福建省莆田市涵江第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析

福建省莆田市涵江第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点所在的区间为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.在如图所示的框图中，若输出，那么判断框中应填入的关于的判断条件是A．

B． C．

D．参考答案：D当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，；当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，；当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，；当时不满足退出循环的条件，执行循环体后，；当时满足退出循环的条件，故判断框中应填入的关于的判断条件是，故选D.

3.已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A．

Ｂ． Ｃ．

D．

参考答案：A4.已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上?＞0，即可判断出结论．【解答】解：抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上?＞0，即mn＜0，∴“mn＜0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的充要条件．故选：C．5.若，则=（

）A．2 B． C．32 D．参考答案：D略6.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是（）A．12π B．48π C．4π D．32π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为棱锥，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为，即可求出此四面体的外接球的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2，外接球的半径为所以四面体的外接球的体积=4．故选：C．7.（2）若关于x的不等式在R上的解集为，则实数的取值范围是（

）

参考答案：C8.从8名女生4名男生中，选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为

参考答案：C略9.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是的离心率e等于

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知平面向量则向量（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知斜率为的直线与抛物线交于位于轴上方的不同两点，记直线的斜率分别为，则的取值范围是

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．参考答案：12.（坐标系与参数方程选做题）如图，为圆O的直径，为圆O上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，过的切线交过的切线于，交圆O于，若，，则=

.参考答案：13.（5分）已知||=1，||=2，|3+|=4，则||=

．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题；平面向量及应用．分析： 运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．解答： 由||=1，||=2，|3+|=4，则（3+）2=9++6=16，即为9+4+6=16，即有=，则||====．故答案为：．点评： 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．14.已知各项均为正数的等比数列中，则此数列的各项和

．

参考答案：15.数列{an}满足，则an=．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】由题意可知数列{}是以为首项，以5为公差的等差数列，根据等差数列通项公式即可求得=，即可求得an．【解答】解：由﹣=5，=，则数列{}是以为首项，以5为公差的等差数列，∴=+5（n﹣1）=，∴an=，数列{an}的通项公式为：an=，故答案为：．16.函数y=（a≠1）在区间（0，1]是减函数，则a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，0）∪（1，3]【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】先求导数，根据题意便可得到，从而解出a＜0，或a＞1①，还需满足3﹣ax≥0在x∈（0，1]上恒成立，这样便得到在x∈（0，1]上恒成立，从而得出a≤3②，这样由①②便可得出a的取值范围．【解答】解：；原函数在（0，1]上是减函数；∴y′＜0；∴；解得a＜0，或a＞1；且3﹣ax≥0在x∈（0，1]上恒成立；即在x∈（0，1]上恒成立；在（0，1]上的最小值为3；∴a≤3，又a＜0，或a＞1；∴a＜0，或1＜a≤3；∴a的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3]．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，分式不等式的解法，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值．17.已知，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则

=

A

B

C

D

参考答案：A三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线为圆的切线，切点为，直径，连接交于点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求证：． 参考答案：证明：(1)∵直线PA为圆O的切线,切点为A∴∠PAB=∠ACB…………2分∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90°∴∠ACB=90°-B∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………4分又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B∴PA=PD…………………5分(2)连接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO∵∠OAC=∠ACO∴ΔPAD∽ΔOCA………8分∴=

∴PA×AC=AD×OC………10分略19.（本小题12分）设函数（Ⅰ）当时，求的最大值；（Ⅱ）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

参考答案：解:（Ⅰ）依题意，知的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）令=0，解得．（∵）因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。所以的极大值为，此即为最大值

………4分（Ⅱ），，则有≤，在上恒成立，所以≥，

当时，取得最大值，所以≥…

……8分（Ⅲ）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则．令，．因为，，所以（舍去），，当时，，在（0，）上单调递减，当时，，在（，+∞）单调递增当时，=0，取最小值．则既所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得．…12分略20.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数．若，，求a的取值范围．参考答案：（1）或（2）[3,+∞)【分析】（1）根据绝对值定义化简不等式，即得结果，（2）根据绝对值三角不等式解得最小值，再根据绝对值定义化简不等式，即得结果.【详解】解：（1）当时，．不等式即，等价于，解得或．因此的解集为或（2），所以当时，等价于．当时，不符合题意．当时，等价于，解得．综上得，的取值范围为.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法、不等式解集的概念、绝对值的意义等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想．21.（本小题满分12分）已知函数，其中为实数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．参考答案：（1）时，，，，………2分又所以切线方程为………4分（2）1°当时，，则令，，再令，当时，∴在上递减，∴当时，，∴，所以在上递增，，所以……8分2°时，，则由1°知当时，在上递增当时，，所以在上递增，∴∴；由1°及2°得：………12分22.（1）当时，求的单调区间（2）若，的图象与的图象有3个不同的交点，求实数的范围.参考答案：（1）当，函数的单调递增区间，单调递减区间，；当，函数的单调递增区间，单调递减区间，，当，函数在上减函数；（2）试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（3）若可导函数在指定的区间上