新教材-人教A版高中数学必修第二册-第六章-平面向量及其应用课件

6.1平面向量的概念6.2.1向量的加法运算6.2.2

向量的减法运算

6.2.3

向量的数乘运算6.2.4

向量的数量积

6.2平面向量的运算P276.3.1

平面向量基本定理

6.3.3

平面向量加、减运算的坐标表示

6.3.5

平面向量数量积的坐标表示

6.3平面向量基本定理及坐标表示P1476.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示6.3.4

平面向量数乘运算的坐标表示

6.4.1

平面几何中的向量方法第1课时余弦定理16.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理第3课时习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例6.4平面向量的应用P2296.4.2

向量在物理中的应用举例6.1平面向量的概念6.2.1向量的加法运算6.2.2知识点一、向量的概念1.向量:在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量:把只有大小没有方向的量称为数量.名师点析

向量不能比较大小,这是因为向量是由大小和方向两方面确定的.向量的大小是代数特征,方向是几何特征.微思考在物理上,位移和距离这两个量有什么不同?提示:位移既有大小又有方向,距离只有大小没有方向.6.1平面向量的概念知识点一、向量的概念微思考6.1平面向量的概念知识点二、向量的几何表示及相关概念2.有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定了.4.长度为0的向量叫做零向量,记作0.5.长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.6.向量也可以用字母a,b,c,…表示.知识点二、向量的几何表示及相关概念点析

(1)零向量的长度为0,方向不确定.(2)单位向量只规定了向量的大小(模长为1),并没有规定向量的方向,所以同一起点的单位向量有无数个,它们的终点构成一个单位圆.点析微练习(1)下列说法正确的是(

)A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分,故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定(2)下列说法正确的是(

)A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度D.零向量就是实数0微练习解析:(1)有向线段

的起点与终点互换,其方向相反,长度相等,故D项正确.(2)向量的模是一个非负实数;零向量的方向是任意的,但它不是实数0,故A,B,D均错,只有C项正确.答案:(1)D

(2)C解析:(1)有向线段知识点三、相等向量与共线向量1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,记作a∥b.平行向量也叫做共线向量.2.我们规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a.3.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.两个向量a与b相等,记作a=b.名师点析

向量共线包括四种情况:方向相同,模相等;方向相同,模不等;方向相反,模相等;方向相反,模不等.知识点三、相等向量与共线向量微练习下列说法正确的是(

)A.所有单位向量都是相等向量B.与实数类似,对于两个向量a,b,有a=b,a>b,a<b三种关系C.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行D.若两个向量是共线向量,则向量所在的直线可以平行,也可以重合解析:所有单位向量的模都相等,都为1,但方向不确定,故A不正确.向量不能比较大小,故B不正确;由平行向量的定义知,D正确,C不正确.答案:D微练习探究一探究二探究三素养形成当堂检测平面向量的相关概念例1已知下列说法:①若|a|=0,则a为零向量;②若|a|=|b|,则a=b;③若a∥b,则|a|=|b|;④两个有共同起点,而且相等的向量,其终点必相同.其中正确的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:①正确;②由|a|=|b|得a与b的模相等,但不确定方向,故②错误;③错误;④正确.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测平面向量的相关概念探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

明确向量及其相关概念的联系与区别(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,起点、方向、长度.只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段,但决定向量的要素只有两个,大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共线向量,当两共线向量的方向相同且模相等时,两向量为相等向量.(5)向量之间不能比较大小,但它们的模可以比较大小.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟明确向量及其相探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1给出以下说法:①直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量;②零向量的长度为零,方向是任意的;③若a,b都是单位向量,则a=b;④有向线段就是向量;⑤单位向量大于零向量.其中正确说法的序号是

.

解析:直角坐标平面上的x轴、y轴是数轴,但不是向量,故①错误;由零向量的定义可知②正确;若a,b都是单位向量,则它们的模相等,但不一定方向相同,故③错误;有向线段可以用来表示向量,但它不是向量,故④错误;单位向量的模大于零向量的模,但不能说单位向量大于零向量,向量之间不能比较大小,故⑤错误.答案:②探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1给出以下说法:①探究一探究二探究三素养形成当堂检测平面向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:分析先确定起点,再根据大小和方向确定出终点,即可画出向量.探究一探究二探究三素养形成当堂检测平面向量的表示分析先确定起探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

向量的表示方法(1)几何法:准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.(2)字母法表示向量的注意事项:在书写字母表示向量时不要忘记字母上的箭头.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟向量的表示方法探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出

个向量.

解析:由向量的几何表示可知,可以写出12个向量,它们分别是答案:12探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图,B,C是线探究一探究二探究三素养形成当堂检测寻找相等向量和共线向量例3如图所示,四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量的起点和终点,则与

平行且长度为2的向量有哪些?(在图中标出相关字母,写出这些向量)分析所求向量有以下两个特征:(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC平行或重合.(2)长度等于边长为2的正方形的对角线的长度.探究一探究二探究三素养形成当堂检测寻找相等向量和共线向量分析探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量:先找与已知向量长度相等的向量,再确定哪些与已知向量同向.(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟相等向量与共线探究一探究二探究三素养形成当堂检测数形结合思想在向量中的应用典例已知A1,A2,…,A8是圆O的八个等分点,则在以A1,A2,…,A8以及圆心这九个点中的任意两点为起点与终点的向量中,模等于半径长的向量有多少个?模等于半径长的

倍的向量有多少个?探究一探究二探究三素养形成当堂检测数形结合思想在向量中的应用探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)以A1,A2,…,A8的一部分点为顶点的圆O的内接正方形有两个,一个是正方形A1A3A5A7,另一个是正方形A2A4A6A8.在所有的向量中,只有这两个正方形的边(看成有向线段,每一边对应两个向量)的长度为半径长的

倍,所以模为半径长的

倍的向量共有4×2×2=16(个).探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)以A1,A2,…,A探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列各量中是向量的是(

)A.时间 B.速度

C.面积 D.长度解析:速度既有大小又有方向,是向量,其余均是数量.答案:B2.给出以下说法:①零向量的长度为零,方向是任意的;②共线向量是在同一条直线上的向量;③向量

相等;④若两个向量是相等向量,则它们一定是共线向量.其中正确说法的序号是(

)A.①④ B.② C.①③④ D.②③解析:根据零向量的定义可知①正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故②错误;向量

模相等,方向相反,故③错误.④显然正确,故选A.答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.下列各量中是向量的是(探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.如图,在正方形ABCD中,M,N分别为AB和CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为起点与终点的所有有向线段表示的向量中,相等的非零向量共有多少对?探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.如图,在正方形ABCD探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测6.2.1向量的加法运算6.2.2

向量的减法运算

6.2.3

向量的数乘运算6.2.4

向量的数量积

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算6.2.2向量的减法运算6.2知识点一、向量的加法及其运算法则1.向量加法的定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法,两个向量的和仍然是一个向量.6.2.1向量的加法运算知识点一、向量的加法及其运算法则6.2.1向量的加法运算新教材-人教A版高中数学必修第二册-第六章-平面向量及其应用课件4.三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀:(1)三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点;(2)平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.5.规定:对于零向量与任意向量a,规定:a+0=0+a=a.4.三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀:点析

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质区别有两个:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半,当两个向量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的.点析向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质微思考

当向量a,b是两个非零的共线向量时,如何求两个向量的和向量?提示:当向量a,b是共线向量时,不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量,但可以用三角形法则作出两个向量的和向量,分两向量同向和反向两种情形:①同向微思考②反向

②反向微练习判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量.(

)(2)如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同.(

)(3)若a+b=0,则a=0且b=0.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×微练习知识点二、向量加法的运算律1.向量加法的交换律:a+b=b+a.2.向量加法的结合律:a+(b+c)=(a+b)+c.微练习

知识点二、向量加法的运算律微练习知识点三、|a+b|与|a|,|b|之间的关系对任意两个向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立.微练习解析:根据公式|a+b|≤|a|+|b|直接计算可得.答案:13知识点三、|a+b|与|a|,|b|之间的关系微练习探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知向量作和向量例1如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.分析利用三角形法则或平行四边形法则→先作出两个向量的和向量→再作出三个向量的和向量探究一探究二探究三素养形成当堂检测已知向量作和向量探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

求作和向量的方法(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将两向量平移到首尾相接,从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接.(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求作和向量的方探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量加法运算或化简分析根据向量加法的交换律变为首尾相接的向量,然后利用结合律求解.反思感悟

解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.(2)要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量加法运算或化简反思感悟探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.试求:探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2如图,四边形AB探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量加法法则解决实际问题例3在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.分析解答本题先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用向量加法法则解决实际问探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.(2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟向量加法应用的探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究

本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地?解:如图,由点C作垂线,垂足为D,因为∠BAC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,在Rt△ACD中,CD=ACsin

10°=800sin

10°(km).即往正南方向飞行800sin

10°

km,即可由此按正西方向飞回A地.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例中,这架飞机探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛(1)本题主要考查向量加法的多边形法则和零向量.由于正n边形绕圆心O旋转

角度时,虽然各向量方向都改变了,但模没有改变,正n边形的位置不变,其和向量也没有改变,由此判断和向量为0.(2)零向量的方向是任意的,且零向量的模为0.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛(1)本题主要考查探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.若向量a表示向东北方向走5km,向量b表示向西北方向走5km,则向量a+b表示(

)A.向正北方向走5km B.向正北方向走5kmC.向正南方向走5km D.向正南方向走5km解析:由向量加法的平行四边形法则可知,向量a+b表示向正北方向走5

km.答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.若向量a表示向东北方向探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.下列等式错误的是(

)A.a+0=0+a=a答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.下列等式错误的是(探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:1探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:1探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填上一个向量):探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.如图,在△ABC中,D探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.如图所示,设O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列各式:探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.如图所示,设O为正六边知识点一、相反向量

定义与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量性质①零向量的相反向量仍是零向量②a+(-a)=(-a)+a=0③如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=06.2.2

向量的减法运算知识点一、相反向量定义与向量a长度相等,方向相反的向量,叫微练习如图,四边形ABCD

是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向量的是(

)答案:C微练习答案:C知识点二、向量减法运算及其几何意义

定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量作法已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b.如图所示几何意义如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量知识点二、向量减法运算及其几何意义定义a-b=a+(-b)点析

(1)若向量a,b为非零不共线向量,则a,b与a-b围成三角形,故称这种作两向量差的方法为向量减法的三角形法则.(2)求两个向量的差就是要把两个向量的始点放在一起,它们的差是以减向量的终点为始点,以被减向量的终点为终点的向量,可简记为“共始点,连终点,指向被减.”点析微思考

当两个非零向量a,b共线时,如何作图得a-b?微思考微练习如图,在正方形ABCD中,对角线相交于点O,则有:微练习探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量减法的几何意义例1(1)如图①所示,四边形ABCD中,A.a-b+c

B.b-(a+c)C.a+b+c D.b-a+c(2)如图②所示,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量减法的几何意义探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟求作两个向量的探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1如图所示,已知向探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量的加法与减法运算例2化简下列各向量的表达式:分析按照向量加法和减法的运算法则进行化简,进行减法运算时,必须保证两个向量的起点相同.探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量的加法与减法运算探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和;(2)起点相同且为差.做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟向量加减法化简探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2化简下列向量表达式:探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2化简下列向量表达探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量减法几何意义的应用A.菱形

B.矩形C.正方形 D.不确定探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量减法几何意义的应用探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

1.用向量法解决平面几何问题的步骤(1)将平面几何问题中的量抽象成向量.(2)转化为向量问题,进行向量运算.(3)将向量问题还原为平面几何问题.2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等,从而证明四边形为平行四边形,只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.(2)根据图形灵活运用向量的运算法则,找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.用向量法解探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用已知向量表示未知向量典例如图,解答下列各题:探究一探究二探究三素养形成当堂检测利用已知向量表示未知向量探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系;②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;③注意在封闭图形中利用多边形法则.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛利用已知向量表示其探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.若非零向量a,b互为相反向量,则下列说法错误的是(

)A.a∥b

B.a≠bC.|a|≠|b|

D.b=-a解析:根据相反向量的定义,大小相等,方向相反,可知|a|=|b|.答案:C答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.若非零向量a,b互为相探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.如图,在△ABC中,D为BC的中点,则下列结论错误的是(

)答案:C答案:0探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.如图,在△ABC中,D探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测知识点一、向量的数乘运算

定义一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向相同λ<0λa的方向与a的方向相反规定当λ=0或a=0时,λa=0点析

(1)λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来的|λ|倍或|λ|.(2)要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2+a,1-0无意义.6.2.3

向量的数乘运算知识点一、向量的数乘运算定义一般地,我们规定实数λ与向量a微练习

微练习知识点二、数乘向量的运算律1.数乘向量的运算律(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.2.向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.知识点二、数乘向量的运算律微练习已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.(1)3(2a)=6a;

(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.

微练习新教材-人教A版高中数学必修第二册-第六章-平面向量及其应用课件知识点三、共线向量定理1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.2.要证明向量a(a≠0),b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.名师点析

该定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,则实数λ存在,但λ并不唯一,此时定理不成立.(2)若b≠0,a=0,则不存在实数λ,使b=λa,此时定理也不成立.知识点三、共线向量定理微练习若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有

.(填序号)

①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.解析:①中,a=-b,所以a,b共线;②中,b=-2a,所以a,b共线;③中,a=4b,所以a,b共线;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.答案:①②③微练习探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量的线性运算例1(1)化简下列各向量表达式:(2)已知2x+3y=a,x-4y=2b,试用a,b表示x,y.分析(1)根据向量的线性运算法则求解.(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量的线性运算探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

向量数乘运算的方法向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟向量数乘运算的探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a=

,b=

.

探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.2a-b B.2b-a探究一探究二探究三素养形成当堂检测用已知向量表示未知向量

探究一探究二探究三素养形成当堂检测用已知向量表示未知向量探究一探究二探究三素养形成当堂检测分析先用向量加减法的几何意义设计好总体思路,然后利用平面图形的特征和数乘向量的几何意义表示.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分析先用向量加减法的几何意探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

用已知向量表示其他向量的一般步骤

探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟用已知向量表示探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究

本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究本例(1)中,设探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量共线问题

探究一探究二探究三素养形成当堂检测向量共线问题探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

1.证明或判断三点共线的方法2.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向量不共线,必有向量的系数为零.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.证明或判断探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(1)求证:A,B,M三点探究一探究二探究三素养形成当堂检测解决三角形的四心问题

探究一探究二探究三素养形成当堂检测解决三角形的四心问题探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是(

)A.a与λa的方向相同 B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a|解析:因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同.答案:C2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(

)A.a-2b B.aC.a-6b D.a-8b解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设a是非零向量,λ是非探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.解:因为ka+3b与2a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b.探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知两个非零向量a,b探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测知识点一、向量数量积的定义1.向量a与向量b的夹角(1)夹角的定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作6.2.4

向量的数量积知识点一、向量数量积的定义6.2.4向量的数量积2.向量的数量积(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.(2)零向量与任一向量的数量积为0.(3)向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关.名师点析

两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算,与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别,书写时一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.2.向量的数量积微思考

两个向量的数量积结果是向量还是数量?提示:是数量.微练习答案:(1)-2

(2)8微思考答案:(1)-2(2)8知识点二、向量a在向量b上的投影向量

知识点二、向量a在向量b上的投影向量新教材-人教A版高中数学必修第二册-第六章-平面向量及其应用课件微练习(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为

.

(2)若a·b=-6,|a|=8,与a方向相同的单位向量为e,则向量b在向量a上的投影向量为

.

微练习知识点三、平面向量数量积的性质设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别知识点三、平面向量数量积的性质微练习已知|a|=7,则a·a=

.

解析:a·a=|a|2=72=49.答案:49微练习知识点四、平面向量数量积的运算律

交换律a·b=b·a数乘的结合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c名师点析

(1)向量数量积的运算不适合约分,即a·b=a·cb=c.(2)向量数量积运算也不适合结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量.知识点四、平面向量数量积的运算律交换律a·b=b·a数乘的微练习

答案:(1)A

(2)A微练习答案:(1)A(2)A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求平面向量的数量积角度1

数量积的简单计算例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).分析依据数量积、模、夹角的定义→逐一进行计算即可(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.反思感悟

求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求平面向量的数量积探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测角度2

几何图形中向量数量积的计算例2(2019天津高考)在四边形ABCD中,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测角度2几何图形中向探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:-1探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:-1探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

平面向量的数量积在平面几何中的应用(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟平面向量探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求向量的投影向量例3如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求向量的投影向量探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟投影向量探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测向量模的相关问题角度1

利用数量积求向量的模例4(1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则|2a+b|=

.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测向量模的相关问题探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

向量模的求解方法根据数量积的定义a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得

这是求向量的模的一种方法.即要求一个向量的模,先求这个向量与自身的数量积(一定非负),再求它的算术平方根.对于复杂的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算术平方根即为|a+b|.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟向量模的探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2a·b+b2=16.①因为|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知向量a探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测角度2

与模有关的最值问题例5(1)若平面向量a,b,c满足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,则|b-c|的取值范围是(

)(2)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,则|a+b-c|的最小值为(

)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测角度2与模有关的最探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

向量模的最值问题的求法涉及向量模的最值问题,一般是把模平方,利用平面向量的数量积运算,把问题转化为关于某个量的函数,进而求出最值.需要掌握向量模的一些简单几何意义:①|a|为正值,则说明当表示向量的有向线段的起点确定后,其终点在以起点为圆心,以|a|为半径的圆上运动;②若|a+b|=|a-b|,则有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,则|a|=|b|.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟向量模的探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为(

)答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练4若两个单位探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用数量积解决向量的夹角与垂直问题例6(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解.(2)可采用数形结合的方法构造平面图形求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用数量积解决向量的探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(1)解析:因为(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.设a,b的夹角为θ,则2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cos

θ+|b|2=0,因此cos

θ=-,从而θ=120°.选C.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测(1)解析:因为(2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

求平面向量夹角的方法(1)求向量的夹角,主要是利用公式cos

θ=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟求平面向探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究

本例(1)中,若非零向量a,b的夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)时,求实数k的值.解:因为(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究本例(1)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用向量的数量积判断几何图形的形状A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形ABC的形状是(

)A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.以上都不对探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用向量的数量积判断探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

能够将

,并熟练地运用向量的减法,是本题获解的关键.依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立向量的数量积、模、夹角等之间的关系,其中移项、平方是常用手段,可以出现向量的数量积及模等信息.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟能够将探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:B2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b上的投影向量的模为(

)答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:B2.若|a探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=(

)A.2 B.4 C.6 D.12解析:因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-|a||b|cos

60°-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.若向量a与b的夹探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若(2a+b)⊥(a+λb),则λ=

.

解析:∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.∵|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测5.已知两个单位向量探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:22探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:226.3.1

平面向量基本定理

6.3.2

平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3

平面向量加、减运算的坐标表示

6.3.4

平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.5

平面向量数量积的坐标表示

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理

6.3.2平面向量的正交分解知识点一、平面向量基本定理

定理条件e1,e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2基底若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底点析

对平面向量基本定理的理解(1)基底具备两个主要特征:①基底是由两个不共线的向量构成的;②基底的选择是不唯一的.(2)基底e1,e2确定后,平面内任一向量a的分解式是唯一的,特别地,a1e1+a2e2=0时,恒有a1=a2=0.(3)用向量解决几何问题时,可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归.知识点一、平面向量基本定理定理条件e1,e2是同一平面内的微思考

a=λ1e1+λ2e2中的一对实数λ1,λ2是否唯一?提示:当e1,e2不共线时,由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;当e1,e2共线时,λ1,λ2不唯一.微练习下列说法正确的是(

)A.平面内的任一向量a,都可以用平面内的两个非零向量e1,e2表示B.当a与两个不共线的非零向量e1,e2之一平行时,a不能用e1,e2表示C.零向量可以作为基底中的向量D.平面内的基底是不唯一的解析:根据平面向量基本定理可知,只要是不共线的两个向量就可以作为基底,因此基底是不唯一的.答案:D微思考知识点二、平面向量的正交分解及坐标表示1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐标表示(1)基底:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.(2)坐标:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中,x叫做a在

x轴上的坐标,y叫做向量a在

y轴上的坐标.(3)坐标表示:a=(x,y)叫做向量a的坐标表示.(4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).知识点二、平面向量的正交分解及坐标表示微思考

在直角坐标平面内,O为原点,向量

的坐标与点A的坐标有什么关系?微练习在平面直角坐标系中,若i,j是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,则向量a,b,c的坐标分别是

,

,

.

答案:(2,-6)

(0,5)

(-4,0)微思考探究一探究二探究三素养形成当堂检测对平面向量基本定理的理解例1给出下列说法:①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若向量e1,e2是一组基底,则e1+e2与e1-e2也可以作为一组基底.其中正确说法的序号是

.

解析:①错误.零向量也可以用一组基底来线性表示.②错误.当e1,e2共线时,平面内的有些向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量则不可以.③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,可以作为基底.答案:③探究一探究二探究三素养形成当堂检测对平面向量基本定理的理解探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

平面向量基本定理的四个要点①不共线的向量e1,e2;②平面内的任意向量a;③存在唯一一对实数λ1,λ2;④a=λ1e1+λ2e2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟平面向量基本定探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.①② B.①③

C.①④ D.③④

答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测A.①② B.①③ C.探究一探究二探究三素养形成当堂检测平面向量基本定理的应用例2在△ABC中.分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测平面向量基本定理的应用探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟

用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟用基底表示向量探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测平面向量的坐标表示例3已知i,j分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐标.分析将a+4b先用i,j表示,再转化为坐标的形式.解:因为a=3i-2j,b=-i+5j,所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b的坐标为(-1,18).反思感悟

求平面向量坐标的方法(1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.探究一探究二探究三素养形成当堂检测平面向量的坐标表示探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测巧用直线的向量参数方程式解题

探究一探究二探究三素养形成当堂检测巧用直线的向量参数方程式解探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设{e1,e2}是平面内一个基底,则(

)A.零向量不能用e1,e2表示B.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在该平面内C.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对D.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0解析:由平面向量基本定理可知D项正确,这是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.设{e1,e2}是平面探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知

=(-2,4),则下面说法正确的是(

)A.点A的坐标是(-2,4)B.点B的坐标是(-2,4)C.当B是原点时,点A的坐标是(-2,4)D.当A是原点时,点B的坐标是(-2,4)解析:由任一向量的坐标的定义可知,当点A是原点时,点B的坐标是(-2,4).答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.已知=探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:A探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知e1,e2不共线,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若{a,b}不能作为基底,则k等于

.

答案:1探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.已知e1,e2不共