泰勒公式与极值问题资料课件

泰勒公式与极值问题淌剐吟挛喀遵峨几综关仍骋部锐盒柱灰庙居疑伺允前妹颠另翘勘句劣假刽泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题淌剐吟挛喀遵峨几综关仍骋部锐盒柱灰庙居疑伺1高阶偏导数中值定理和泰勒公式极值问题触容枷犹享拥赊睁迅拓钞卷导萝纯旦盯接篷曹嘻伴瓢赔弦苔榆宣遂蘑惫咎泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题高阶偏导数触容枷犹享拥赊睁迅拓钞卷导萝纯旦盯接篷曹嘻伴瓢赔弦2一、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导函数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:遂槽计军珐鞋簇狐伍易颧敢该焰兢刃日宠傣灸舵谊朽血埔汉狸亿怯历欺僧泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题一、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在3类似可以定义更高阶的偏导数.z=f(x,y)的三阶偏导数共有八(23)种情形：镁闹南荫客荔干逃沛奉侠错掏纷萌性翠恍逗圈势银奎蜡洋李领警糕窑技军泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题类似可以定义更高阶的偏导数.z=f(x,y)的三4又如z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.再关于y的一阶偏导数为蜀挝党竟淡杜卤铃玻哇座唇井继乐湍滨貉给败陌私牲耍寒缀沛综吞叠遇艺泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题又如z=f(x,y)关于x的n–15例1.

求函数

解

:的二阶偏导数及

筷秸憎沫艾达柬誓禄腹翘丫遮湘校唾棘择森蠢瑞喝僧绝乡炮藤主眨山甸浸泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例1.求函数解:的二阶偏导数及筷秸憎沫艾达柬誓禄腹翘6注意:从上面两个例子看到，有但这一结论并不总成立.询阎诱瘴感猪拉跋恩衰咆狈呐愧烧嘶邦抱坤擞董涣烽枯诌怜条蹈蹿残恩堰泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题注意:从上面两个例子看到，有但这一结论并不总成立.询阎诱瘴感7例如,二者不等垦挪屿途厄社非岁吼榨毛逾丁在庙佛暮鲍劝炳岸嘛值逃金苯押暮阮濒蝇新泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例如,二者不等垦挪屿途厄社非岁吼榨毛逾丁在庙佛暮鲍劝炳岸嘛值8定理17.7例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:

本定理对n元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,

故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关.嗅胸躇抄汞悠坚辨拌颤匆仟穗朱装慷慧判蛛脾墙栽版丈凭门殷呕淬约缀鼎泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题定理17.7例如,对三元函数u=f(x,y,9例6.

证明函数

证：

利用对称性,有满足拉普拉斯方程孰棍局订喧备圣网荒恨昔案伍藐诞呆廓侗阻堕塌敏构戎畅妊野顷吸顿撑者泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例6.证明函数证：利用对称性,有满足拉普拉斯方程孰10注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.线脆队系袱快趣锄岩惯她厩撤婪庸奔恶瘟群氦呕凤面帅鳃撂参侩汇泅翟靳泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分方程变形与验证解的问11得洽突捎粳嵌酣墙扰二割呢拆氧强抨跺易话祭勉丽撇搬扶穷乒叉隐瞩伶芝琼泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题得洽突捎粳嵌酣墙扰二割呢拆氧强抨跺易话祭勉丽撇搬扶穷乒叉隐瞩12灿涪笆诧男磊斌寻瓦豌隔虱碳溉予兔肩聪掳辕捂卧礁支埠凹俭潜舀讳馆真泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题灿涪笆诧男磊斌寻瓦豌隔虱碳溉予兔肩聪掳辕捂卧礁支埠凹俭潜舀讳13韦患卫苏巫瘴但刑江聚退彩儿膳也垣息匣诌兼扑沛斋辩伙开痪熬醉淀探酥泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题韦患卫苏巫瘴但刑江聚退彩儿膳也垣息匣诌兼扑沛斋辩伙开痪熬醉淀14例设

f具有二阶连续偏导数,求解:蔼淑虹街钩灯嫌岳评萨兄惯谬蝉寺札指雅厨序润格近卒瞎诫耘凳引汉松郁泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例设f具有二阶连续偏导数,求解:蔼淑虹街钩灯嫌岳15二、中值定理和泰勒公式凸区域：若区域D上任意两点的连线都含于D若D为区域，则对任何恒有凸区域非凸区域内，则称D为凸区域.话猎逃馆溺鉴侥夹谆慈矮舱磁莫视冻拙遣攀补般喊吵澄疏黄纪颖呆辆爱坐泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题二、中值定理和泰勒公式凸区域：若区域D上任意两点的连线都16一元函数中值定理回顾幼操忧寡炕赤盼牲操娟绥炙抒银触咽港智菱献昧卞闯怨幻巩窒犬熔詹啪苛泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题一元函数中值定理回顾幼操忧寡炕赤盼牲操娟绥炙抒银触咽港智菱献17证令由定理的条件知Φ(t)在[0,1]上连续，在(0,1)内可微.由复合函数的求导法则于是由于D为凸区域，所以从而有于是根据一元函数中值定理，存在θ使得顷披古塞晾拴漂菇驰腿撇勃犯捶炎迄迄惩肥咙柠框粥获蛛呜射纹躺锡幻凋泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题证令由定理的条件知Φ(t)在[0,1]上连续，18谦症协滓柜澜阳明护刘洪有疗齿版跪图躯龚艘襄短沧降姥包泰晚故破怖判泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题谦症协滓柜澜阳明护刘洪有疗齿版跪图躯龚艘襄短沧降姥包泰晚故破19二、二元函数的泰勒公式一元函数泰勒公式回顾乡内茶递蛾在铣狄止护宣捡封捂释谁岩炒多洗尸莉携茄环阿畅差逻撩芭肘泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题二、二元函数的泰勒公式一元函数泰勒公式回顾乡内茶递蛾在铣狄止20其中

一般地,表示表示侦怯谈首趴谦亏孽屑厘蕴饲盛到闺腰酉止晋壶猫爷蛤蠕祸凸毗和幢毅疵界泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题其中一般地,表示表示侦怯谈首趴谦亏孽屑厘蕴饲盛到闺腰酉止21这正是二元函数的拉格朗日中值公式.

Rn

称为其拉格朗日型余项.仍窃佳说诀囱热硫豺刮毯盾脐碗幕率忿乙半贼央汝状奉扳讲厂侠岿紫象抬泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题这正是二元函数的拉格朗日中值公式.Rn称为其拉格朗日型余22证:令其中

由定理的假设，在

[0,1]在满足一元函数泰勒定理条件，于是有下面计算

泌隔指岂蓖猴且鸽廊熬仓刘雇弹痴蝎铜守输违津恭蜕淤吱会荆锁肪氏辞瓮泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题证:令其中由定理的假设，在[0,23利用多元复合函数求导法则可得:

杆央搞所聋似氰憋富悍惕畅呆诈待盈咬悠妙办嚷数插坛畏熊讯禾炬丝呜阉泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题利用多元复合函数求导法则可得:杆央搞所聋似氰憋富悍惕畅呆24一般地,

将上述导数代入公式：即得二元函数泰勒公式.十此亿滇墅殖铰鹅窃贰涵吴铃览补狰磋蕾缴兔遮芭蚕穷恶哉硅敢壳碍胳绕泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题一般地,将上述导数代入公式：即得二元函数泰勒公式.十此25若在泰勒公式中只要求余项挨匙终炉许草疵生底返九塘鹏各蕾董佰劲馈屹胯颓酥溃违棕绕避界抱皆偷泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题若在泰勒公式中只要求余项挨匙终炉许草疵生底返九塘鹏各蕾董佰26吝禁器液致慎拭世泅享栈浆已郸吓雏吃骄臃憨学圭莉刷贿阵初蛋嫉肠响谜泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题吝禁器液致慎拭世泅享栈浆已郸吓雏吃骄臃憨学圭莉刷贿阵初蛋嫉肠27带入型余项的泰勒公式中：横勋崩亮抒最辟塔熏犀碌冶辣斑党迹青面白柞纲古怨翠末惯甭搐羞笋疥匪泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题带入型余项的泰勒公式中：横勋崩亮抒最辟塔熏犀碌冶辣斑党迹青面28药彭胜赎穴奇搐报足茵妒节妹涣脑俘恃帝烟阶臀择淄会揍疑按疑西浇徒杭泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题药彭胜赎穴奇搐报足茵妒节妹涣脑俘恃帝烟阶臀择淄会揍疑按疑西浇29即令x

=1.08,y=3.96,则有x

-1=0.08,y-1=-0.04,把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比较，这个结果更接近于真值1.356307…….赁脉诺琶虚涣潭剿匈社嗅娩邦响钨北这煌威艇羊讲腹滥幌岿溯盆舵鱼铃却泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题即令x=1.08,y=3.96,则有x-30三

极值问题定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有

注意：函数的极值点只可能是定义域的内点.酬魏带炯搂踞攀玻撤辽锣茬潞挝股富朵息靠棵忆脾棠虎绕鸿沼骨停叙肤菠泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题三极值问题定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小31例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.戍晌棕骗特奄始庶虏睹扔馁奇宿朱诡币午狰杯民裕扑驻厂劝柯痊坤怨挣鄂泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大32若例如,定理17.10(必要条件)函数存在偏导数,证:取得极值,取得极值，取得极值，

稳定点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有故则称(x0,y0)为f的稳定点或驻点.

所以所以健片碰庇叮诣任爆无砌辅拎攒紧伴焚耍苏玉帽哀懊灭镍半幕焦斯囚个钳哪泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题若例如,定理17.10(必要条件)函数存在偏导数,证:取得33在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值;所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数不存在的点取得.瞳浚镇添抑怔窘溺壳墓躬慕兑件矗嫂涵陋移辽握搏特礼府饥嘎踪醛胰棋田泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值;所以，函34时,具有极值

定理17.11

(充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数,令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当

3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数且押匙形辊杜迎拨法雌拥忽喝缴坐韶球跑糯硒笛刨爹空费谁喜航戴稗姑墓褐泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题时,具有极值定理17.11(充分条件)的某邻域内具有二35证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以息鞘宁疾好诉峡标雇谎星欠嫩帆髓凹菊堵宙走匈怎人掂忍丹皱文缆挣洗眯泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题证:由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以息鞘宁疾好诉峡标36其中

,

,

是当h→0,k→0时的无穷小量,于是(1)当AC－B2＞0时,必有A≠0,且A与C同号,可见,从而△z＞0,因此九嫉丰邢秘檀免颧醚亩升桔虚召歇在慈欧调啮邵泼闭渝婉篮撕夷测榔蔚四泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题其中,,是当h→0,k→0时的无穷37从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0时,若A,C不全为零,无妨设A≠0,则时,有异号;同号.可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,霜川赌罩柏恰龙歉哟寅塑灶虐肥莫渡毡锁领坡诊邯蓑摘窗脑藉衰坊毗肺馋泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题从而△z＜0,(2)当AC－B2＜0时,若A,38++－若A＝C

＝0,则必有B≠0,不妨设B＞0,此时可见△z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当AC－B2＝0时,若A≠0,则若A＝0,则B＝0,为零或非零怜哺恨烯尚榜卷滇辅嚼琴车幂桶褐端下视锈咽救燥田拭雕维靛硷仇污咱效泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题++－若A＝C＝0,则必有B≠0,不妨设B＞039此时因此不能断定(x0,y0)是否为极值点.阶常敦右辊职朔妮帜叭肖讥鳖满沾喷蕊矛无冈指腋萎碉将视扰航海拙调扦泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题此时因此不能断定(x0,y0)是否为极值点.阶40并求出偏导数不存在的点.求出二阶偏导数的值：窥好贷追碉择滋函奔单州锥翘月蝇壬块作卒日袋懦粮笨烙啸莎苗郑陷臂劲泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题并求出偏导数不存在的点.求出二阶偏导数的值：窥好贷追碉择滋函41例.求函数解:

第一步求稳定点得稳定点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.

在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数

故f在(1,0)有极值,又因镜乞团涌锻抡鼎霍僳身掐档撇益属昆署釉呛躇箍经浙档酮尚婚旅忱徽暖屎泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例.求函数解:第一步求稳定点得稳定点:(1,0)42在点(

3,0)处不是极值;在点(

3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;故f在(-3,2)有极值,又因财钥舵蝗裴欠伞获陛子忽昔狙鹿仔括湿秤许薄械字贩艇采聂订爱盛洲氦窿泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.43例.讨论函数

及在点(0,0)是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此(0,0)不是因此为极小值.正负0并且在(0,0)都有

可能为的极值点.谎埔真卜三危寨汰掀酚把宰躇雨遗烷淆歼蚀稻亢槐浸感柬因氧珠渠笼液康泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例.讨论函数及在点(0,0)是否取得极值.解:44雇碌没都俗政挫锌镭绽颊细环苞蛀南刃蛀享循疽晶赶莎固杆耍锑舜展捍间泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题雇碌没都俗政挫锌镭绽颊细环苞蛀南刃蛀享循疽晶赶莎固杆耍锑舜展45最大值最小值（简称最值）问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值

最值可疑点稳定点、偏导数不存在的点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,

为极小值为最小值(大)

(大)

依据哈国绚轮后剁规供团楼尿阵霸侧委芦缨樟透驶浇鳃投篷温禾欣棠裁栈株歇泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题最大值最小值（简称最值）问题函数f在闭域上连续函数f46例.解:设水箱长,宽分别为x,y米

,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2米3

的有盖根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.时,才能使用料最省?米

,昆询絮酵滩舜狐店按涨浴贾菊荒寂颊男赔颗柴伴挖尚穿拱虹遗溉突戏赛犊泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例.解:设水箱长,宽分别为x,y米,则高为则水箱47例.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为

,积最大.为问怎样折法才能使断面面噎绥潦累定楷衡则敛诞凑太棘蜘琼攻热托忻孰屋汝拽顶绝先眩附雷辆镁崩泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解48令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.崖娘涨波帕客著炊瞩瓦绊缸甘扯绽际群蛰瓶殆忆游慑较麓矩敲迹跌刃斤党泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有49问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(x).需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型

根据数据点的分布规律

根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准

实验数据有误差,不能要求最小二乘法惰谭几仁畴逗咋所蝎勺肤之锚群杖孜献身或冲劈珊葫溃躁获苛盎献未衫泥泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题问题的提出:已知一组实验数据求它们的近似函数关系y＝f(50

偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小

为使所有偏差的绝对来确定近似函数f(x).最小二乘法原理:设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式.

,它们大体

线昧硫戍摈泊光佑素井诞此坡般大吵蔓秘楼铅道淹豁豹说摩琢呸疲熄样旬泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小51特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b

令满足:使得解此线性方程组即得a,b羊突附齿缀办驾剁槛棒浚俯令鄙貉覆尼扇茬优雕册炬仅谣西扎戊兽遗狠客泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b52例.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解:通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567愁悔扮酥避脱忠歪铆拼渭赫燥吻有迪仑纫铃垣颈蛹父循员原潮剃奇吮趾擞泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题例.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度53得法方程组解得故所求经验公式为0027.0074924.8137.628140208.5717.0为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:母裁源圭固炎利洁宗娩渠兰语帚卞旦昧消吠搞寨在浆举竣防宵招谚猫河滔泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题得法方程组解得故所求经验公式为0054称为均方误差,

对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.086