2019年福建省厦门市翔安区中考数学模拟试卷（6月份）（解析版）

微信公众号：初高中数学宝典与解题技巧QQ初高中数学资料下载群：9615378832019年福建省厦门市翔安区中考数学模拟试卷一、选择题1.下列实数中，是无理数的为（）A.3．14 B. C. D.【答案】C【解析】【详解】根据无限不循环小数无理数可知是无理数．3．14，，=3这三个不是无理数故选C2.下列四个不等式组中，其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如图所示，这个不等式组是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式组的表示方法，可得答案．【详解】解：由，得，故选：D．【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组的解集的表示方法：大小小大中间找是解题关键．3.如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对顶角相等可知∠2=∠1=70°，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可.【详解】解：如图，∵∠1=70°，∴∠2=∠1=70°，∵CD∥BE，∴∠B=180°-∠1=180°-70°=110°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键.平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.4.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为（）A.10° B.15° C.20° D.25°【答案】A【解析】【分析】先根据∠CDE=40°，得出∠CED=50°，再根据DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF的大小．【详解】由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°，∴∠CED=50°，又∵DE∥AF，∴∠CAF=50°，∵∠BAC=60°，∴∠BAF=60°−50°=10°，故选：A.【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.5.在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A、点F在BC边上，与点F在△ABC内不符合，所以A选项不符合；B、点F在△ABC外，与点F在△ABC内不符合，所以B选项不符合；C、C选项符合；D、点D是BC中点，与点D是边AC的中点不符合，所以D选项不符合；故选C．6.如果将直线l1：y＝2x﹣2平移后得到直线l2：y＝2x，那么下列平移过程正确的是（）A.将l1向左平移2个单位 B.将l1向右平移2个单位C.将l1向上平移2个单位 D.将l1向下平移2个单位【答案】C【解析】【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．【详解】将函数y＝2x﹣2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝2x．故选：C．【点睛】本题考查是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键．7.在“纪念抗日战争胜利暨世界反法西斯战争胜利70周年”歌咏比赛中，10位评委给小红的评分情况如表所示：成绩（分）678910人数32311则下列说法正确的是（）A.中位数是7.5分 B.中位数是8分C.众数是8分 D.平均数是8分【答案】A【解析】【分析】分别利用众数、中位数及加权平均数的定义及公式求得答案后即可确定符合题意的选项．【详解】∵共10名评委，∴中位数应该是第5和第6人的平均数，为7分和8分，∴中位数为：7.5分，故A正确，B错误；∵成绩为6分和8分的并列最多，∴众数为6分和8分，故C错误；∵平均成绩为：＝8.5分，故D错误，故选：A．【点睛】本题考查了众数、中位数及加权平均数的知识，解题的关键是能够根据定义及公式正确的求解，难度不大．8.如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么的值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴＝．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．9.如图，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转50°到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠CAB等于（）A.50° B.60° C.65° D.70°【答案】C【解析】【分析】由旋转的性质可得AC=AC'，∠CAC'=50°，可求∠ACC'=∠AC'C=65°，由平行线的性质可得∠CAB=∠ACC'=65°．【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转50°到△AB′C′的位置，∴AC＝AC'，∠CAC'＝50°∴∠ACC'＝∠AC'C＝65°∵C'C∥AB∴∠CAB＝∠ACC'＝65°故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题的关键．10.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（）A.2π﹣4 B.4π﹣8 C.2π﹣8 D.4π﹣4【答案】A【解析】【详解】如图，连接OC.∵C是弧AB的中点，∠AOB＝90°，∴∠COB＝45°，∵四边形CDEF是正方形，且其边长为2∴∠ODC＝90°,CD=2∴在Rt△ODC中，OD=CD=2，OC==4∴S阴影＝S扇形OBC－S△ODC＝-×(2)²=2π－4，故选A.二、填空题11.计算的值是________．【答案】－6【解析】根据有理数的运算顺序可得原式=2-2×4=2-8=-6.12.如果a2﹣b2=8，且a+b=4，那么a﹣b的值是__．【答案】2．【解析】【分析】根据(a+b）（a-b）=a2-b2，可得（a+b）（a-b）=8，再代入a+b=4可得答案．【详解】∵a2-b2=8，

∴（a+b）（a-b）=8，

∵a+b=4，

∴a-b=2，

故答案是：2．【点睛】考查了平方差，关键是掌握（a+b）（a-b）=a2-b2．13.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为____．【答案】【解析】【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【详解】抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为：．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．14.正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A(2，n)，且n>0，当时，的取值范围是___________________.【答案】或【解析】由题意可知，正比例函数的图像与反比例函数的图象都经过一、三象限，如图.∵正比例和反比例均关于原点O对称，且A点的横坐标为2，∴点B的横坐标为−2.观察函数图象，发现：当x>2或−2<x<0时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y1>y2时，x的取值范围是−2<x<0或x>2.故答案为−2<x<0或x>2.15.如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为_____米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）【答案】17.3【解析】【详解】解：在Rt△AMN中，AN=MN×tan∠AMN=MN×tan60°=9×=9．在Rt△BMN中，BN=MN×tan∠BMN=MN×tan30°=9×=3，∴AB=AN﹣BN=9﹣3=6．则A到B的平均速度为：==10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．16.已知m，n是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（其中a＜b）的两根，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是_____．【答案】m＜a＜b＜n【解析】【分析】函数y=（x-a）（x-b）与x轴的交点坐标的横坐标为a与b，二次函数y=（x-a）（x-b）-1相当于y=（x-a）（x-b）向下平移一个单位，可以画函数，由函数图象即可求得答案．【详解】∵函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标的横坐标为a与b，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1相当于y＝（x﹣a）（x﹣b）向下平移一个单位，又∵二次项系数为1，开口向上，如图所示：∴由图可得：m＜a＜b＜n．故答案为：m＜a＜b＜n．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点坐标问题与函数的平移的性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．三、计算题17.计算：．【答案】1【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质、零指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣2+2＝1．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P在∠BCA平分线CD上，且PA＝PB．（1）用尺规作出符合要求的点P（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）判断△ABP的形状（不需要写证明过程）【答案】(1)见解析;(2)等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）由PA=PB知点P同时还在线段AB的中垂线上，据此作图可得；（2）点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性质即可判断出△ABP是等腰直角三角形．【详解】（1）如图所示，点P即为所求；（2）△ABP是等腰直角三角形，理由如下：过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F．∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F，∴PE＝PF．在Rt△APE与Rt△BPF中，∵，∴Rt△APE≌Rt△BPF．∴∠APE＝∠BPF，∵∠PEC＝90°，∠PFC＝90°，∠ECF＝90°，∴∠EPF＝90°，∴∠APB＝90°．又∵PA＝PB，∴△ABP是等腰直角三角形．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质及线段中垂线的尺规作图、中垂线的性质．19.为了更好的落实阳光体育运动，学校需要购买一批足球和篮球，已知一个足球比一个篮球的进价高30元，买一个足球和两个篮球一共需要300元．（1）求足球和篮球的单价；（2）学校决定购买足球和篮球共100个，为了加大校园足球活动开展力度，现要求购买的足球不少于60个，且用于购买这批足球和篮球的资金最多为11000元．试设计一个方案，使得用来购买的资金最少，并求出最小资金数．【答案】（1）一个足球120元，一个篮球90元；（2）当x=60时，w最小值为10800元．【解析】【分析】（1）设一个篮球x元，则一个足球（x-30）元，根据“买两个篮球和一个足球一共需要300元”列出方程，即可解答；（2）设购买篮球x个，足球（100-x）个，根据“用于购买这批足球和篮球的资金最多为11000元”，列出不等式，求出x的取值范围，再表示出总费用w，利用一次函数的性质，即可确定x的取值，即可确定最小值．【详解】（1）设一个足球x元，则一个篮球（x﹣30）元，由题意得：x+2（x﹣30）=300，解得：x=120，∴一个足球120元，一个篮球90元．（2）设购买足球x个，篮球（100﹣x）个，由题意可得：，解得：，∴且x为整数.由题意可得：用来购买资金w=120x+90（100﹣x）=30x+9000（且x为整数）.∵k=30＞0，∴w随x增大而增大，∴当x=60时，w有最小值，w最小=30×60+9000=10800（元），所以当x=60时，w最小值为10800元．【点睛】本题考查了及一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题的关键是在于看清题意，找到关键描述语，设出未知数，找到正确的等量关系，列出方程式，最后解出答案.用不等式（组）解应用题的步骤：（1）找不等关系；（2）设未知数，列不等式；（3）解不等式组；（4）找符合题意的答案；（5）作答.20.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DE⊥BC于E，连接BD，设AD＝m，DC＝n，BE＝p，DE＝q．（1）若tanC＝2，BE＝3，CE＝2，求点B到CD的距离；（2）若m＝n，BD＝3，求四边形ABCD的面积．【答案】（1）;（2）9．【解析】【分析】（1）要求点B到CD的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tanC=2，BE=3，CE=2，可以得到BF=2FC，设未知数根据勾股定理列方程可以求解；（2）m=n，即AD=DC，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG的面积即可．【详解】（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，则∠BFC＝90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，Rt△DEC中，∵tanC＝2，EC＝2，∴DE＝4，在Rt△BFC中，∵tanC＝2，∴BF＝2FC，设BF＝x，则FC＝x，∵BF2+FC2＝BC2，∴x2+（x）2＝（3+2）2，解得：x＝，即：BF＝，答：点B到CD的距离是；（2）过点D作DG⊥AB，交BA的延长线相交于点G，∵四边形ABCD的内角和是360°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠BAD＝180°，又∵∠BAD+∠GAD＝180°，∴∠C＝∠GAD，∵∠DEC＝∠G＝90°，AD＝CD∴△DEC≌△DGA，（AAS）∴DE＝DG，∴四边形BEDG是正方形，∴S四边形ABCD＝S正方形BEDG＝BD2＝9．答：四边形ABCD的面积是9．【点睛】考查解直角三角形，勾股定理、和全等三角形等知识，作垂线构造直角三角形是常用的辅助线作法，通过作辅助线将问题转化求正方形的面积．21.AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是中点，连接CE，BE，若BE＝2，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）1+．【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理、切线的性质得到∠ACO=∠DCB，根据CA=CD得到∠CAD=∠D，证明∠COB=∠CBO，根据等角对等边证明；

（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CD为⊙O切线∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＝∠DCB＝90°﹣∠OCB，∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠D．∴∠COB＝∠CBO．∴OC＝BC．∴OB＝BC；（2）连接AE，过点B作BF⊥CE于点F，∵E是AB中点，∴，∴AE＝BE＝2．∵AB为⊙O直径，∴∠AEB＝90°．∴∠ECB＝∠BAE＝45°，，∴．∴CF＝BF＝1．∴．∴．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．22.小明是“大三”学生，按照学校积分规则，如果他的学期数学成绩达到95分，就能获得“保研”资格．在满分为100分的期中、期末两次数学考试中，他的两次成绩的平均分为90分．如果按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，那么小明能获得“保研”资格吗？请你运用所学知识帮他做出判断，并说明理由．【答案】见解析【解析】【分析】据加权平均数的算法公式进行计算，再与95分比较大小即可求解．【详解】按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，可得期末数学成绩100分，期中数学成绩80分的成绩最高，80×30%+100×70%＝24+70＝94（分）∵94分＜95分，∴小明不能获得“保研”资格．【点睛】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键．23.如图，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，2），顶点B，C分别在轴，轴的正半轴上．（1）求证：∠OCB＝∠ABE；（2）求OC长的取值范围；（3）若D的坐标为（，），请说明随的变化情况．【答案】（1）证明见解析；（2）0＜OC≤2．（3）当0＜≤2时，随的增大而增大；当2≤＜2时，随的增大而减小．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出∠CBA=∠COB=90°，求出∠OCB+∠CBO=90°，∠CBO+∠ABE=90°，即可得出答案；（2）过A作AF⊥x轴于F，证△COB∽△BEA，得出比例式，设OB=x，OC=y，则BE=4﹣x，求出y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，即可得出答案；（3）求出n=﹣（m﹣2）2+4，根据二次函数的性质得出即可．【详解】（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠ABC＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠ABC＝∠BOC，∵∠BOC＋∠OCB＝∠ABC＋∠ABE，∴∠OCB＝∠ABE．（2）解：过点A作AF⊥轴于F，当点B在点F时，OC的长最小，为0．设OB＝，OC＝，则BF＝4－．∵AF⊥轴，∴∠AFB＝90°．∴∠BOC＝∠AFB＝90°．∴△BOC∽△AEB．∴．∴．∴．∴OC的最大值为2．∴OC的取值范围是0＜OC≤2．（3）解：过点D作AH⊥轴于H．由矩形的性质易得△DHC≌△BFA．∴DH＝BF＝4－，CH＝AF＝2．∴，．∴．∵0≤＜4，∴0＜≤4．∴当0＜≤2时，随的增大而增大；当2≤＜2时，随的增大而减小．【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质的应用，能根据题意得出二次函数的解析式是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．24.如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．①求证：BD⊥CF；②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．【答案】（1）BD=CF，理由见解析；（2）①证明见解析；②DH=．【解析】【分析】(1)、根据旋转图形的性质得出AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ，AF＝AD，从而得出三角形全等；(2)、①、根据全等得出∠HFN＝∠ADN，结合已知得出∠HFN+∠HNF＝90°，从而得出结论；②、连接DF，延长AB，与DF交于点M，根据正方形的性质得出AM=DM，然后根据Rt△MAD的勾股定理得出答案.【详解】解：(l)、BD＝CF成立．由旋转得:AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,∴△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.(2)①、由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，∵∠HNF＝∠AND,∠AND+∠AND=90°∴∠HFN+∠HNF＝90°，∴∠NHF＝90°,∴HD⊥HF,即BD⊥CF.②、如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.∵四边形ADEF是正方形，∴∠MDA＝45°，∵∠MAD＝45°，∴∠MAD＝∠MDA,∠AMD＝90°，∴AM=DM∵AD=3在△MAD中，，∴AM＝DM＝3.∴MB＝AM-AB=3－2＝1，在△BMD中，，∴∵∠MAD=∠MDA=45°，∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，∴△DMB∽△DHF，∴DM：DH=DB：DF，即解得，DH=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助性是解题的关键．25.如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A点坐标为（﹣3，0）；（2）；P点坐标为（，）；（3）以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．【解析】【分析】（1）把B点的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值即可，令y=0，解方程求得x的值，即可得点A的坐标；（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；（3）过Q作QH⊥DE于点H，