广东省湛江市田家炳实验中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

广东省湛江市田家炳实验中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知两个单位向量，满足，则的夹角为（

）A． B． C． D．参考答案：C∵，∴，∴，∴，∴．2.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B． C． D．

参考答案：A三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，故其体积，故选A.3.已知，且，则tanα=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B【点评】本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．4.若变量满足，则关于的函数图象大致是（

）参考答案：B5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（

）A.4 B.C. D.2参考答案：B分析：仔细观察三视图，发挥空间想象力，可知该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，进而可得结果.详解：由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为，故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则试验结束.（1）求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；（2）记试验次数为，求的分布列及数学期望．参考答案：（1）；（2）的分布列为1234

略7.已知数列的首项为，且满足对任意的，都有，成立，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于()．A．{x|3≤x＜4}

B．{x|x≥3}

C．{x|x＞2}

D．{x|x≥2}参考答案：D略9.设集合U={1，2，3，4}，A=｛1，2｝，B={2，4}，则等于（

）A.{1，4}

B.{1，3，4}

C.{2}

D.{3}参考答案：B10.设函数的零点为，的零点为，若，则可以是A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】D

选项A：x1=1，选项B：x1=0，选项C：x1=或-，

选项D：x1=；∵g（1）=4+2-2＞0，g（0）=1-2＜0，g（）=2+1-2＞0，

g（）=+-2＜0，则x2∈（，），故选D．【思路点拨】首先确定选项A、B、C、D中的零点为x1，从而利用二分法可求得x2∈（，），从而得到答案．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在边长为2的正方形内部任取一点，则满足的概率为_______．参考答案：略12.a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1；②若＝1，则a﹣b＜1；③ea﹣eb＝1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb＝1，则a﹣b＜1．其中真命题的有

．参考答案：①③①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2-b2=（a+b）（a-b）=1，所以a-b＜1，故①正确．②中＝=1,只需a-b=ab即可，取a=2，b=,满足上式但a-b=>1故②错；

③构造函数y=x-ex，x＞0，y′=1-ex＜0，函数单调递减，∵ea-eb=1，∴a＞b，∴a-ea＜b-eb，

∴a-b＜ea-eb=1，故③正确；④若lna-lnb=1，则a=e，b=1，a-b=e-1＞1，故④不正确．故答案为：①③．

13.若loga4b=－1，则a+b的最小值为

。参考答案：114.数列{an}的通项公式，则数列{an}的最小项是第

项.参考答案：六15.已知，设是不等式组表示的平面区域内可行解的个数，则=_______参考答案：略16.设函数对其定义域内的任意实数，则称函数为上凸函数．若函数为上凸函数，则对定义域内任意、、，…，都有（当时等号成立），称此不等式为琴生不等式。现有下列命题：①是上凸函数；②二次函数是上凸函数的充要条件是a>0；③是上凸函数，若是图象上任意两点，点C在线段AB上，且；④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则的最大值是。其中，正确命题的序号是

（写出所有你认为正确命题的序号）．参考答案：①③④17.如图圆的直径,P是AB的延长线上一点,过点P作圆的切线,切点为C,连接AC,若,则

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，E为PB中点．（Ⅰ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若，求点P到平面ACE的距离．

参考答案：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）

略19.某民营企业生产两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元)．

甲

乙（Ⅰ）分别将两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式；（Ⅱ）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元?参考答案：解：（Ⅰ）设投资为x万元,A产品的利润为万元,B产品的利润为万元.由题设由图知=,故=

又

从而.（Ⅱ）设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元.令，则.当.答：当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元,企业最大利润为万元.

20.如图，点C是以A，B为直径的圆O上不与A，B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2．（1）求证：OM⊥BC；（2）当四面体S﹣ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为α，求tanα．参考答案：考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BC⊥平面SAC，BC⊥SA，OM平行于SA，可得OM⊥BC；（2）求出四面体S﹣ABC的体积最大时，，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，则α=∠MAN，即可求tanα．解答： （1）证明：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC又SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又SC∩AC=C，∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA，∵O，M分别为AB，SB的中点，∴OM平行于SA，∴OM⊥BC…（2）解：四面体S﹣ABC的体积，当且仅当时取得最大值…取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，则α=∠MAN，∴…点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查四面体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.如图：⊙O的直径AB的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：O，C，D，F四点共圆；（2）求证：PF?PO=PA?PB．参考答案：证明：（1）连接OC，OE，因为=，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…（2分）又因为∠CDE=∠COE，则∠AOC=∠CDE，所以O，C，D，F四点共圆．…（5分）（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，所以PD?DC=PA?PB，…（7分）因为O，C，D，F四点共圆，所以∠PDF=○POC，又因为∠DPF=∠OPC，则△PDF∽△POC，所以，即PF?PO=PD?DC，则PF?PO=PA?PB．…（10分）考点：相似三角形的判定．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）连接OC，OE，证明∠AOC=∠CDE，可得O，C，D，F四点共圆；（2）利用割线定理，结合△PDF∽△POC，即可证明PF?PO=PA?PB．解答：证明：（1）连接OC，OE，因为=，所以∠AOC=∠AOE=∠COE，…（2分）又因为∠CDE=∠COE，则∠AOC=∠CDE，所以O，C，D，F四点共圆．…（5分）（2）因为PBA和PDC是⊙O的两条割线，所以PD?DC=PA?PB，…（7分）因为O，C，D，F四点共圆，所以∠PDF=○POC，又因为∠DPF=∠OPC，则△PDF∽△POC，所以，即PF?PO=PD?DC，则PF?PO=PA?PB．…（10分）点评：本题考查四点共圆，考查割线定理，三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础22.

已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。(Ⅰ)求曲线C的方程；(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求线段MN长度的最小值。

参考答案：解：（Ⅰ）设，由题意知

，即化简得曲线C方程为：（Ⅱ）思路一