高中数学解题思维训练省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件

高中数学解题

思

维

训

练

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数学教学目标在于培养学生思维能力。要做到这一点，首先要培养学生良好思维品质。

实际上，良好思维品质往往包含以下几个方面：思维变通性、思维反思性、思维严密性和思维发散性。

培养良好思维品质路径是进行有素训练。本教程将结合中学数学教学实际情况，着重进行这方面训练。第2页第一讲数学思维变通性训练1.思维变通性概念在数学教学中，思维变通性表现为：能善于依据题设中详细情况，提出新构想和解题方案。它表达学生在智力活动中灵活程度上差异，是数学思维主要品质之一。数学问题千变万化，要想既快又准处理好数学问题，用一套固定方案，是行不通，必须视其详细情况，灵活确定解题方案。也就是说，必须含有思维变通性，依据数学思维变通性主要表达，本课程将着重进行以下几个方面训练：第3页小资料：《怎样解题》G.波利亚

第一：你必须搞清问题搞清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多出？或者是矛盾？把条件各部分分开。你能否把它们写下来？第二：找出已知数与未知数之间联络。假如找不出直接联络，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解计划。

拟订计划：你以前见过它吗？你是否见过相同问题而形式稍有不一样？你是否知道与此相关问题？你是否知道一个可能用得上定理？看着未知数！试想出一个含有相同未知数或相同未知数熟悉问题。这里有一个与你现在问题相关，且早已处理问题。你能不能利用它？你能利用它结果吗？你能利用它方法吗？为了利用它，你是否应该引入一些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不一样方法重新叙述它？回到定义去。假如你不能处理所提出问题，可先处理一个与此相关问题。你能不能想出一个更轻易着手相关问题？一个更普遍问题？一个更特殊问题？一个类比问题？你能否处理这个问题一部分？仅仅保持条件一部分而舍去其余部分，这么对于未知数能确定到什么程度？它会怎样改变？你能不能从已知数据导出一些有用东西？你能不能想出适于确定未知数其它数据？假如需要话，你能不能改变未知数或数据，或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更靠近？你是否利用了全部已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中全部必要概念？第三：实现你计划实现计划：实现你求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是否正确？你能否证实这一步骤是正确？第四：验证所得解回顾：你能否检验这个论证？你能否用别方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它问题？第4页（1）善于观察

做一道数学题，大致上有：审题、想题、解题三大段。&

在审题时要细心观察。解数学题首先要搞清题意。即：正确地感知题目中出现主要概念，分清什么是已知，什么是求（证）。&

在想题时要重视“特殊”已知条件。在探索解题思绪时，往往会感到有些“特殊”已知条件用不上，因而思绪也找不出来。有时即使思绪找出来了，但假如注意到了已知条件中一些“特殊性”，往往能够发觉有更为简便思绪存在。&

观察法解题有些问题，思索过程只可意会，难以言传，所以只好用观察法求解。即：先依据观察、猜测应用什么样解，然后进行直接验证。第5页第6页分类考查讨论：在些数学题，解题复杂性，主要在于它条件、结论（或问题）包含各种不易识别可能情形。对于这类问题，选择恰当分类标准，把原题分解成一组并列简单题，有利于实现复杂问题简单化。有些结构复杂综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单基本题，经过适当组合抽去中间步骤而组成。所以，从题目标因果关系入手，寻求可能中间步骤和隐含条件，把原题分解成一组相互联络系列题，是实现复杂问题简单化一条主要路径。

第7页联想是转化问题桥梁。稍具难度问题和基础知识之间联络都是不显著、间接、复杂。因而，怎样解题，解题速度怎样，取决于能否由观察到特征，灵活利用相关知识，作出对应联想，找到突破口，不停深入。

第8页第9页数学家波利亚在《怎样解题》中说过，数学解题是命题连续变换。可看法题过程是经过问题转化才能完成。转化是解数学题一个十分主要思维方法。那么，怎样转化呢？概括讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成详细问题，把未知问题转化成已知问题。所以，在解数学题时，观察详细特征，联想相关问题之后，就要寻求转化关系。（3）善于进行问题转化第10页有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太轻易入手。这时，不妨简化题中一些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这么简单化了问题，对于解答原题，经常能起到穿针引线作用。第11页2．思维训练：（1）观察能力训练

即使观察看起来是一个表面现象，但它是认识事物内部规律基础。所以，必须重视观察能力训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能依据题目标详细特征，采取特殊方法来解题。

第12页第13页数学中，同一素材题目，经常能够有不一样表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着各种联络方式。所以，恰当结构辅助元素，有利于改变题目标形式，沟通条件与结论（或条件与问题）内在联络，把陌生题转化为熟悉题。

数学解题中，结构辅助元素是各种多样，常见有结构图形（点、线、面、体），结构算法，结构多项式，结构方程（组），结构坐标系，结构数列，结构行列式，结构等价性命题，结构反例，结构数学模型等等。第14页有些数学题，内容抽象，关系复杂，给了解题意增添了困难，经常会因为题目标抽象性和复杂性，使正常思维难以进行到底。对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有利于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对详细依靠，便于深入思索，发觉解题线索。有些包括数量关系题目，用代数方法求解，道路崎岖波折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中相关数量以恰当几何分析，拓宽解题思绪，找出简捷、合理解题路径。

第15页第16页第17页第18页第19页第20页第21页讲评：

我们解题时，常会碰到这么情形：依据命题条件和结论，按常规方法去解题，过程会十分冗繁，有时甚至难以入手。假如能转换一个角度来考虑，则能够把它变更为我们熟悉而又易于解问题。第22页第23页第24页点评：正与反转化有些数学问题，假如直接从正面入手求解难度较大，致使思绪受阻，比如，当我们研究一个运算逆运算时能够转化为它正运算；在处理相关反函数问题时，能够转化为它反函数来求解。所谓“正反转化”还意味着，假如命题结论非此即彼时，转化结论，从而推出矛盾，使问题得以处理。第25页第26页第二讲

数学思维反思性训练

1.

概述

数学思维反思性表现在思维活动中善于提出独立看法，精细地检验思维过程，不盲从、不轻信。在处理问题时能不停地验证所确定假设，取得独特处理问题方法，它和创造性思维亲密相关。经过本讲训练，加强学生思维严密性培养他们创造性思维。

第27页第28页第29页第30页第31页第32页养成验算习惯，能够有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，因为变形后方程或不等式两端代数式定义域可能会发生改变，这么就有可能产生增根或失根，所以必须进行检验，舍弃增根，找回失根。第33页第34页第35页第三讲数学思维严密性训练1．概述在中学数学中，思维严密性表现为思维过程服从于严格逻辑规则，考查问题时严格、准确，进行运算和推理时准确无误。数学是一门含有高度抽象性和精密逻辑性科学，论证严密性是数学根本特点之一。不过，因为认知水平和心里特征等原因影响，中学生思维过程经常出现不严谨现象，主要表现在以下几个方面：（1）

概念含糊概念是数学理论体系中十分主要组成部分。它是组成判断、推理要素。所以必须搞清概念，搞清概念内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就轻易陷入思维混乱，产生错误。（2）

判断错误判断是对思维对象性质、关系、状态、存在等情况有所断定一个思维形式。数学中判断通常称为命题。在数学中，假如概念不清，很轻易造成判断错误。比如，“函数是一个减函数”就是一个错误判断。（3）

推理错误理是利用已知判断推导出新判断思维形式。它是判断和判断联合。任何一个论证都是由推理来实现，推理犯错，说明思维不严谨。第36页第37页第38页第39页第40页第41页第42页注意充分条件、必要条件、充要条件在解题中利用我们知道：假如A成立，那么B成立，即，则A称是B充分条件。假如B成立，那么A成立，即，则称B是A必要条件。假如A、B能够相互推出，则称是充分必要条件。充分条件和必要条件中我们学习中经常碰到。像讨论方程组解，求满足条件点轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中作用不一样，稍用疏忽，就会犯错。第43页第44页·P·C(3,0)yxO图3－2－1MN第45页第46页第47页第48页第49页第50页第51页第四讲数学思维发散性训练1．

概述数学思维发散性指是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从各种角度观察；对一个题目能想出各种不一样解法，即一题多解。“数学是一个有机整体，它各个部分之间存在概念亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联络，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说横向联络，主要是靠一题多解来完成。经过用不一样方法处理同一道数学题，既能够开拓解题思绪，巩固所学知识；又可激发学习数学兴趣和主动性，到达开发潜能，发展智力，提升能力目标。从而培养创新精神和创造能力。