《高等应用数学》016-0（曾慧平）课件 06-第六章 微分方程

高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07微分方程第6章6.1微分方程的基本概念6.2一阶微分方程6.3二阶微分方程导学4函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，因此，利用函数关系可以对客观事物的规律进行研究，所以如何寻求函数关系在实践中具有重要意义。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用微分方程的解法。导学学习目标51．理解微分方程的概念，理解微分方程的阶和解的概念，掌握解微分方程的步骤。2．掌握可分离变量的微分方程及其解法，掌握齐次型微分方程及其解法，掌握一阶线性微分方程及其解法。学习目标63．掌握可降阶的二阶微分方程的解法，理解二阶线性微分方程的概念，理解二阶常系数齐次线性微分方程的通解结构定理及其解法，理解二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构定理及其解法。素质目标71．培养与他人合作交流的学习习惯。2．培养数学建模思维，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。定积分概述6.16.1.1微分方程的基本概念9引例设一曲线过点（1,2），且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为2x，求此曲线的方程。解设所求曲线的方程为y=f(x)，由导数的几何意义可知，y=f(x)应满足关系式

(6-1)又因曲线过,点(1,2)，故所求曲线的方程还应满足

(6-2)式（6-1）两边积分，得

(6-3)6.1.1微分方程的基本概念10引例设一曲线过点（1,2），且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为2x，求此曲线的方程。其中C为任意常数将式（6-2）代入式（6-3），得2=1+C，解得C=1将C=1代入式（6-3），得所求曲线的方程为

6.1.1微分方程的基本概念11引例设某一质点的质量为m，在t=0时刻，它在重力作用下做自由落体运动，求其运动方程。解

建立如图所示的坐标系，设质点的运动方程为y=f(t)。由于质点只受重力mg的作用，且重力的方向与运动方向相同，故由牛顿第二定律可知

6.1.1微分方程的基本概念12引例设某一质点的质量为m，在t=0时刻，它在重力作用下做自由落体运动，求其运动方程。即

(6-5)式（6-5）两边积分，得

(6-6)式（6-6）两边积分，得

(6-7)6.1.1微分方程的基本概念13引例设某一质点的质量为m，在t=0时刻，它在重力作用下做自由落体运动，求其运动方程。其中，C1，C2都是任意常数，根据题意可知，y=f(t)还应满足

(6-8)将式（6-8）分别代入式（6-6）和式（6-7），得C1=0，C2=0将C1=0，C2=0代入式（6-7），得所求质点的运动方程为

6.1.1微分方程的基本概念14定义1一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。6.1.2微分方程的阶15定义2微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。一般地，一阶微分方程的形式为

一般地，二阶微分方程的形式为

一般地，n阶微分方程的形式为

6.1.3微分方程的解16若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数，则这样的解称为微分方程的通解。通解中的任意常数，根据某些条件确定后，对应的解称为微分方程的一个特解。用于确定通解中任意常数的条件称为初值条件。求微分方程满足初值条件的特解的问题称为微分方程的初值问题。6.1.3微分方程的解17解决初值问题的步骤大致如下（1）分析问题，建立微分方程，并列出初值条件。（2）求微分方程的通解。（3）利用初值条件，确定通解中的任意常数，从而解出微分方程的特解。6.1.3微分方程的解18例1一曲线上任意一点的切线斜率都等于这个点横坐标的平方，且该曲线通过坐标原点(0,0)，求该曲线的方程。解设所求曲线的方程为y=f(x)，由导数的几何意义可知,y=f(x)应满足关系式

(6-11)又因曲线过点(0，0)，故所求曲线的方程还应满足

(6-12)式（6-11）两边积分，得

(6-13)6.1.3微分方程的解19例1一曲线上任意一点的切线斜率都等于这个点横坐标的平方，且该曲线通过坐标原点(0,0)，求该曲线的方程。其中C为任意常数将式（6-12）代入式（6-13），得0=0+C，解得C=0将C=0代入式（6-13），得所求曲线的方程为

课堂小结20微分方程的定义微分方程的阶微分方程的解一阶微分方程6.26.2.1可分离变量的微分方程22一般地，如果一个一阶微分方程能化成:

的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。6.2.1可分离变量的微分方程23可分离变量的微分方程可采用分离变量法来求解，具体步骤如下：（1）将微分方程分离变量，化成

(6-14)(6-15)其中，G(y)，F(x)分别为G(y)，f(x)的原函数。6.2.1可分离变量的微分方程24

例1解：

所给微分方程是可分离变量的，分离变量后得

上式两边积分

得

从而

6.2.1可分离变量的微分方程25

例2解：

所给微分方程是可分离变量的，分离变量后得上式两边积分

得

从而

，即

(C为为任意常数)6.2.1可分离变量的微分方程26

例3解：

所给微分方程是可分离变量的，分离变量后得

上式两边积分

即

得

6.2.2齐次型微分方程27一般地，如果一个一阶微分方程能化成:的形式，那么就称该微分方程为齐次型微分方程，简称齐次方程。

（6-18）28齐次方程可通过引入新的未知函数，然后化成可分离变量的微分方程进行求解，具体步骤如下：6.2.2齐次型微分方程

y=xu，（2）微分方程（6-19）是可分离变量的，分离变量后得代入微分方程（6-18），得

（6-19）

上式两边积分得

296.2.2齐次型微分方程

例4

y=xu，代入所给微分方程，得

即

分离变量后得

上式两边积分

得

或

306.2.3一阶线性微分方程

（6-20）

当Q(x)=0时，微分方程（6-20）变为

（6-21）是齐次的，称为一阶齐次线性微分方程，简称齐次线性方程。当Q(x)≠0时，微分方程（6-20）是非齐次的，称为一阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性方程。316.2.3一阶线性微分方程1.齐次线性方程的解法齐次线性方程可通过分离变量法来求解，具体如下。齐次线性方程（6-21）是可分离变量的，分离变量后得

上式两边积分

得通解

或

326.2.3一阶线性微分方程

例5解：

所给微分方程为齐次线性方程，分离变量后得

上式两边积分

得通解

即

336.2.3一阶线性微分方程2.非齐次线性方程的解法求非齐次线性方程（6-20）的通解，可采用常数变易法，也就是将上述齐次线性方程通解中的常数C换成x的未知函数C(x)，即作变换

（6-22）于是

（6-23）将式（6-22）、式（6-23）代入式（6-20），得

即

346.2.3一阶线性微分方程2.非齐次线性方程的解法两边积分得

把上式代入式（6-22）得非齐次线性方程（6-20）的通解为

非齐次线性方程的通解等于对应齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和（6-24）356.2.3一阶线性微分方程

例6解：

所给微分方程可化为

（6-25）这是非齐次线性方程。方法1（常数变易法）：

366.2.3一阶线性微分方程

例6上式两边积分

得通解

即

代入微分方程（6-25）得

即

上式两边积分得

376.2.3一阶线性微分方程

例6方法2（公式法）：

代入式（6-24）便得到所给微分方程的通解，即

386.2.3一阶线性微分方程

例7解：

所给微分方程是非齐次线性方程，因为

代入式（6-24）便得到所给微分方程的通解，即

课堂小结39可分离变量的微分方程齐次型微分方程一阶线性微分方程二阶微分方程6.36.3.1可降阶的二阶微分方程411.y″=f(x)型微分方程微分方程y″=f(x)（6-26）的特点是右端仅含有自变量x，其解法是逐次积分两次，具体如下:微分方程（6-26）两边积分得

上式两边再积分，便得到微分方程（6-26）的通解，即

42求微分方程y’’=xcosx的通解例16.3.1可降阶的二阶微分方程解：

所给微分方程两边积分得

上式两边再积分，便得到所给方程的通解，即

6.3.1可降阶的二阶微分方程43

微分方程y″=f(x,𝐲′)（6-27）的特点是右端不显含未知函数y，其解法如下:

对上式两边积分，便得到微分方程（6-27）的通解，即

44求微分方程xy’’-y’=0的通解例26.3.1可降阶的二阶微分方程

即

上式是可分离变量的方程，分离变量后得

上式两边积分，得其通解为

即y’=C1x，该式两边积分，便得到所给徽分方程的通解，即

6.3.1可降阶的二阶微分方程453.y″=f(y,𝐲′)型微分方程微分方程（6-28）的特点是不显含自变量x，其解法如下：

设y’=p，则利用复合函数的求导法则有

于是微分方程（6-28）可化为

上式分离变量并积分，便可得到微分方程（6-28）的通解。46

例36.3.1可降阶的二阶微分方程

在y≠0，p≠0时，约去p并分离变量后，得

上式两边积分，得其通解为P=C1y或

再分离变量并两边积分，便得到所给微分方程的通解，即

或

476.3.2二阶线性微分方程形如（6-29）的二阶微分方程，称为二阶线性微分方程，其中P(x),Q(x)及f(x)都是x的已知函数，f(x)称为自由项

当P(x),Q(x)为常数时，微分方程（6-29）变为

（6-30）称为二阶常系数线性微分方程，当f(x)=0时，微分方程（6-30）变为

称为二阶常系数齐次线性微分方程；当f(x)≠0时，微分方程（6-30）称为二阶常系数非齐次线性微分方程。486.3.2二阶线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法定理1若y1，y2是二阶常系数齐次线性微分方程

（6-31）

由定理1可知，若求微分方程（6-31）的通解，只需要求出其任意两个线性无关的特解y1，y2即可。

496.3.2二阶线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法先分析微分方程（6-31）可能具有什么形式的特解，该方程的特点是y’’,y’,y各乘以常数因子后相加等于0，如果能找到一个函数y，使其与y’’,y’之间只差一个常数因子，那么这样的函数就可能是微分方程（6-31）的特解。

506.3.2二阶线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法

由于特征方程（6-32）是一元二次方程，它的根可用公式

求出。516.3.2二阶线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法具体有以下三种不同情形（1）当p2-4q>0时，r1，r2是两个不相等的实根，即

（2）当p2-4q=0时，r1，r2是两个相等的实根，即

（3）当p2-4q<0时，r1，r2是一对共轭复根，即

526.3.2二阶线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法r1，r2是两个不相等的实根

536.3.2二阶线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法r1，r2是两个相等的实根

所以，微分方程（6-31）的通解为

546.3.2二阶线性微分方程1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法r1，r2是一对共轭复根

556.3.2二阶线性微分方程

例4解:

所给微分方程的特征方程为

解出特征根为

566.3.2二阶线性微分方程

例5解:

所给微分方程的特征方程为

解出特征根为

因此，所求微分方程的通解为

将上式对x求导得

576.3.2二阶线性微分方程

例6解:

所给微分方程的特征方程为

解出特征根为

所以α=3,β=2故所求通解为

586.3.2二阶线性微分方程2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法定理2若y*是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=f（ⅹ）