

c)

半轴为a,b,c

椭球体内均匀带电，总电量为Q，求它相对于椭球中心的电偶极矩、电四极矩以及准确到二级近似时在远处的电势，并讨论旋转椭球(a=b)和球体(a=b=c)的情况。

由于积分都是对椭球进行的，为此引入广义球坐标变换：分析：体系总电荷为Q，其密度为故得体积元为▲对于广义球坐标应决定于椭球面方程：即是从原点积分到椭球面上，可见r'=1所以，对于r'积分区域：r':0→1.

即是说，这个变换是把半轴为a,b,c

的椭球变为单位球，于是积分区间为该电荷系统电偶极矩各分量为

故，这说明均匀带电椭球相对于原点的偶极矩为零。▲对于电四极矩，由于从而有其中故同理：另外：至此，根据电势的表达式，即有当a=b时，是回转椭球，▲故由上可知，引入的新电四极矩定义它反映了电荷分布与球对称的偏离程度。若表示球体被挤压——长椭球表示球体被拉长——扁椭球结论：可以用来推算原子核的结构情况，所以说电四极矩是分析物质结构的重要物理量。若又因为

x2+y2=R2-z2▲当a=b=c时，是均匀带电球体，此时

设电荷系建立的电势为，另一个电荷系建立的电势为，分布于，分布于总电荷分布为4、电荷体系在外电场中的能量总电场能量为第一、二项分别是和单独存在时的能量，常称为自作用能Wm

；第三项表示两电荷系间相互作用能Wi

，因此电荷体系在外电场中的能量为因为表示

x2空间中的电荷在

x1空间产生势表示

x1空间中的电荷在

x2空间产生势显然，该式意义为：交换积分次序，故得到该式即为电荷体系在外场中的能量。假设电荷系分布的区域V是外场中一个小区域，在其中外场的势变化不大，取其中一点为坐标原点，则可对在原点附近作泰勒级数展开：则得若偶极矩平移，则从能量守恒得

表示把体系的电偶极矩集中到原点时，一个电矩在外场中的能量，作为一级近似的结果。表示把体系总电量集中到原点时，一个电荷在外场中的能量，作为零级近似的结果。若电偶极子相对外场有一平移或转动，而偶极矩的大小和外场保持不变，则由平移或转动引起的系统能量的变化也就等于相互作用能的变化，即即

展开式的第三项：表示把体系的电四极矩集中到原点时，一个电四极矩在外场中的能量，作为二级近似的结果。综上所述，一个小区域内连续分布的电荷在外场中的能量等于一系列多极子在外场中的能量之和。一个电偶极子在外场中的受力为同理，将偶极矩转动一个，力矩作的功为故5、电偶极子在外场中所受到的力和力矩

考虑力矩的方向得到作业：补充题

在边长为a的正方形的四个顶点分别放置电量为Q的点电荷，相邻顶点的电荷符号相反，再在正方形的中心放置等量的+Q

的点电荷。设正方形的各边分别平行于x

轴和

y

轴，原点坐标在正方形的中心处。求该电荷体系在远处区域的电势？(精确到电四极矩产生的势)注意：该题的电荷为不连续分布第二章静电场一、方程二、解静电场的方法1.电磁学方法a.

直接积分法b.高斯定理法电动力学方法(分离变量法)a.解Laplace方程特为通解其形式的确定(分界面为球面考虑球坐标系)1.具有轴对称情况2.具有球对称情况形式的确定：其形式取决于源的形式特b.边值关系

两介质分解面介质与导体的分解面(常数)n为导体外法向c.边界条件为有限值有限的场源均匀外场3、唯一性定理方法

条件给定体分布，而不给出总电量，根据泊松方程、边值关系、及一定的边界条件，得出的解是唯一的。4、电像法适用