2018版高中数学（人教A版）必修1同步练习题：第3章 3.2.2 函数模型的应用实例

学业分层测评(二十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200副 B．400副C．600副 D．800副【解析】由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．【答案】D2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.eq\f(p＋q,2) B.eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D.eq\r(p＋1q＋1)－1【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.【答案】D3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：t02060140n128128根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于()A．200 B．220C．240 D．260【解析】由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n＝2eq\f(t,20)，令n＝1000，则2eq\f(t,20)＝1000，而210＝1024，所以繁殖到1000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故应选A.【答案】A4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.9576))eq\f(x,100) B．y＝(0.9576)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9579,100)))x D．y＝1－(0.0424)eq\f(x,100)【解析】设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1·(1－t)100，t＝1－(0.9576)eq\f(1,100)，∴y＝(1－t)x＝(0.9576)eq\f(x,100).【答案】A5．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16【解析】由题意知，组装第A件产品所需时间为eq\f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.将c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.【答案】D二、填空题6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.【解析】设出租车行驶xkm时，付费y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8，))由y＝22.6，解得x＝9.【答案】97．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．【解析】设至少要洗x次，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，所以x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以需4次．【答案】48．为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________元．【解析】依题意，价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，0≤x≤200，,0.9x，200<x≤500，,500×0.9＋x－500×0.7，x>500.))当f(x)＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x＝168；当f(x)＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638(元)的商品，∴500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．【答案】546.6三、解答题9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元．(1)试求a的值；(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y＝－10x＋800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【解】(1)∵按30元销售，可获利50%，∴a(1＋50%)＝30，解得a＝20.(2)∵销售量y(件)与每件售价x(元)满足关系y＝－10x＋800，则每天销售利润W(元)与每件售价x(元)满足W＝(－10x＋800)(x－20)＝－10x2＋1000x＋16000＝－10(x－50)2＋9000，故当x＝50时，W取最大值9000，即每件售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9000元．10．有时可用函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1＋15ln\f(a,a－x)，x≤6，,\f(x－4.4,x－4)，x>6，))描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【解】(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝eq\f(0.4,x－3x－4)，而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故函数f(x＋1)－f(x)单调递减，所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降．(2)由题意可知0.1＋15lneq\f(a,a－6)＝0.85，整理得eq\f(a,a－6)＝e0.05，解得a＝eq\f(e0.05,e0.05－1)·6＝20.50×6＝123，又123∈(121,127]，故该学科是乙学科．[能力提升]1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图3­2­7所示，那么水瓶的形状是()图3­2­7【解析】题图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．【答案】B2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N，,2x＋10，10≤x＜100，,1.5x，x≥100，x∈N，))x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15 B．40C．25 D．130【解析】若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故拟录用人数为25人．【答案】C3．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏)5.05.25.35.4注：地震强度是指地震时释放的能量．地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图3­2­8)可知a的值等于________．(取lg2＝0.3进行计算)图3­2­8【解析】由记录的部分数据可知x＝1.6×1019时，y＝5.0，x＝3.2×1019时，y＝5.2.所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b， ①5．2＝alg(3.2×1019)＋b， ②②－①得0.2＝algeq\f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg2.所以a＝eq\f(0.2,lg2)＝eq\f(0.2,0.3)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)4．某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图3­2­9所示．图3­2­9(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？【解】(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400＝600k＋b，,300＝700k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a