71个模型 55-58 字母型 一字并肩型 步步高型 其他类 （学生版）

模型55字母型问题【模型分析】【经典例题】例1．（2020·长沙一中金山桥学校九年级月考）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（）．A．米 B．米 C．米 D．米

例2．（2020·全国九年级课时练习）如图，为了测量某条河的宽度，先在河的一岸边任选一点A，又在河的另一岸边取两个点B、C，测得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的长为200米，则河的宽度为_________．（结果保留根号）

例3．（2020·四川凉山彝族自治州·九年级月考）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表：课题测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度测量示意图如图，雕塑的最高点B到地面的高度为，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上．测量数据的度数的度数的长度仪器（）的高31°42°3米1.65米请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分位）．（参考数据：，，，，，）

【巩固提升】1．（2020·全国九年级单元测试）一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8

2．（2017·山西九年级模型练习）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）．A． B．51 C． D．1013．（2020·广西九年级其他模拟）如图，在一笔直的海岸线上有相距的两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是________．

4．（2020·北京市陈经纶中学九年级月考）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是_____米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）5．（2020·兰陵县芦柞镇初级中学八年级期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测到塔尖D的仰角∠DAC=15º，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC=30º，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．

6．（2020·无锡市天一实验学校九年级期中）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1）

模型56一字并肩型问题【模型分析】【经典例题】例1．（2020·浙江温州市·九年级一模）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α，看这栋楼底部C处的俯角度数为β，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度表示为（）A．100(tanα+tanβ)m B．100(sinα+sinβ)m C． D．

例2．（2020·河南南阳市·九年级期中）如图，河宽CD为100米，在C处测得对岸A点在C点南偏西30°方向、对岸B点在C点南偏东45°方向，则A、B两点间的距离是_____米．（结果保留根号）

例3．（2020·四川省成都七中育才学校学道分校九年级期中）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温监测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．名称红外线体温检测仪安装示意图技术参数探测最大角：∠OBC=73.14°探测最小角：∠OAC=30.97°安装要求本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上根据以上内容，解决问题：学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin73.14°≈0.957，cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600）

【巩固提升】1．（2019·山东济宁市·九年级学业考试）如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（）A． B． C． D．

2．（2020·辽宁沈阳市·九年级一模）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里

3．（2020·湖北孝感市·九年级月考）某拦水坝的横截面为梯形，迎水坡的坡角为，且，背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________．

4．（2015·河北九年级其他模拟）如图所示，轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上，轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向上，则灯塔与码头的距离是______海里(结果精确到个位，参考数据：，，)

5．（2019·广西河池市·九年级二模）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．

6．（2020·江苏苏州市·中考真题）问题1：如图①，在四边形中，，是上一点，，．求证：．问题2：如图②，在四边形中，，是上一点，，．求的值．

模型57步步高型问题【经典例题】例1．（2020·江苏徐州市·九年级三模）2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度_____m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

例2．（2020·山西九年级期中）如图，在斜坡的坡顶平台处有一座信号塔，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡底的点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡长，坡度为，点与点在同一水平面上，且，．请解答以下问题：（1）求坡顶到地面的距离；（2）求信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）

【巩固提升】1．（2020·重庆南开中学九年级月考）如图，竖直放置的杆，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得为10米，为8米，斜与地面成30°角，则杆的高度为（）米．A． B． C．8 D．6

2．（2020·山东济宁市·）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．

3．（2020·天津河北区·九年级二模）如图，小明的家在某住宅楼的最顶层，他家对面有一建筑物，他很想知道建筑物的高度，他首先量出到地面的距离为，又测得从处看建筑物底部的俯角为，看建筑物顶部的仰角为且，都与地面垂直，点，，，在同一平面内．（1）求与之间的距离（结果保留根号）；（2）求建筑物的高度（结果精确到）．参考数据：，，，．

4．（2020·海口市第九中学九年级其他模拟）如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，斜坡的坡度为，高为，在斜坡下的点处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点处测得楼顶的仰角为，其中在同一直线上．（1）求的长度；（2）求大楼的高度．（参考数据：，）

5．（2020·陕西师大附中九年级其他模拟）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据：）

6．（2020·西安交通大学附属中学雁塔校区九年级三模）小华和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度PA，检验自己掌握知识和运用知识的能力．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处．此时，量的小华的影长FG＝2m小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测频器CD．测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝5m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG，求旗杆的高度PA（参考数据：sin49°≈0.8，cos49°≈0.7，tan49°≈1.2）．

7．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

模型58其他类型问题【经典例题】例1．（2020·重庆市鲁能巴蜀中学校九年级期中）朝天门，既是重庆城的起源地，也是“未来之城”来福士广场的停泊之地，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑﹣﹣“朝天扬帆”，来福士广场T3N塔楼核芯筒于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线，小明为了测量T3N的高度，他从塔楼底部B出发，沿广场前进185米至点C，继而沿坡度为i＝1：2.4的斜坡向下走65米到达码头D，然后在浮桥上继续前行100米至趸船E，在E处小明操作无人勘测机，当无人勘测机飞行之点E的正上方点F时，测得码头D的俯角为58°．楼顶A的仰角为30°，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内，则T3N塔楼AB的高度约为（）（结果精确到1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，≈1.73）A．319米 B．335米 C．342米 D．356米

例2．（2020·陕西西安市·八年级期末）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，其中，把含角的三角板向右平移，使顶点B落在含角的三角板的斜边上，则的长度为______．

例3．（2020·河南洛阳市·九年级三模）如图，海上观察哨所位于观察哨所正南方向，距离为海里，在某时刻，哨所与哨所同时发现一走私船，其位置位于哨所南偏东的方向上，位于哨所北偏东的方向上，若观察哨所发现走私船从处以海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿南偏东的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在处成功拦截？(结果保留整数)（参考数据：）

【巩固提升】1．（2020·沙坪坝区·重庆八中九年级期中）如图，旗杆竖立在斜坡的顶端，斜坡长为65米，坡度为小明从与点相距115米的点处向上爬12米到达建筑物的顶端点，在此测得放杆顶端点的仰角为39°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：，，）A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1

2．（2020·无锡市·九年级其他模拟）在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（）A． B． C． D．

3．（2020·温州市第二十三中学九年级三模）如图1是一溜娃推车，溜娃时该推车底部支架张开后，其框架投影图如图2所示，两支撑轮是分别以点为圆心，其支架长，竖直支撑柱分米，水平座椅分米，并与靠背成夹角，推手柄分米．当张开角时，三点共线，且则的长度为分米．

4．（2020·天津红桥区·九年级一模）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经)时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间