初中数学教案《正方形》教案(2023年创作)

2．7 正方形把握正方形的概念、性质，并会运用；(重点)理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区分；(难点)把握正方形的判定条件；(重点)合理地利用正方形的判定进展有关的论证和计算．(难点)一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如以下图)折出一个正方形．学生在动手过程中对二、合作探究探究点一：正方形的性质【类型一】利用正方形的性质求线段长或证明如以下图，正方形ABCD的边长ACF.求证：BE＝CF；(2)BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，BE＝CF；设B＝CEF中可表示出C，由BC＝1BE.证明：ABCD为正方形，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，又∵AC平分∠BCDACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴BE＝CF；BE＝xEF＝CF＝x，在Rt△CEF中，CE＝EF2＋CF2＝2x，∵BC＝1，∴x＋2x＝1x＝2－1，即BE的长为2－1.

矩形被每条对角线分成两个到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型二】利用正方形的性质求角度或证明ABCDFABDFEDF中点．连接BE、CE、AE.(1得AB＝CD，每一个角都是直角可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝EF＝DE2＝1DF，依据等边对等角可得∠EAD＝2“边角边〞证明即可；(2)依据全等三角形对应边相等可得EB＝EC，再求出△BCE是等边三角形，依据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出AB＝3相等求出∠BAE，然后依据等边对等角可得∠AFD＝∠BAE.1AE＝EF＝DE＝2DFEAD＝ED∵BA＝BA－EACDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE，在A＝C，△AEB和△DEC中，∠BAE＝∠CDE，A＝D，∴△AEB≌△DEC(SAS)；2∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°，∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝1(18030°)＝75°，又∵AE＝2EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°.正方形是最特别的平行四边形，在正方形中进展计算时，要留意计算出相等的线段．探究点二：正方形的判定【类型一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形〞判定Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BCE，DF⊥ACF.求证：四边形CEDF是正方形．要证四边形CEDF么要先证明四边形DECF组邻边相等即可．∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形

DECF是矩形，∵DE＝DF，∴矩形DECF是正方形．要留意判定一个四边形是正方形，必需先证明这个四边形为矩形或菱形．【类型二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形〞判定＝90BC的垂直平分线EF交BC于点ABECF＝AE；试推断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；当∠ABECF是正方形？请答复并证明你的结论．解析：(1)的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，又由于CF＝AE，可得出BEBECF是菱形；(2)角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，得出菱形EBFC个锐角互余得∠A＝45°.(1四边形BECF∵EFBC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1，∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE，∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BFBECF是菱形；(2)当∠A＝45BECF是正方形．证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90BECF是正方形．方法总结：正方形的判定方法：①先判

形．证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝

1∠GCF，∴∠ECF＝2×

180°＝90°；边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进展判定．：如图，△ABC中，点O是ACO作直线MN∥BC，设MN交∠BCAE，交∠BCA的外角∠ACGFAE、AF.(1)求证：∠ECF＝90°；OAECF是矩形？请说明理由；在(2)的条件下，△ABC应当满足条件： ，那么四边形AECF为正方形．(直接添加条件，无需证明)解析：(1)由CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE，∠GCF＝∠OCF，所以得∠ECF＝90°；由(1)可得出EO＝CO＝FO，点O运动到ACEO＝CO＝FO＝AOAECF是矩形；由和(2)O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的AECF是矩AECF是正方

OACAECFMN∥BC，OEC＝∠BCEOFC＝∠GCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，F＝COOF又∵当点O运动到的中点时，AO＝COAECF是平EC90是矩形；OAC满足∠ACBAECF是正方(2O运动到ACAECF是矩形，MN∥BC，当∠ACB＝90°，那么∠AOF＝∠COE＝∠COF＝是正方形．故答案为：∠ACB为直角．此题考察的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，得出EO＝FO，确定(2)(3)的条件．AE是正方形ABCD中的平分线，AEBD、BCF、E，AC、BDO.求证：(2)OF 1CE解析：(1)依据正方形的性质可求得∠ABE＝∠AOF＝90°.由于AE是正方形ABCD中∠BAC“等角的余角相等〞即可求得∠AFO＝∠AEB.依据“对顶角相等〞即可求得∠BFE＝∠AEB，BE＝BF；(2)连接O和AE的中点G.依据三角形的中位线的性质即可证得OG∥BC，2OG＝1CE.依据平行线的性质即可求得2∠OGF＝∠FEB，从而证得∠OGF＝

生动手动脑的时机，变被动学习为主动学习，引导通过感官的思维去观看、探究、分析学问形成的过程，以此深化学问、更深刻理解学问、主动猎取学问，养成良好的学习习惯.圆周角教学目标通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，把握圆周角的性质；准确地运用圆周角性质进展简洁的证明∠AFO，∠AFO，OG＝OF，进而证得OF＝.CE通过观看、思考试验探究等活动，分状况证证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABE＝∠AOF＝90°.∵∠CAE＝BAEAFO＝AEB∵∠AFO＝∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF；(2)OAEG.∵AO＝CO，1

数学思想方法。3.情感、态度与价值观兴趣。教学重点难点重点 圆周角的概念和圆周角性质；2＝∠FEB.∵∠AFO＝∠AEB，∴∠OGF＝1∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝2CE.在正方形的条件下证明线段平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等学问来证明，有时也利用全等三角形来解决．三、板书设计正方形的性质对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；一条对角线平分一组对角．正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．趣，通过实践活动调动学生的乐观性，给学

难点 生疏圆周角性质需要分三种状况逐一证明的必要性。教与学互动设计〔一〕创设情景，导入课如以下图，AB有三名运动锅分别站在C、D、E的位置，且A、B、C、D、E五点在以O点为圆心的同一圆上，请问：运发动完整地观察球门的视角一样大吗？〔二〕合作沟通，解读探究【思考】观看下面两组图形：第一组：其次组：26〕中的两条线段所成的角叫做圆周角。CO作⊙O的直径AO上任取一点CCO数，记录下来。 A B观看思考：∠ACB与直径AB存在什么关系？你还能画出直径AB所对的圆周角吗？一一量出它们的度数，记录下来，你觉察了什么？学生汇报自己的觉察，通过全班沟通，得出900.程。【想一想】900的圆周角所对的弦是圆的直径吗？你能找到圆形零件的圆心吗？【试验探究】对于一般的圆周角，有什么规律呢？指导学生按以下步骤进展：〔1ACBADBAOB的位置特点，在练习本上画出符合这一位置特点的∠ACB、∠ADB、∠AOB。〔2〕量一量：每个同学量出自己所画的∠ACBADB内各个同学所觉察的综合起来。想一想：它们有什么共同特点吗？你觉察了什么规AOB的度数，你又觉察了什好为同弧所对的圆心角的度数的一半〕〔3〕如何证明这个命题的正确性呢？圆心角呢？虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来的位置关系。教师指导分析：①假设圆心角O在∠BAC的一边AC上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明。②假设圆心O在∠BAC内，我们如何证明这个结论成立呢？③假设圆心O在∠BAC两边的同侧，我们又如何证明呢？学生思考：能否把②、③转化为①的状况呢？教师引导学生分析得出：只要作出直径AD，将∠BAC转化为上述状况的两角之和或差即可，从而使问题得以解决。证明过程由学生完成。〔4教师作出评价。

这一条件，还成立吗？2.5051想想情境导入题如何答复。〔三〕应用迁移，稳固提高1求图中∠x的度数。2如图，△ABC内接于⊙ODCABO＝120等于〔〕Ａ.30 Ｂ.600 Ｃ.9003如以下图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交BC于D。求证：BD＝CD〔四〕总结反思，拓展升华【小结】1.这节课主要学习了两个学问点：〔１〕什么是圆周角？〔２〕圆周角的性质及其作用。的思想。【拓展】1.如以下图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠＝13，那么∠BAC的度数是 。，A、B、C、D、E五等分圆，那么∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是〔 〕A．180０ B．150０ C．135０D．120０课堂跟踪反响夯实根底０，那么它所对的圆心角是 ；假设圆心角是10０那么它所对的弧所对圆周角是 。是 。以下说法正确的选项是〔 〕A．顶点在圆上的角是圆周角 B．等弦所对的圆周角相等