离散时间信号与系统教程

第一章

离散时间信号与系统离散时间信号与系统教程第1页本章目录离散时间信号——序列离散时间系统线性常系数差分方程连续时间信号取样Matlab实现2离散时间信号与系统教程第2页1.1引言信号信号与信息信号表示信号分类系统系统作用系统分类系统描述与分析3离散时间信号与系统教程第3页信号与信息信号是信息表现形式信息则是信号详细内容交通灯信号传递信息：红灯停而绿灯行。信号是传递信息函数数学上表示成一个或多个独立变量函数一维变量：时间或其它参量语音信号表示为一个时间变量函数静止图像信号表示为两个空间变量亮度函数4离散时间信号与系统教程第4页信号分类连续时间信号：连续时间域内信号幅度能够是连续数值，或是离散数值离散时间信号：离散时间点上信号幅度一样能够是连续数值，或是离散数值特殊形式：模拟信号和数字信号模拟信号：时间和幅度都是连续数值信号，实际中与连续时间信号经常通用。数字信号：时间和幅度都离散化信号。5离散时间信号与系统教程第5页本章主要内容离散时间信号基本概念离散时间系统定义及其性质线性常系数差分方程及其求解方法理想取样：连续时间信号数字处理概念和基本方法Matlab实现6离散时间信号与系统教程第6页1.2离散时间信号——序列序列定义及表示序列基本运算几个惯用序列序列周期性用单位脉冲序列表示任意序列7离散时间信号与系统教程第7页1.2.1序列定义及表示序列定义数字序列：离散时间信号普通只在均匀间隔离散时间nT上给出数值序列表示x={x(n)}，-∞＜n＜+∞(1.1)图1.1图形表示用单位脉冲序列表示8离散时间信号与系统教程第8页序列表示x={x(n)}，-∞＜n＜+∞n代表nTnT指均匀间隔离散时间点T采样时间间隔n为非整数时没有定义，不能认为此时x(n)值是零9离散时间信号与系统教程第9页图1.1序列图形表示10离散时间信号与系统教程第10页1.2.2序列基本运算和积移位标乘翻转累加差分时间尺度变换序列能量卷积和11离散时间信号与系统教程第11页基本运算—序列和设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)+y(n)(1.2)表示两个序列和，定义为同序号序列值逐项对应相加。12离散时间信号与系统教程第12页例：序列和例1.1设序列计算序列和x(n)+y(n)。解：13离散时间信号与系统教程第13页例：序列求和图示14离散时间信号与系统教程第14页基本运算—序列积

设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)•y(n)(1.3)

表示两个序列积，定义为同序号序列值逐项对应相乘。15离散时间信号与系统教程第15页例：序列积例1.1设序列计算序列和x(n)•y(n)。解：16离散时间信号与系统教程第16页例：序列求积图示x(n)17离散时间信号与系统教程第17页基本运算—序列移位设序列为x(n)，则序列y(n)=x(n-m)(1.4)表示将序列x(n)进行移位。

m为正时x(n-m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位m为负时，则相反。18离散时间信号与系统教程第18页例：序列移位例1.1设序列计算序列和x(n+1)。解：19离散时间信号与系统教程第19页例：序列移位图示x(n)20离散时间信号与系统教程第20页基本运算—序列标乘设序列为x(n)，a为常数(a≠0)，则序列y(n)=ax(n)(1.5)表示将序列x(n)标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列幅度为原序列a倍。21离散时间信号与系统教程第21页例：序列标乘例1.1设序列计算序列和4x(n)。解：22离散时间信号与系统教程第22页基本运算—序列翻转设序列为x(n)，则序列y(n)=x(-n)(1.6)

表示以n=0纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。23离散时间信号与系统教程第23页例：序列翻转例1.2设序列计算序列和4x(n)。解：24离散时间信号与系统教程第24页基本运算—序列累加设序列为x(n)，则序列(1.7)定义为对x(n)累加，表示将n以前全部x(n)值求和。25离散时间信号与系统教程第25页基本运算—序列差分前向差分：将序列先进行左移，再相减Δx(n)=x(n+1)-x(n)(1.8)后向差分：将序列先进行右移，再相减▽x(n)=x(n)-x(n-1)(1.9)由此，轻易得出▽x(n)=Δx(n-1)26离散时间信号与系统教程第26页多阶差分运算

二阶前向差分

二阶后向差分

单位延迟算子D，有Dy(n)=y(n-1)▽y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n)▽=1-D

k阶后向差分(按二项式定理展开)二阶后向差分27离散时间信号与系统教程第27页基本运算—时间尺度(百分比)变换

设序列为x(n)，m为正整数，则序列

抽取序列y(n)=x(mn)(1.10)

x(mn)和x(n/m)定义为对x(n)时间尺度变换。插值序列

(1.11)28离散时间信号与系统教程第28页抽取序列x(mn)：对x(n)进行抽取运算不是简单在时间轴上按百分比增加到m倍以1/m倍取样频率每隔m-1个点抽取1点。保留

x(0)29离散时间信号与系统教程第29页插值序列x(n/m)：对x(n)进行插值运算表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点

保留

x(0)30离散时间信号与系统教程第30页基本运算—序列能量

设序列为x(n)，则序列(1.12)定义为序列能量，表示序列各取样值平方之和；

若为复序列，取模值后再求平方和。31离散时间信号与系统教程第31页基本运算—序列卷积和设序列为x(n)和z(n)，则序列(1.13)定义为x(n)和z(n)卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很主要公式。32离散时间信号与系统教程第32页卷积和计算四个步骤

翻转：x(m)，z(m)→z(-m)

移位：z(-m)→z(n-m)n为正数时，右移n位n为负数时，左移n位

相乘：z(n-m)•

x(m)（m值相同）

相加：y(n)=∑{z(n-m)•

x(m)}33离散时间信号与系统教程第33页对应点相乘！例：卷积和计算例1.3设序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：

n＜0时，x(m)与z(n-m)没有重合，得y(n)=0。

0≤n≤4时，对应点相乘！34离散时间信号与系统教程第34页例：卷积和计算

4＜n≤6时，4＜n≤6时，n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重合，得y(n)=0。

35离散时间信号与系统教程第35页1.2.3几个惯用序列单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列复指数序列36离散时间信号与系统教程第36页单位脉冲序列δ(n)只在n=0时取确定值1，其它均为零δ(n)类似于δ(t)δ(n-m)只有在n=m时取确定值1，而其余点取值均为零

37离散时间信号与系统教程第37页单位阶跃序列u(n)类似于u(t)u(t)在t=0时常不定义，u(n)在n=0时为u(0)=1

δ(n)和u(n)关系：δ(n)=u(n)-u(n-1)

38离散时间信号与系统教程第38页单位矩形序列

N为矩形序列长度

和u(n)、δ(n)关系

：39离散时间信号与系统教程第39页实指数序列a为实数当|a|＜1时序列收敛当|a|＞1时序列发散

40离散时间信号与系统教程第40页正弦序列

A为幅度ω为数字域角频率φ为起始相位

x(n)由x(t)=sinΩt取样得到x(n)=Asin(ωn+φ)

归一化:

ω=ΩT=Ω/fs

(ω与Ω线性关系)41离散时间信号与系统教程第41页复指数序列

ω为数字域角频率用实部与虚部表示

用极坐标表示

σ=0时，序列含有以2π为周期周期性

42离散时间信号与系统教程第42页1.2.4序列周期性

对于序列x(n)，假如对全部n存在一个最小正整数N，满足x(n)=x(n+N)则序列x(n)是周期序列，最小周期为N。以正弦序列为例讨论周期性设x(n)=Asin(ωn+φ)

则有

x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)

若满足条件ωN=2kπ，则x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)43离散时间信号与系统教程第43页周期性讨论N、k为整数，k取值满足条件，且确保N最小正整数。其周期为

2π/ω为整数时，取k=1，确保为最小正整数。此时为周期序列，周期为2π/ω。

例1.4序列，因为2π/ω=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。

44离散时间信号与系统教程第44页周期性讨论2π/ω为有理数而非整数时，依然是周期序列，周期大于2π/ω。例1.5序列，2π/ω=8/3是有理数，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

2π/ω为无理数时，任何k都不能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列。例序列指数为纯虚数复指数序列周期性与正弦序列情况相同。

45离散时间信号与系统教程第45页1.2.5用单位脉冲序列表示任意序列

任何序列都能够用单位脉冲序列移位加权和来表示，即x(n)可看成是x(n)和δ(n)卷积和，式中例1.6

46离散时间信号与系统教程第46页1.3离散时间系统

离散时间系统定义及表示

线性时不变系统

单位脉冲响应与卷积和

线性时不变系统性质

因果系统和稳定系统

47离散时间信号与系统教程第47页1.3.1离散时间系统定义及表示

离散时间系统定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)惟一变换或运算。以T[·]表示这种运算y(n)=T[x(n)]对变换T[·]加以不一样约束条件，所定义系统就含有不一样特征和功效。线性时不变系统:最主要、最惯用，可表征许多物理过程。48离散时间信号与系统教程第48页1.3.2线性时不变系统

线性系统满足叠加原理叠加原理包含可加性和齐次性两方面性质

时不变系统系统响应与输入信号施加于系统时刻无关运算关系在整个运算过程中不随时间而改变

线性时不变系统

既满足叠加原理，又满足时不变性系统

49离散时间信号与系统教程第49页线性系统

设系统输入序列与输出分别为可加性:假如系统输入之和与输出之和满足齐次性(或百分比性):设a为常数，系统输入增大a倍，输出也增大a倍线性系统与非线性系统50离散时间信号与系统教程第50页例：证实一个线性系统注意：必须证实系统同时满足可加性和齐次性，且信号及百分比常数都能够是复数。例1.7试分析以下系统线性

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M为正整数。不满足叠加原理，非线性系统

满足叠加原理，线性系统

51离散时间信号与系统教程第51页时不变系统

输入序列x(n)移动任意m位后，输出序列y(n)也移动m位，数值却保持不变。

m为任意常整数

时不变系统也称为移不变系统

52离散时间信号与系统教程第52页例：证实一个时不变系统例1.7试分析以下系统时不变性

(1)y(n)=2x(n)-3，(2)y(n)=x(Mn)，其中M为正整数。二者相等，含有时不变性

时变系统

53离散时间信号与系统教程第53页1.3.3单位脉冲响应与卷积和

单位取样响应(单位脉冲响应)h(n)=T[δ(n)]线性时不变系统输入为δ(n)时对应输出

线性时不变系统都能够用它单位脉冲响应h(n)来表征已知h(n)

可得到线性时不变系统对任意输入输出

54离散时间信号与系统教程第54页推导卷积和表示式

δ(n)表示x(n)系统输出

叠加原理

时不变性

卷积和表示式:表示线性时不变系统输出等于输入序列和单位脉冲响应卷积。

55离散时间信号与系统教程第55页1.3.4线性时不变系统性质

交换律结合律分配律能够推广到多个系统情况，由卷积和定义能够很轻易加以证实。

56离散时间信号与系统教程第56页1.3.5因果系统和稳定系统因果系统

系统某时刻输出y(n)只取决于此时刻x(n)和以前输入x(n-1)，x(n-2)，…，而和此时刻以后输入x(n+1)，x(n+2)，…无关。先因后果

因果系统响应不会出现于外加输入之前。非因果系统

当前输出还取决于未来输入，不符合因果关系。57离散时间信号与系统教程第57页因果性充分必要条件

线性时不变系统含有因果性充要条件h(n)=0，n＜0证实充分条件若n＜0时，h(n)=0，则因而n0时刻输出

可见，y(n0)只与m≤n0时x(m)相关，因而是因果系统。58离散时间信号与系统教程第58页因果条件证实证实利用反证法证实必要条件假设因果系统，n＜0时h(n)≠0，则

在所设条件下，第二个求和式中最少有一项不为零，y(n)将最少和m＞n时某一个x(n)值相关，这不符合因果性，假设不成立。59离散时间信号与系统教程第59页例：判断因果系统例1.8判断差分系统因果性。(1)前向差分系统:y(n)=x(n+1)-x(n);(2)后向差分系统:y(n)=x(n)-x(n-1)。解

因为前向差分系统y(n)决定于x(n+1)，故系统为非因果。而后向差分系统定义为y(n)=x(n)-x(n-1)，显然是因果。60离散时间信号与系统教程第60页讨论因果系统可实现性因果系统是物理可实现系统；非因果系统是不可实现系统。在含有较大延时情况下，能够用因果系统去迫近非因果系统。比如语音处理、气象、地球物理学等。

非因果系统在理论上是存在。比如，理想低通滤波器以及理想微分器都是非因果系统，但它们是不可实现。

61离散时间信号与系统教程第61页稳定系统稳定系统

系统每个有界输入，对应产生输出都有界。假如输入满足|x(n)|≤M＜+∞(M为正常数)，有输出|y(n)|≤P＜+∞(P为正常数)。

判断系统不稳定只要找出一个尤其有界输入，对应输出是无界，则该系统就是不稳定。

判断系统稳定必须证实全部有界输入，其输出都是有界。62离散时间信号与系统教程第62页稳定性充分必要条件

线性时不变系统含有稳定性充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，即证实充分条件若式成立，对于全部n都有|x(n)|≤M，得

即输出y(n)有界，系统不稳定。

63离散时间信号与系统教程第63页稳定条件证实证实利用反证法证实必要条件假设系统稳定，但单位脉冲响应不绝对可和

定义一个有界输入计算输出，有即y(0)无界，系统不稳定，所以假设不成立。

64离散时间信号与系统教程第64页例：判断稳定系统例1.9判断累加器系统稳定性解

考虑有界输入x(n)=u(n)，累加器输出为

即使n为有限值时，系统输出也为有限值，但对于全部n值(包含+∞)不存在有限值P，使得(n+1)≤P＜+∞，故系统输出无界。

65离散时间信号与系统教程第65页例：判断因果稳定系统例1.10已知线性时不变系统单位脉冲响应解

因为n＜0时，u(-n-1)=1，所以h(n)≠0，故系统是非因果系统。

所以|a|＞1时系统稳定，|a|≤1时不稳定。式中a为实常数，讨论其因果性和稳定性。

收敛序列：模值随n加大而减小，如|a|＞1时h(n)；发散序列：模值随n加大而加大，如|a|≤1时h(n)。因为66离散时间信号与系统教程第66页1.4线性常系数差分方程

离散时间系统数学模型—差分方程

线性常系数线性差分方程求解

67离散时间信号与系统教程第67页1.4.1离散时间系统数学模型—差分方程

差分方程是描述函数序列差分之间关系方程，由序列及其各阶差分进行线性叠加组成。

比如，对于一个二阶差分方程将▽=1-D代入方程，得到展开得到二阶线性常系数差分方程

68离散时间信号与系统教程第68页线性常系数差分方程普通形式

线性时不变系统数学模型式(1.44)无须是因果。假设是因果系统，变换得到线性：x(n-r)和y(n-k)项都只有一次幂且不存在它们相乘项，也没有相互交叉项

常系数：决定系统特征系数均为常数

阶数：y(n-k)项变量k最大值与最小值之差。

69离散时间信号与系统教程第69页差分方程方框图表示

理论上表示系统，也能在计算机上实现系统。

比如，一阶差分方程

b0x(n)表示将输入x(n)乘上常数b0-a1y(n-1)表示将序列y(n)延时一位后乘以常数-a1两个结果相加就得到y(n)序列图中代表相加器，×代表乘法器，z-1代表延时一位延时单元。70离散时间信号与系统教程第70页1.4.2线性常系数差分方程求解

差分方程确实定解不但与差分方程形式相关，而且还与其初始条件相关。差分方程求解实际上求系统全响应零输入响应：y1(n)零状态响应：y2(n)全响应：全解y(n)=y1(n)+y2(n)求解差分方程时域求解法变换域求解法71离散时间信号与系统教程第71页比如递推法求特解

例1.13已知一个因果线性时不变系统差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)，设初始条件y(n-1)=0，求系统单位脉冲响应。

解令x(n)=δ(n)，于是有因为系统含有因果性，递推以下由此求出

h(n)=ah(n-1)+δ(n)

72离散时间信号与系统教程第72页1.5连续时间信号取样

73离散时间信号与系统教程第73页1.5.1理想取样

实际取样:τ<<T，调制信号xa(t)，被调脉冲载波信号p(t)是脉宽τ﹑周期T周期性矩形脉冲串

。理想取样:开关闭合时间无穷短τ→0

，取样信号是xa(t)与矩形脉冲串p(t)相乘结果

。τ→0

时，理想取样输出为问题提出：求理想取样频谱？

74离散时间信号与系统教程第74页理想取样频谱p(t)是周期函数，展开成傅里叶级数

取样角频率

Ωs=2π/T，取样频率

fs=1/T级数系数于是p(t)傅里叶变换为

75离散时间信号与系统教程第75页频谱分析频谱可表示为

取样信号频谱是连续时间信号频谱以取样频率为周期进行周期延拓而成频谱幅度是原信号频谱幅度1/T倍76离散时间信号与系统教程第76页频谱分析结论对连续时间信号进行理想取样后，取样信号频谱是原信号频谱周期延拓形成，其周期等于取样频率Ωs。

奈奎斯特取样定理：要想取样后能够不失真地还原出原信号，则取样频率必须大于两倍信号谱最高频率。最高截止频率Ωc---带限信号奈奎斯特频率Ωs折叠频率Ωs/2若信号最高频率超出折叠频率，则延拓分量产生频谱混叠。

77离散时间信号与系统教程第77页1.5.2信号恢复

利用理想低通滤波器还原满足奈奎斯特取样定理取样信号。理想低通滤波器取样信号经过理想低通滤波器后频谱78离散时间信号与系统教程第78页讨论

单位脉冲响应h(t)

于是输出79离散时间信号与系统教程第79页内插函数内插函数

h(t-nT)

取样信号恢复出原连续时间信号80离散时间信号与系统教程第80页图1.5.7理想恢复81离散时间信号与系统教程第81页由时域离散信号xa(nT)恢复模拟信号过程是在采样点内插过程。理想低通滤波方法是用g(t)函数作内插函数，还能够用一阶线性函数作内插。零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新采样值并保持，所以相当于进行常数内插。零阶保持器单位冲激函数h(t)以及输出波形如图1.5.9所表示。对h(t)进行傅里叶变换，得到其传输函数：(1.5.10)82离散时间信号与系统教程第82页图1.5.9零阶保持器输出波形83离散时间信号与系统教程第83页图1.5.10零阶保持器频率特

84离散时间信号与系统教程第84页其幅度特征和相位特征如图1.5.10所表示图中虚线表示理想低通滤波器幅度特征。零阶保持器幅度特征与其有显著差异，主要是在|Ω|>π/T区域有较多高频分量，表现在时域上，就是恢复出模拟信号是台阶形。所以需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多出高频分量，对时间波形起平滑作用。85离散时间信号与系统教程第85页1.6Matlab实现惯用序列Matlab实现序列运算Matlab实现Matlab求解离散系统差分方程单位脉冲序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列复指数序列

翻转序列能量卷积和86离散时间信号与系统教程第86页单位脉冲序列δ(n-1)

n=[-3:3];%生成位置向量x=[(n-1)==0];%生成单个脉冲序列stem(n,x);axis([-3,3,0,1.5]);%标示坐标

87离散时间信号与系统教程第87页单位阶跃序列

u(n+1)

n=[-3:3];%生成位置向量x=[(n+1)>=0];%生成阶跃序列stem(n,x);axis([-3,3,0,1.5]);

88离散时间信号与系统教程第88页矩形序列生成函数function[x,n]=rectseq(n0,n1,n2,N)%单位矩形序列生成函数%调用方式[x,n]=rectseq(n0,n1,n2,N)n=[n0:n2];%生成位置向量x=[(n-n1)>=0&((n1+N-1)-n)>=0];%生成矩形脉冲序列89离散时间信号与系统教程第89页矩形序列

[x,n]=rectseq(-3,-1,4,5);stem(n,x);axis([-3,5,0,1.5]);90离散时间信号与系统教程第90页实指数序列

n=[0:10];%生成位置向量x=(0.6).^n;%生成实指数序列stem(n,x);axis([0,10,0,1.5]);91离散时间信号与系统教程第91页正弦序列

3sin(0.1πn+π/3)

n=[0:1:20];%生成位置向量x=3*sin(0.1*pi*n+pi/3);%生成正弦序列stem(n,x);axis([0,20,-4,4]);

92离散时间信号与系统教程第92页复指数序列

n=[-2:10];x=exp((0.2-0.5j)*n);%复指数序列subplot(1,2,1),stem(n,real(x));%用空心圆画点line([-5,10],[0,0]);%画横坐标subplot(1,2,2),stem(n,imag(x),'filled');%用实心圆画点%line([-5,10],[0,0])93离散时间信号与系统教程第93页翻转:调用fliplrn=[-3:3];%生成一个序列

x=[0,0,1,0.5,0.25,0.125,0];stem(n,x);x=fliplr(x);%x排列次序左右翻转

n=-fliplr(n);%向量n对n=0翻转

stem(n,x);

94离散时间信号与系统教程第94页序列能量

conj求共轭复数sum求总和E=sum(x.*conj(x));

abs求幅值sum求总和E=sum(abs(x).^2);

95离散时间信号与系统教程第95页卷积和：调用conv

x=[3,-3,7,0,-1,5,2];%序列x非零区间-4≤n≤2h=[2,3,0,-5,2,1];%序列x非零区间-1≤n≤4%调用conv计算卷积和

y=