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文档简介
我国数列求和的概念起源很早,在南北朝时,张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题.等差数列求和的历史高斯(1777年-1855年)德国著名数学家观察归纳1+2+3+…+50+51+…+98+99+100
1+100=101
2+99=101
3+98=101
……
50+51=101
(100+1)×100/2=5050第1页/共15页我国数列求和的概念起源很早,在南北朝时,张丘等差数列求和的历1探究发现问题:12310010099981获得算法:图案中,第1层到第100层一共有多少颗宝石?第2页/共15页探究发现问题:12310010099981获得算法:图案中2问题1:1+2+3+…+n=?
(倒序相加法)
解:第3页/共15页问题1:1+2+3+…+n=?(倒序相3=a3+an-2=
a2+an-1
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即:
a1+an=……
似乎与n的奇偶有关问题是一共有多少个
a1+an
1.公式推导a1+a2+a3+a4…+an-2+an-1+an=第4页/共15页=a3+an-2=a2+an-1设等差数列{an}4设等差数列{an}前n项和为Sn
,则
第5页/共15页设等差数列{an}前n项和为Sn,则第5页/共15页5设等差数列{an}的前n项和为Sn,即:
Sn=a1+a2+…+anSn=
a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=
an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1两式相加得:
2Sn=(a1+an)×n算法:倒序相加求和第6页/共15页设等差数列{an}的前n项和为Sn,即:Sn=a1+6等差数列的前n项和公式的另一种推导第7页/共15页等差数列的前n项和公式的另一种推导第7页/共15页7例2
等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和为54?解:设题中的等差数列是{an},前n项和为Sn则a1=-10,d=-6-(-10)=4解得n1=9,n2=-3(舍去)因此,等差数列的前9项和是54
方程思想知三求二令=54,由等差数列前n项和公式,得:(1)解:由已知得:整体思想认识公式第8页/共15页例2等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和为8例题解析例2:等差数列{an}中,d=4,an=18,Sn=48,求a1的值。解:由an=a1+(n-1)d得:18=a1+(n-1)4解得:n=4n=6a1=6a1=-2或第9页/共15页例例2:等差数列{an}中,d=4,an=18,Sn=9第10页/共15页第10页/共15页10例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这等差数列的前n项和的公式吗?分析:方程思想和前n项和公式相结合分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可以得到两个关于首项和公差的关系式,他们是关于首项和公差的二元一次方程,由此可以求得首项和公差,从而得到所求的前n项和的告诉.解:由题意知:S10=310,S20=1220,将它们代入公式得到
第11页/共15页例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前211当n>1时:
当n=1时:也满足①式.①第12页/共15页当n>1时:
当n=1时:也满足①式.①第12页/共1512【解析】由题意知,等差数列的公差为
于是,当n取与最接近的整数即7或8时,取最大值答案:27练习1、练习2、等差数列-10,-6,-2,2,…的前_____项的和为54?答案:n=9,或n=-3(舍去)仍是知三求一第13页/共15页【解析】由题意知,等差数列的公差为于是,当n取与最接13课堂小结1.等差数列前n项和Sn公式的推导2.等差数列前n项和Sn
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