2021-2022学年度第一学期高二数学第二次月考12.17

/普宁二中2021-2022学年度第一学期第二次月考高二级数学科试卷一、单选题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知是虚数单位，复数则（）A． B． C． D．2．如图，在平行六面体中，若则的值为（）．，，B．，，C．，， D．，，3．以下函数既是奇函数，又在区间上单调递增的为（）A．B．C． D．4．若，都为正实数，，则的最大值是（）A． B． C． D．5．“直线与直线垂直”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知椭圆上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是的中点，O为坐标原点，那么线段的长是（）A．6 B．5 C．4 D．37．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（）A． B． C． D．8．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（） B． D．多选题（每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知点，，向量，则下列选项正确的是（）A． B．C．若，则 D．若，则10．下列说法正确的是（）A．直线的斜率为B．若直线的倾斜角为α，则C．若两条直线的斜率之积等于－1，则这两条直线垂直D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为11．设有一组圆，下列命题正确的是（）A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．存在圆，经过点C．存在定直线始终与圆相切D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则12．抛物线的焦点为，动直线与抛物线交于两点且，直线分别与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（）A．直线恒过定点B．C．D．若于点，则点的轨迹是圆三、填空题（每小题5分，共20分）13．若，则x=___________.14．已知椭圆与双曲线有公共焦点，，P是它们的一个公共点，则______________.15．已知两点，，若直线与线段AB总有公共点，则k的取值范围是___________.16．如图，三棱锥中，底面为等腰直角三角形，且，平面，，分别是，的中点，则直线与所成的角的正弦值为_______.四、解答题（6道题，共70分）17．（本小题满分10分）已知圆C满足:圆心在直线x+y=0上，且过圆x2+y2-2x+10y-24=0与圆x2+y2+2x+2y-8=0的交点A，B.（1）求弦AB所在直线的方程；（2）求圆C的方程.18．（本小题满分12分）全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：空气质量指数（）空气质量等级空气优空气良轻度污染中度污染重度污染天数2040m105（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；（2）由频率分布直方图求该组数据的平均数与中位数；（3）在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.19．（本小题满分12分）在锐角中，角的对边分别为a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范围.20．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，且是的中点.（1）求点到平面的距离；（2）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.21．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知定义在R上的函数是奇函数.（1）求实数a的值；（2）解方程；（3）判断并用定义证明函数的单调性；（4）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.普宁二中2021-2022学年度第一学期第二次月考参考答案1．A，，2．A，又，，，，，．3．B对于A，，故在R上为偶函数，故A错误；对于B，，故在其定义域上为奇函数，且在上单调递增，故B正确；对于C，，故在R上为偶函数，故C错误；对于D，，则R上为奇函数，但在上单调递减，故D错误.4．D因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.5．B解：直线与直线垂直，，解得或，经检验或时，直线与直线垂直，根据充分、必要条件的定义可得，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件6．C如图，不妨设焦点F为左焦点，右焦点为，连接，因为N是的中点，是的中点，故是三角形的中位线，故，由得：，由椭圆的定义可知：，因为，所以，故7．A直线上任取一点作圆的切线，设切点为.圆，即，圆心为，半径为.切线长为.因为.所以切线长的最小值为.8．B如图，令双曲线E的左焦点为，连接，由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为．9．AC解：因为点，，所以，所以，故A正确，B错误；若，则，得，故C正确，D错误．10．BCA：当时，直线斜率不存在，错误；B：由题意，，故，正确；C：由直线垂直的判定知：两条直线的斜率之积等于－1，则两条直线垂直，正确；D：直线在两坐标轴上的截距都为0,且斜率不低于-1，直线的方程不可写为，错11．AC对于A选项：圆心的轨迹为直线，即不论如何变化，圆心始终在一条直线上，A正确；对于B选项：圆中，时，，，关于k的方程无实根，B错误；对于C选项：选取直线l：，圆心直线l的距离，即直线l与圆相切，C正确；对于D选项：到原点距离为1的轨迹是单位圆O：，当圆O与圆相交时满足条件，此时，得或，D错误.12．ABD由题意，，若，，则，，∵，即，又联立直线与抛物线有，∴，，则，∴，而，即，故过定点，A正确；若，，，，由：，可得，则；由：，可得，则；∴，而且，故，B正确；，，∴，C错误；∵在直线上，又过定点且，∴，故在以为直径的圆上，D正确；【点睛】关键点点睛：设，，联立直线与椭圆方程，应用韦达定理求，，，求的数量关系；设点坐标，利用斜率的点斜式求、的数量关系；若，由垂直可得在以为直径的圆上.13．解：，解得：14．1由题，则点满足解得，则.15．[0,1].∵是过定点的直线，∴，，故k的取值范围是[0,1].16．解：已知平面，底面为等腰直角三角形，，如图所示，建立空间直角坐标系，由题意易得（0，0，0），（0，0，2），（0，2，0），（-2，2，0），（0，1，0），（-1，1，1），易得=（0，0，2），=（-1，0，1），所以，所以，故直线与所成角的正弦值为.四、解答题（6道题，共70分）17．（1）（2）【分析】（1）联立两圆方程求出弦AB所在直线的方程；（2）由求出的坐标，设，利用距离公式得出半径和圆心坐标，从而得出圆的方程.【详解】（1）由，得故弦AB所在直线的方程为（2）由，解得或故设圆心，由，解得，即，故圆C的方程为18．（1）n＝100，m＝25，图像见解析；（2）＝95，中位数为；（3）【分析】（1）利用统计表和频率分布直方图能求出n，m的值，并能完成频率分布直方图．

（2）由频率分布直方图能求出该组数据的平均数和中位数．

（3）空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分布抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．从中任取2天，利用列举法能求出事件A“两天空气都为良”发生的概率．（1）∵0.004×50＝，解得n＝100，

∵20＋40＋m＋10＋5＝100，解得m＝25，

完成频率分布直方图如图：（2）由频率分布直方图知该组数据的平均数为：

＝25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95．

∵[0，50）的频率为0.004×50＝0.2，[50，100）的频率为0.008×50＝0.4，

∴该组数据的中位数为：．空气质量指数为[50，100）和[150，200）的监测天数中分别抽取4天和1天，

在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50，100）的4天分别记为a，b，c，d，

将空气质量指数为[150，200）的1天记为e．

从中任取2天的基本事件分别为：

（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10天，

其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：

（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6天，

∴事件A“两天空气都为良”发生的概率P（A）＝.19．（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理对已知条件化简，可求的值，结合为锐角，可求的值；（2）由正弦定理可得，再根据锐角三角形，可得，所以的范围转化为三角函数求取值范围的问题求解．（1）解：因为，所以，即，因为为锐角，所以，所以，又，所以；（2）解：在锐角中，，所以，所以，所以，因为，，所以所以，所以，又，所以，可得，所以，即的取值范围是．20．（1）;（2）.【解析】（1）解：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，因为为的中点，则因为设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为；（2）解：由题意，设，其中，则，所以，又是平面的一个法向量，因为直线和平面所成角的正弦值为，则，整理可得，又，解得，故线段的长为.21．（1）（2）在轴上有在定点，使得恒为常数，这个常数为【分析】（1）利用待定系数法设出椭圆的标准方程，由椭圆的几何性质，列出方程组，求出，的值，再利用，，的关系求出，即可得到答案；（2）①当直线与轴不垂直时，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，得到韦达定理，然后利用数量积的坐标表示结合韦达定理化简，利用它是常数，求出的值，得到坐标及该常数；②当直线与轴垂直时，求出，的坐标，求出的值以及常数．结合以上两种情况，即可确定答案．（1）设椭圆的标准方程为，由题意可得，，解得，所以，故椭圆的方程为；（2）由（1）可知，，假设在轴上存在一点，使得恒为常数．①当直线与轴不垂直时，设其方程为，设，，，，联立方程组，可得，所以，，故，因为是与无关的常数，则有，即，此时；②当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为，，当时，亦有．综上所述，在轴上有在定点，使得恒为常数，这个常数为．【点睛】方法点睛：在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，本题与无关就可以得到相应数据为0.22．（1）（2）（3）在定义域上单调递减，证明见解析；（4）【分析】（1）根据奇函数的定义列等式：，再根据