最短路径问题市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

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我们把研究关于“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就经过几个实际问题,详细体会怎样利用所学知识选择最短路径.新课引入第2页第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题第3页问题1相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程造访海伦，讨教一个百思不得其解问题：

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边什么地方饮马，可使所走路径最短？ABl第4页精通数学、物理学海伦稍加思索，利用轴对称知识回答了这个问题．这个问题以后被称为“将军饮马问题”．

你能将这个问题抽象为数学问题吗？第5页lABCC转化为数学问题当点C在直线l什么位置时，AC与BC和最小？分析：ABl第6页如图，点A、B分别是直线l异侧两个点，怎样在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B距离和最短？联想：两点之间，线段最短.lABCB第7页（1）这两个问题之间，有什么相同点和不一样点？（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l异侧呢？

（3）利用什么知识能够实现转化目标？分析：lABClABC第8页lABCB′如图，作点B关于直线l对称点B′.当点C在直线l什么位置时，AC与CB′和最小？在连接AB′两点线中，线段AB′最短.所以，线段AB′与直线l交点C位置即为所求.第9页在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′证实：如图.第10页在处理最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为轻易处理问题，从而作出最短路径选择．方法总结：第11页问题1归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知处理新知联想旧知处理实际问题ABl第12页问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B路径AMNB最短？（假定河两岸是平行直线，桥要与河垂直.）思索：你能把这个问题转化为数学问题吗？第13页如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？aBAbMN因为河宽是固定，所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.第14页分析：lABCaBAbMNA'如图，假如将点A沿与河岸垂直方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b什么位置时，A′N+NB最小？参考右图，利用“两点之间，线段最短”能够处理.第15页如图，沿垂直于河岸方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.aBAbMNA'解：第16页另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′.由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′.∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，

AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′＞A′B，∴AM′+M′N′+BN′＞AM+MN+BN.证实：aBAbMNA'N′M′第17页总结归纳：在处理最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂问题转化为轻易处理问题，从而作出最短路径选择。第18页问题2归纳抽象为数学问题用旧知处理新知联想旧知处理实际问题lABC第19页小结归纳lABClABCB′转化轴对称变换平移变换两点之间，线段最短.第20页1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有以下四种铺设方案，图中实线表示铺设管道，则所需要管道最短是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD尝试应用：第21页2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD中点距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走最短距离是

米.ACBD河1000第22页第23页4、如图所表示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN周长最小。M’P第24页归纳总结本节课你有什么收获？①学习了利用轴对称处理最短路径问题②感悟和体会转化思想第25页赔偿提升

如图，一个旅游船从大桥ABP处前往山脚下Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船最短路径．ABCPQ山河岸大桥第26页思绪分析：

因为两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这么问题就转化为“点P，Q在直线BC同侧，怎样在BC上找到一点R，使PR与QR和最小”．ABCPQ山河岸大桥第27页新知1利用轴对称处理距离最短问题

利用轴对称及两点之间线段最短性质，将所求线段之和转化为一条线段长，是处理距离之和最小问题基本思绪，不论题目怎样改变，利用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点距离和最小这个核心，全部作法都相同.第28页新知2利用平移确定最短路径选址

处理连接河两岸两个点最短路径问题时，能够经过平移