中南大学微积分总复习课专题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

微积分IA总复习第1页函数与极限一、主要内容第2页函数定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数第3页函数分类函数初等函数非初等函数(分段函数,有没有穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)第4页左右极限两个主要极限求极限惯用方法无穷小性质极限存在充要条件判定极限存在准则无穷小比较极限性质数列极限函数极限等价无穷小及其性质唯一性无穷小二者关系无穷大第5页1、极限定义第6页第7页左极限右极限第8页无穷小:极限为零变量称为无穷小.绝对值无限增大变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大倒数为无穷小;恒不为零无穷小倒数为无穷大.无穷小与无穷大关系2、无穷小与无穷大第9页定理1在同一过程中,有限个无穷小代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限变量与无穷小乘积是无穷小.推论2常数与无穷小乘积是无穷小.推论3有限个无穷小乘积也是无穷小.无穷小运算性质第10页定理推论1推论23、极限性质第11页4、求极限惯用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.第12页5、判定极限存在准则(夹逼准则)第13页(1)(2)6、两个主要极限第14页定义:7、无穷小比较第15页定理(等价无穷小替换定理)8、等价无穷小性质9、极限唯一性第16页左右连续在区间[a,b]上连续连续函数性质初等函数连续性间断点定义连续定义连续充要条件连续函数运算性质非初等函数连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类第17页1、连续定义第18页定理3、连续充要条件2、单侧连续第19页4、间断点定义第20页(1)跳跃间断点(2)可去间断点5、间断点分类第21页跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx第22页0yx无穷型振荡型第二类间断点0yx第二类间断点第23页6、闭区间连续性7、连续性运算性质定理第24页定理1

严格单调连续函数必有严格单调连续反函数.定理28、初等函数连续性定理3第25页定理4基本初等函数在定义域内是连续.定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续.定义区间是指包含在定义域内区间.9、闭区间上连续函数性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续函数一定有最大值和最小值.第26页定理2(有界性定理)在闭区间上连续函数一定在该区间上有界.第27页推论在闭区间上连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间任何值.第28页导数与微分第29页求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分第30页导数定义第31页求导法则(1)函数和、差、积、商求导法则(2)反函数求导法则第32页(3)复合函数求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.适用范围:第33页(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)参变量函数求导法则第34页高阶导数记作二阶导数导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上导数统称为高阶导数)第35页微分定义定义(微分实质)第36页导数与微分关系定理微分求法求法:计算函数导数,乘以自变量微分.第37页函数和、差、积、商微分法则微分基本法则微分形式不变性第38页中值定理与导数应用第39页洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理惯用泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形描绘;曲率;求根方法.导数应用第40页罗尔中值定理第41页拉格朗日中值定理有限增量公式.第42页柯西中值定理推论第43页泰勒中值定理第44页洛必达法则定义这种在一定条件下经过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值方法称为洛必达法则.关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可处理类型.注意：洛必达法则使用条件.第45页导数应用定理(1)函数单调性判定法第46页定义(2)函数极值及其求法第47页定理(必要条件)定义函数极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值点称为极值点.极值是函数局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.第48页定理(第一充分条件)定理(第二充分条件)第49页求极值步骤:第50页步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:假如区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题第51页实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;(4)曲线凹凸与拐点定义第52页第53页定理1第54页方法1:方法2:第55页利用函数特征描绘函数图形.第一步第二步(5)函数图形描绘第56页第三步第四步确定函数图形水平、铅直渐近线以及其它改变趋势;第五步第57页(6)弧微分曲率曲率圆曲率计算公式第58页定义第59页不定积分第60页积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几个特殊类型函数积分第61页原函数定义原函数存在定理即：连续函数一定有原函数．第62页不定积分(1)定义第63页(2)微分运算与求不定积分运算是互逆.(3)不定积分性质第64页第一类换元法直接积分法第一类换元公式（凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分性质求不定积分方法.第65页常见类型:第66页第二类换元法第二类换元公式第67页惯用代换:第68页分部积分法分部积分公式选择u有效方法:LIATE选择法L----对数函数；I----反三角函数；A----代数函数；T----三角函数；E----指数函数；

哪个在前哪个选作u.第69页几个特殊类型函数积分（1）有理函数积分定义两个多项式商表示函数称之.真分式化为部分分式之和待定系数法第70页四种类型分式不定积分此两积分都可积,后者有递推公式第71页令（2）三角函数有理式积分定义由三角函数和常数经过有限次四则运算组成函数称之．普通记为第72页（3）简单无理函数积分讨论类型：处理方法：作代换去掉根号．第73页定积分与广义积分第74页问题1:曲边梯形面积问题2:变速直线运动旅程存在定理广义积分定积分定积分性质定积分计算法牛顿-莱布尼茨公式第75页1、问题提出实例1（求曲边梯形面积A）第76页实例2（求变速直线运动旅程）方法:分割、求和、取极限.第77页2、定积分定义定义第78页记为第79页可积两个充分条件：定理1定理23、存在定理第80页4、定积分性质性质1性质2性质3第81页性质5推论：（1）（2）性质4第82页性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式第83页5、牛顿—莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）第84页定理3（微积分基本公式）也可写成牛顿—莱布尼茨公式第85页6、定积分计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式第86页定积分应用第87页微元法理论依据名称释译所求量特点解题步骤定积分应用中惯用公式第88页所求量特点微元素法第89页解题步骤第90页定积分应用惯用公式(1)平面图形面积直角坐标情形第91页假如曲边梯形曲边为参数方程曲边梯形面积参数方程所表示函数第92页极坐标情形第93页(2)体积xyo第94页平行截面面积为已知立体体积第95页(3)平面曲线弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为第96页C．曲线弧为弧长(4)旋转体侧面积xyo第97页无穷级数第98页常数项级数函数项级数一般项级数正项级数幂级数三角级数收敛半径R泰勒展开式数或函数函数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数满足狄氏条件在收敛级数与数条件下相互转化第99页常数项级数级数部分和定义级数收敛与发散第100页性质1:级数每一项同乘一个不为零常数,敛散性不变.性质2:收敛级数能够逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成级数依然收敛于原来和.级数收敛必要条件:收敛级数基本性质第101页常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交织级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;普通项级数4.绝对收敛第102页定义正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法第103页(2)比较审敛法极限形式第104页第105页第106页定义

正、负项相间级数称为交织级数.交织级数及其审敛法第107页定义正项和负项任意出现级数称为任意项级数.任意项级数及其审敛法第108页函数项级数(1)定义(2)收敛点与收敛域第109页(3)和函数第110页(1)定义幂级数第111页(2)收敛性第112页推论第113页定义:正数R称为幂级数收敛半径.幂级数收敛域称为幂级数收敛区间.第114页a.代数运算性质:加减法(其中(3)幂级数运算第115页乘法(其中除法第116页b.和函数分析运算性质:第117页幂级数展开式(1)定义第118页(2)充要条件(3)唯一性第119页(3)展开方法a.直接法(泰勒级数法)步骤:b.间接法依据唯一性,利用常见展开式,经过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.第120页(4)常见函数展开式第121页第122页(1)三角函数系三角函数系傅里叶级数第123页(2)傅里叶级数定义三角级数第124页其中称为傅里叶级数.第125页(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)第126页(4)正弦级数与余弦级数第127页第128页奇延拓:(5)周期延拓第129页偶延拓:第130页第131页二、经典例题第132页例1解将分子、分母同乘以因子(1-x),则第133页例2解第134页例3解第135页第136页例4证实讨论:第137页由零点定理知,综上,第138页例5解第139页例6解分析:不能用公式求导.第140页例7解两边取对数第141页例8解先去掉绝对值第142页第143页例9解第144页例10解第145页例11解第146页例12证由介值定理,第147页

注意到由,有

+,得第148页例13证第149页例14证

第150页–,则有第151页例15解第152页若两曲线满足题设条件,必在该点处含有相同一阶导数和二阶导数,于是有第153页解此方程组得故所求作抛物线方程为曲率圆方程为两曲线在点处曲率圆圆心为第154页例16解(倒代换)第155页例17解第156页解得第157页例18解第158页例19解第159页例20解第160页第161页第162页例21解第163页例22解第164页例23解第165页例24解是偶函数,第166页例25解第167页例26证第168页第169页例27证作辅助函数第170页第171页例28解第172页依据级数收敛必