《高等应用数学》016-0（曾慧平）课件 03-第三章 导数的应用

高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07导数的应用第3章3.1微分中值定理与洛必达法则3.2函数的单调性、极值与最值3.3函数图形的描绘3.4曲率导学4上一章介绍了导数和微分的概念、运算法则等．本章将应用导数来研究函数的性质及其图形的形态．在此之前，要先介绍微分中值定理及洛必达法则，它们是导数应用的理论基础。导学学习目标5理解微分中值定理；掌握使用洛必达法则求极限的方法；理解函数单调性和极值的概念；掌握求函数单调区间和极值的方法；掌握利用导数求解最大值、最小值的应用问题；理解曲线凹凸性和拐点的概念，掌握凹凸区间和拐点的判定方法；理解三类曲线渐近线的概念，会描绘函数图形；理解曲率的概念，熟练掌握曲率的计算公式。素质目标6培养数学素质，提高运算能力和数学建模能力。培养观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力、数学思维能力。养成良好的学习习惯、实事求是的科学态度。微分中值定理与洛必达法则3.13.1.1微分中值定理81.罗尔中值定理如果函数y=f(x)满足下列条件，当那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0。（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)。定理1罗尔中值定理3.1.1微分中值定理92.拉格朗日中值定理

定理2拉格朗日中值定理

3.1.1微分中值定理10推论1如果函数y=f(x)在区间(a,b)内满足f’(x)=0,则在(a,b)内有f(x)=C(C为常数)。推论2如果对(a,b)内的任意x，均有f’(x)=g’(x)，则在(a,b)内有f(x)

=g(x)+C(C为常数)。2.拉格朗日中值定理3.1.1微分中值定理11

例1证：

由推论1可知f(x)=C（C为常数)，即

取x=1，有

因此

3.1.1微分中值定理123.柯西中值定理

定理3柯西中值定理罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理统称为微分中值定理。3.1.2洛必达法则13

定理4洛必达法则洛必达法则

在一定条件下，通过分子、分母分别求导再求极限来计算未定式极限的方法，称为洛必达法则。3.1.2洛必达法则14

例2

例3

3.1.2洛必达法则15

例4

0

例5

0洛必达法则其他类型3.1.2洛必达法则16

例6

例7

0课堂小结17微分中值定理洛必达法则函数的单调性、极值与最值3.2如果函数y=f(x)在[a，b]上单调增加，那么它的切线斜率f’(x)是非负的。3.2.1函数的单调性19函数在区间[a，b]上的单调性和它的导数有密切关系。如果函数y=f(x)在[a，b]上单调减少，那么它的切线斜率f’(x)是非正的。3.2.1函数的单调性20定理1因此，我们有如下定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a,b)内可导，则有(1）如果在(a，b)内f'(x)≥0，且等号仅在有限多个点处成立，则函数f(x)在[a,b]上单调增加；(2）如果在(a，b)内f’(x)≤0，且等号仅在有限多个点处成立，则函数f(x)在[a，b]上单调减少。要确定可导函数的单调区间，首先要求出使f’(x)=0点(驻点)；然后用这些驻点将f(x)定义域分成若干个子区间，最后在每个子区间上用定理1判断函数的单调性。3.2.1函数的单调性21确定函数单调性的一般步骤如下:(1）确定函数f(x)的定义域；(2）求出使函数f’(x)=0和f’(x)不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域划分成若干个子区间。(3）确定f’(x)在各个子区间的符号（正或负），从而确定f(x)的单调性。3.2.1函数的单调性22讨论函数f(x)=3x2-x3的单调性。例1

x(0，2)f’(x)-+-f(x)单调减少单调增加单调减少

3.2.2函数的极值23定义设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对此邻域内任一点x(x≠0,)，均有f(x)<f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值。同样，若对此邻域内任一点x(x≠x0，均有f(x)>f(x0)，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点x0称为极值点。3.2.2函数的极值24定理2由上图可知，可导函数在取得极值处的切线是水平的，即在极值点x0处，必有f’(x0)=0。设f(x)在点x0处具有导数，并且在点x0处取得极值,那么f’(x0)=0。极值存在的必要条件由定理2可知，可导函数f(x)的极值点必是f(x)的驻点，反之，驻点却不一定是f(x)的极值点。对于一个连续函数，它的极值点还可能是使其导数不存在的点，这种点称为尖点。3.2.2函数的极值25定理3连续函数f(x)的极值点只能是其驻点或尖点，极值点可以通过以下定理进行判断求函数f(x)在点x0处连续，且在点x0的某去心邻域内可导。当x由小到大经过点x0时，存在以下三种情况：极值存在的第一充分条件(1）如果f’(x)由正变负，那么点x0是极大值点；(2）如果f’(x)由负变正，那么点x0是极小值点；(3）如果f’(x)不变号，那么点x0不是极值点。3.2.2函数的极值26综上可知，求函数极值的一般步骤如下:确定函数f(x)的定义域求出,f(x)的所有驻点、尖点判断,f(x)所有驻点、尖点两侧一阶导数的符号，确定极值点求出极值点处的函数值，得到极值（1）（2）（3）（4）3.2.2函数的极值27求函数y=1-x2的极值。例2

x0y’+0-y单调增加极大值y|x=0=1单调减少由表可知，函数y=1-x在x=0处取得极大值y=1。3.2.2函数的极值28定理4极值点还可以通过以下定理进行判断设f(x)在点x0处具有二阶导数，且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0，则存在以下两种情况：极值存在的第二充分条件(1）当f’’(x0)<0时，f

(x)在点x0处取得极大值；(2）当f’’(x0)>0时，f

(x)在点x0处取得极小值。3.2.2函数的极值29求函数f(x)=x3-6x2+9x的极值。例3

x1(1,3)3y’+0-0y单调增加极大值f(1)=4单调减少极大值f(3)=0单调增加f(1)=4为函数f(x)的极大值，f(3)=0为函数f(x)的极小值。3.2.2函数的极值30求函数f(x)=x3-6x2+9x的极值。例3

因为f“(0)=-6<0，所以f4)=4为f(x)的极大值;因为f”(3)=6>0,所以，f(3)=0为f(x)的极小值。3.2.3函数的最值31函数f(x)在其定义域上的最大值与最小值统称为函数f(x)的最值。若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则在该区间上一定存在最大值和最小值。一般情况下，将函数所有的极大值、极小值与区间[a，b]的端点函数值f(a)，f(b)相比较，这些值中的最大者就是函数f(x)在[a，b]上的最大值，最小者就是函数f(x)在[a，b]上的最小值。定理13.2.3函数的最值32求函数f(x)=2x3+3x2-12x在区间[-3,4]上的最大值和最小值。例4解：

因为函数f(x)=2x3+3x2-12x在区间[-3,4]上连续，所以在该区间上一定存在最大值和最小值。该函数的导数为f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1),令f’(x)=0，得驻点x1=-2，x2=1。因为f(-2)=20，f(1)=-7，f(-3)=9，f(4)=128，所以，比较各值，可知函数f(x)在区间[-3,4]上的最大值为f(4)=128，最小值为f(1)=-7。课堂小结33函数的和、差、积、商的求导法则反函数的求导法则复合函数的求导法则导数公式函数图形的描绘3.33.3.1曲线的凹凸性35定义1设y=f(x)在区间（a，b）内各点均有切线，如果曲线段总是位于切线的上方，则称该曲线段在(a，b）内是凹的，区间（a，b)称为凹区间；如果曲线段总是位于切线的下方，则称该曲线段在(a，b)内是凸的，区间（a，b)称为凸区间。曲线段AB是凸的，曲线段BC是凹的3.3.1曲线的凹凸性36判别曲线凹凸性的法则：定理1设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b）内具有一阶和二阶导数，那么存在以下两种情况：(1）若在(a,b)内f"(x)>0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是凹的；(2）若在(a，b)内f“(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。定理1中的区间改为无穷区间，结论仍然成立。3.3.1曲线的凹凸性37判别曲线凹凸性的法则：定理1设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b）内具有一阶和二阶导数，那么存在以下两种情况：(1）若在(a,b)内f"(x)>0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是凹的；(2）若在(a，b)内f“(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。定理1中的区间改为无穷区间，结论仍然成立。3.3.1曲线的凹凸性38判定曲线y=lnx的凹凸性。例1

3.3.2曲线的拐点39定义2若连续曲线y=f(x)上的点P是曲线凹凸的分界点，则称点P是曲线y=f(x)的拐点。通过以下步骤来求连续曲线y=f(x)在区间(a,b)的拐点:(1）求f“(x)。(2)求出在(a,b)内使f“(x)=0和f”(x)不存在的点，用这些点将(a，b)分成若干子区间判断每个子区间上f“(x)的符号。(3）若f“(x)在某点xi两侧异号，则点(xi，f(xi))是曲线y=f(x)的拐点。3.3.2曲线的拐点40判定曲线y=x3的凹凸性，并求其拐点。例2

y’’>0，曲线y=x3是凹的。所以，点(0,0)为曲线y=x3的拐点。3.3.3曲线的渐近线41对于一般曲线的渐近线，有如下定义。定义3若曲线C上的动点P沿着曲线无限远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线，如图所示。3.3.3曲线的渐近线42定义4斜渐近线1.斜渐近线若曲线y=f(x)满足下列条件，则曲线y=f(x)有

斜渐近线

y=kx+b。

3.3.3曲线的渐近线43

例3解：

根据定理2有

因此，曲线f(x)的斜渐近线为y=x-2。3.3.3曲线的渐近线44定义4垂直渐近线2.垂直渐近线

3.3.3曲线的渐近线45定义5水平渐近线3.水平渐近线

y=0为曲线y=ex-2的水平渐近线3.3.4函数图形描绘的一般步骤46(1）确定函数f(x)的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等)。(2）求出函数f(x)的一阶导数f“(x)、二阶导数f”(x)，然后求出使f‘(x)，f“(x)等于零或不存在的点，并求出函数f(x)的间断点，用这些点将函数定义域划分为若干个子区间。(3）确定各个子区间内f‘(x)，f“(x）的符号，由此确定函数f(x)的升降、凹凸、极值点及拐点等。3.3.4函数图形描绘的一般步骤47(4）确定函数f(x)的渐近线。(5）算出使f‘(x)，f“(x)等于零或不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点。（6）根据以上信息联结各点画出函数的图形。3.3.4函数图形描绘的一般步骤48

例4解：

3.3.4函数图形描绘的一般步骤49

例4(3）各个子区间内f’(x)，f’’(x)的符号及相应曲线弧的升降、凹凸等如表所示。x36f’(x)_+0___f’’(x)____0+极大值点拐点注：表示曲线弧是下降且凸的，

表示曲线弧是上升且凸的，

表示曲线弧是下降且凹的。3.3.4函数图形描绘的一般步骤50

例4

(5）算出x=3，x=6处的函数值，即

课堂小结51曲线的凹凸性曲线的拐点曲线的渐近线函数图形描绘的一般步骤曲率3.43.4.1曲率的概念与曲率的计算公式531.曲率的概念

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式541.曲率的概念

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式55例1

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式56例1

3.4.1曲率的概念与曲率的计算公式572.曲率的计算公式如图所示，设曲