2016-2017学年人教A版选修4-5比较法学案

课堂探究1．作差比较法证明不等式的一般步骤剖析：(1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差．(2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等．(3)判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断差的正负号．(4)结论：根据差的正负号下结论．知识拓展若差式的符号不能确定，一般是与某些字母的取值有关时，则需对这些字母进行讨论．2．作商比较法中的符号问题的确定剖析：在作商比较法中，eq\f(b,a)＞1b＞a是不正确的，这与a，b的符号有关，比如若a，b＞0，由eq\f(b,a)＞1，可得b＞a，但若a，b＜0，则由eq\f(b,a)＞1得出的反而是b＜a，也就是说，在作商比较法中，要对a，b的符号作出判断．否则，结论可能是错误的．名师点拔使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值，若均为负值时，可先同乘以－1，转化后再进行证明．题型一利用作差比较法证明不等式【例1】已知a≥1，求证：eq\r(a＋1)－eq\r(a)＜eq\r(a)－eq\r(a－1).分析：因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明．证明：∵(eq\r(a＋1)－eq\r(a))－(eq\r(a)－eq\r(a－1))＝eq\f(1,\r(a＋1)＋\r(a))－eq\f(1,\r(a)＋\r(a－1))＝eq\f(\r(a－1)－\r(a＋1),(\r(a＋1)＋\r(a))(\r(a)＋\r(a－1)))＜0，∴eq\r(a＋1)－eq\r(a)＜eq\r(a)－eq\r(a－1).反思根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，都小于0时要改变不等号.题型二利用作商比较法证明不等式【例2】已知a＞0，b＞0，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).分析：因为a，b均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较．证明：∵eq\f(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a)),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(\f(a,\r(b)),\r(a)＋\r(b))＋eq\f(\f(b,\r(a)),\r(a)＋\r(b))＝eq\f(a,\r(ab)＋b)＋eq\f(b,\r(ab)＋a)＝eq\f(a\r(ab)＋a2＋b\r(ab)＋b2,2ab＋(a＋b)\r(ab))＝eq\f(a2＋b2＋(a＋b)\r(ab),2ab＋(a＋b)\r(ab))，又∵a2＋b2≥2ab，∴eq\f(a2＋b2＋(a＋b)\r(ab),2ab＋(a＋b)\r(ab))≥eq\f(2ab＋(a＋b)\r(ab),2ab＋(a＋b)\r(ab))＝1，当且仅当a＝b＞0时取等号．∴eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).反思作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对eq\f(a,b)进行整理，直到能清晰看出eq\f(a,b)与1的大小关系为止．在运算过程中注意运用计算技巧.题型三比较法在综合题目中的应用【例3】已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N＋)．(1)证明数列{an＋1}是等比数列；(2)令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处的导数f′(1)，并比较2f′(1)与23n2－13n分析：在比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化．(1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，①∴n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，②①②两式相减，得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1又a1＝5，故a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)．故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N＋.又∵a1＝5，∴a1＋1≠0，从而eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2，即{an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)可知an＝3×2n－1.∵f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，∴f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1从而f′(1)＝a1＋2a2＋…＋na＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝3[n×2n＋1－(2＋…＋2n)]－eq\f(n(n＋1),2)＝3(n×2n＋1－2n＋1＋2)－eq\f(n(n＋1),2)＝3(n－1)·2n＋1－eq\f(n(n＋1),2)＋6.则2f′(1)－(23n2－13n＝12(n－1)·2n－12(2n2－n－1)＝12(n－1)·2n－12(n－1)(2n＋1)＝12(n－1)[2n－(2n＋1)]．(*)当n＝1时，(*)式＝0，∴2f′(1)＝23n2－13n当n＝2时，(*)式＝－12＜0，∴2f′(1)＜23n2－13n当n≥3时，n－1＞0，又2n＝(1＋1)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)＋Ceq\o\al(n,n)≥2n＋2＞2n＋1，∴(n－1)[2n－(2n＋1)]＞0，即(*)式＞0，从而2f′(1)＞23n2－13n反思此类比较大