2014年上海市闵行区中考数学三模试卷

2014年上海市闵行区中考数学三模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014•闵行区三模）如果实数a、b互为倒数，那么a、b之间的关系是（）A．a+b=1 B．a﹣b=1 C．a•b=1 D．=12．（4分）（2015•杨浦区三模）下列运算正确的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2014•闵行区三模）在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是（）A． B． C． D．4．（4分）（2014•黔南州）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A． B． C． D．5．（4分）（2008•内江）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．双曲线6．（4分）（2014•闵行区三模）如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列结论错误的是（）A．∠BAC=30°B．弧AC等于弧BCC．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2009•绵阳）计算：（2a2）2=．8．（4分）（2014•闵行区三模）不等式组的解集是．9．（4分）（2013•荆州）分解因式：a3﹣ab2=．10．（4分）（2002•上海）方程=x的根是．11．（4分）（2014•闵行区三模）关于x的方程x2﹣2x+k=0没有实数根，那么k的取值范围是．12．（4分）（2014•闵行区三模）将直线y=﹣x沿着y轴向上平移3个单位得到直线l，那么直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长为．13．（4分）（2010•孝感）对红星学校某年级学生的体重（单位：kg精确到1kg）情况进行了抽查，将所得数据处理后分成A，B，C三组（每组含最低值，不含最高值），并制成图表（部分数据未填），在被抽查的学生中偏瘦和偏胖的学生共有人．分组ABC体重30～3535～4040～45人数32结论偏瘦正常偏胖14．（4分）（2014•闵行区三模）如图，已知点P是∠AOB的角平分线上的一点，且PC⊥OA，垂足为C，如果PC=4，那么点P到射线OB的距离是．15．（4分）（2014•闵行区三模）如图，在△ABC中，线段CD、AE分别是边AB、BC上的中线，联结DE，设，，那么向量=（结果用、的式子表示）．16．（4分）（2010•孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（不近似计算）．17．（4分）（2014•闵行区三模）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，那么的值为（用含α的三角比表示）．18．（4分）（2014•闵行区三模）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在y轴的正半轴上，∠OAB=90°，B（﹣5，12），将△ABO绕着点O顺时针旋转90°，使得点A落在点C处，点B落在点D处，联结AD、BD．那么∠ABD的余切值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014•闵行区三模）化简：（x﹣）•（）﹣1，并求当x=时的值．20．（10分）（2014•闵行区三模）解方程组：．21．（10分）（2014•闵行区三模）已知：如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径作圆并交边AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于点F，且CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）联结AF，求弦EF的长．22．（10分）（2014•闵行区三模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间的关系如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？23．（12分）（2014•闵行区三模）已知：如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在边BC上，点F在对角线AC上，且∠DFC=∠AEB．（1）求证：AD•CE=AF•AC；（2）当点E、F分别是边BC、AC的中点时，求证：AB⊥AC．24．（12分）（2014•闵行区三模）已知：如图，在直角坐标平面xOy中，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，四边形OABC是边长为4的正方形，点E为BC的中点，且二次函数y=﹣x2+bx+c经过B、E两点．将正方形OABC翻折，使顶点C落在二次函数图象的对称轴MN上的点G处，折痕EF交y轴于点F．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的解析式；（2）求点G的坐标；（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．25．（14分）（2014•闵行区三模）已知：如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=，D为边AC上的动点（不与A、C重合），过D作DE∥BC，交边AB于点E，过D作DF⊥BC，垂足为F，联结BD，设CD=x．（1）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出这个函数的定义域；（2）如果△BDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，那么当x为何值时，S1=2S2；（3）如果以D为圆心，DC为半径的⊙D与以E为圆心，AE为半径的⊙E相切，求线段DC的长．

2014年上海市闵行区中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2014•闵行区三模）如果实数a、b互为倒数，那么a、b之间的关系是（）A．a+b=1 B．a﹣b=1 C．a•b=1 D．=1【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义可得ab=1．【解答】解：∵a、b互为倒数，∴ab=1，故选：C．【点评】主要考查倒数的概念．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．（4分）（2015•杨浦区三模）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【考点】分数指数幂．【专题】推理填空题．【分析】求出=≠，即不等于3，即可判断A、B；求出==3，即可判断C、D．【解答】解：A、=≠3，故本选项错误；B、=≠±3，故本选项错误；C、==3，故本选项正确；D、=3≠±3，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了对分数指数幂的应用，主要考查了学生的辨析能力和计算能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．3．（4分）（2014•闵行区三模）在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】由在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，∴从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是：=．故选B．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4．（4分）（2014•黔南州）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（）A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．【解答】解：根据题意，得．故选：C．【点评】理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．5．（4分）（2008•内江）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．双曲线【考点】轴对称图形；中心对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．只有第四个是中心对称图形，也是轴对称图形．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．6．（4分）（2014•闵行区三模）如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列结论错误的是（）A．∠BAC=30°B．弧AC等于弧BCC．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析．【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=BA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，A、根据圆周角定理得：∠BAC=∠BOC=∠BAO=×60°=15°，故本选项错误；B、∵OC⊥AB，OC为半径，∴弧AC=弧BC，故本选项正确；C、∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，∴△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故本选项正确；D、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，弧AC=弧BC，再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故本选项正确；题干要求选错的，故选：A．【点评】本题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2009•绵阳）计算：（2a2）2=4a4．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．【解答】解：（2a2）2=22a4=4a4．【点评】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．8．（4分）（2014•闵行区三模）不等式组的解集是1≤x＜3．【考点】不等式的解集．【专题】计算题．【分析】利用不等式组取解集的方法判断即可得到结果．【解答】解：不等式组的解集是1≤x＜3．故答案为：1≤x＜3．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．9．（4分）（2013•荆州）分解因式：a3﹣ab2=a（a+b）（a﹣b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．10．（4分）（2002•上海）方程=x的根是x=1．【考点】无理方程．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【解答】解：把方程两边平方得2x2﹣1=x2，x2﹣1=0，x=±1，代入原方程得：当x=1时，=1，成立；当x=﹣1时，=，无意义．故方程=x的根是1．故本题答案为：x=1．【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，解得答案时一定要注意代入原方程检验．11．（4分）（2014•闵行区三模）关于x的方程x2﹣2x+k=0没有实数根，那么k的取值范围是k＞1．【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4×k＜0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4×k＜0，解得k＞1．故答案为：k＞1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．（4分）（2014•闵行区三模）将直线y=﹣x沿着y轴向上平移3个单位得到直线l，那么直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长为6+3．【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】根据题意求出平移后解析式，进而得出图象与坐标轴交点，再利用勾股定理得出斜边长，进而得出答案．【解答】解：∵直线y=﹣x沿着y轴向上平移3个单位得到直线l，∴平移后解析式为：y=﹣x+3，当x=0，则y=3，当y=0，则x=3，∴直线l与两条坐标轴围成的三角形的周长为：3+3+3=6+3．故答案为：．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换以及一次函数与坐标轴交点求法，得出各边长是解题关键．13．（4分）（2010•孝感）对红星学校某年级学生的体重（单位：kg精确到1kg）情况进行了抽查，将所得数据处理后分成A，B，C三组（每组含最低值，不含最高值），并制成图表（部分数据未填），在被抽查的学生中偏瘦和偏胖的学生共有18人．分组ABC体重30～3535～4040～45人数32结论偏瘦正常偏胖【考点】扇形统计图．【专题】图表型．【分析】首先根据扇形统计图求得B所占的百分比，再进一步根据B有32人求得总人数，然后根据偏瘦和片胖的学生所占的比例，即可求得A和C的人数．【解答】解：总人数是：32÷（1﹣16%﹣20%）=32÷64%=50（人），学生中偏瘦和偏胖的学生数是：50×（16%+20%）=18（人）．【点评】读懂扇形统计图，扇形统计图表示各部分所占的百分比．已知部分求全体用除法，已知全体求部分用乘法．14．（4分）（2014•闵行区三模）如图，已知点P是∠AOB的角平分线上的一点，且PC⊥OA，垂足为C，如果PC=4，那么点P到射线OB的距离是4．【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PC．【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于D，∵点P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA，∴PD=PC=4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．15．（4分）（2014•闵行区三模）如图，在△ABC中，线段CD、AE分别是边AB、BC上的中线，联结DE，设，，那么向量=（结果用、的式子表示）．【考点】*平面向量．【分析】由，，利用三角形法则，即可求得，又由线段CD、AE分别是边AB、BC上的中线，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位线的性质，求得答案．【解答】解：∵，，∴=+=+，∵线段CD、AE分别是边AB、BC上的中线，∴DE∥AC，DE=AC，∴==（+）=+．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．16．（4分）（2010•孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是6海里（不近似计算）．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，运用正弦函数求出SC的长．【解答】解：过S作SC⊥AB于C．∵∠SBC=60°，∠A=30°，∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，即∠BSA=∠A=30°．∴SB=AB=12．Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，∴SC=SB•sin60°=12×=6（海里）．即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是6海里．故答案为：6．【点评】本题主要考查了方向角含义，能够发现△ABS是等腰三角形，并正确的运用三角函数解直角三角形是解决本题的关键．17．（4分）（2014•闵行区三模）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，那么的值为tanα（用含α的三角比表示）．【考点】解直角三角形．【专题】新定义．【分析】在Rt△FNN′F中，根据正弦的定义得sinα=，则NN′=，在Rt△EMM′F中，根据余弦的定义得cosα=，则MM′=，根据题意得EM′=FN′，所以=tanα．【解答】解：∵EM′∥CD，∴∠EM′M=∠DNN′=α，在Rt△FNN′F中，sinα=，∴NN′=，在Rt△EMM′F中，cosα=，∴MM′=，∴=，而EM′=FN′，∴=tanα．故答案为tanα．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．18．（4分）（2014•闵行区三模）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在y轴的正半轴上，∠OAB=90°，B（﹣5，12），将△ABO绕着点O顺时针旋转90°，使得点A落在点C处，点B落在点D处，联结AD、BD．那么∠ABD的余切值为．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】根据旋转的性质写出点D的坐标，设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD的解析式，再设BD与y轴相交于点E，求出点E的坐标，再求出AE，然后根据锐角的余切值等于邻边比对边列式计算即可得解．【解答】解：∵△ABO绕着点O顺时针旋转90°，点B（﹣5，12）落在点D处，∴点D的坐标为（12，5），设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线BD的解析式为y=﹣x+，设BD与y轴相交于点E，则点E的坐标为（0，），∴AE=12﹣=，∴cot∠ABD===．故答案为：．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，锐角三角函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，作出图形并确定出以∠ABD为锐角的直角三角形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）（2014•闵行区三模）化简：（x﹣）•（）﹣1，并求当x=时的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=，当x=时，原式==2+3．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（10分）（2014•闵行区三模）解方程组：．【考点】高次方程．【分析】先把方程（2）分解因式得：（x﹣3y）（x+2y）=0，可得x﹣3y=0或x+2y=0．原方程组转化为（Ⅰ）或（Ⅱ），分别解得两个方程组的解，即可得原方程组的解．【解答】解：由方程（2）得：（x﹣3y）（x+2y）=0，∴x﹣3y=0或x+2y=0．∴原方程组转化为（Ⅰ）或（Ⅱ）解（Ⅰ）得，解（Ⅱ）得．故原方程组的解为：或．【点评】本题主要考查了高次方程．关键是把原方程组转化为（Ⅰ）或（Ⅱ）．21．（10分）（2014•闵行区三模）已知：如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径作圆并交边AC、AB于M、E，CE的延长线交⊙A于点F，且CM=2，AB=4．（1）求⊙A的半径；（2）联结AF，求弦EF的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理．【分析】（1）在RT△ADC中用勾股定理求半径．（2）过A作AH⊥EF，垂足为H，用勾股定理求出CE，再运用△BEC∽△HEA，求出EH再求弦EF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB=4，∴∠ADC=90°，AB=CD=4，∴AC2=AD2+CD2，∵以A为圆心，AD为半径作圆并交边AC于M，∴AD=AM，又∵CM=2，设⊙A的半径为x，∴（2+x）2=x2+42∴x=3，即：⊙A的半径为3；（2）过A作AH⊥EF，垂足为H，∵矩形ABCD，AD=3，∴∠B=90°，AD=BC=AE=3，∴BE=4﹣3=1，CE2=BC2+BE2∴CE=，∵∠B=90°，AH⊥EF，∴∠B=∠AHE=90°，又∵∠BEC=∠FEA，∴△BEC∽△HEA．∴=，∴EH=，∵AH⊥EF，且AH过圆心，∴EF=2EH=．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质及圆的有关知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用相似三角形求线段的长．22．（10分）（2014•闵行区三模）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（米）与挖掘时间x（小时）之间的关系如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求：①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）①设函数解析式为y=kx（k≠0），根据图象经过点（6，60），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；②设函数解析式为y=ax+b（a≠0），根据函数图象经过点（2，30）和点（6，50），利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）根据所挖河渠的长度相等，y值相等列出方程，然后求解即可．【解答】解：（1）①甲队在0≤x≤6的时段内，根据题意，函数y=kx（k≠0）的图象经过点（6，60），∴60=6k，解得，k=10，∴y=10x；②乙队在2≤x≤6的时段内，根据题意，函数y=ax+b（a≠0）的图象经过点（2，30）和点（6，50），∴，解得，∴y=5x+20；（2）根据题意得，10x=5x+20，解方程得，x=4，答：当x为4时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法，需熟练掌握并灵活运用．23．（12分）（2014•闵行区三模）已知：如图，直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，AD∥BC，点E在边BC上，点F在对角线AC上，且∠DFC=∠AEB．（1）求证：AD•CE=AF•AC；（2）当点E、F分别是边BC、AC的中点时，求证：AB⊥AC．【考点】直角梯形；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）求出∠DAC=∠ACB，∠DFA=∠AEC，根据相似三角形的判定定理推出△ADF∽△CAE，得出比例式，代入求出即可；（2）求出AC=2AF，BC=2CE，根据AD•CE=AF•AC得出AD•BC=AC•AC，证△ADC∽△CAB，推出∠ADC=∠CAB即可．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，又∵∠DFC=∠AEB，∴∠DFA=∠AEC，∴△ADF∽△CAE，∴，∴AD•CE=AF•AC．（2）解：∵点E、F分别是边BC、AC的中点，∴AC=2AF，BC=2CE，又∵AD•CE=AF•AC，∴AD•2CE=2AF•AC，即：AD•BC=AC•AC，∴，又∵∠DAC=∠ACB，∴△ADC∽△CAB，∴∠ADC=∠CAB，又∵∠ADC=90°，∴∠CAB=90°，∴AB⊥AC．【点评】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．24．（12分）（2014•闵行区三模）已知：如图，在直角坐标平面xOy中，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，四边形OABC是边长为4的正方形，点E为BC的中点，且二次函数y=﹣x2+bx+c经过B、E两点．将正方形OABC翻折，使顶点C落在二次函数图象的对称轴MN上的点G处，折痕EF交y轴于点F．（1）求二次函数y=﹣x2+bx+c的解析式；（2）求点G的坐标；（3）设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意可知B（4，4）、E（2，4），依据待定系数法即可求得解析式．（2）根据正方形的性质，EB=2，根据MN∥y轴，由（1）得抛物线的对称轴是直线x=3，EM=MB=1，MN⊥EB且MB=NA=1，可求EM=1，而EG=EC=2，在Rt△EGM中，由勾股定理即可求得；（3）分为以下几种情况：PF=FG，PF=PG，PG=FG，分别计算可得，P1（1，4﹣），P2（3，4+）．P3（﹣，1﹣2），P4（，7﹣2）．【解答】解：（1）根据题意可知B（4，4）、E（2，4），由抛物线y=﹣x2+bx+c经过B（4，4）、E（2，4）两点，得，解得，∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2+6x﹣4．（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线x=3．∴EM=MB=1．根据题意，CE=EG=2．在Rt△EGM中，由勾股定理得，．∴点G的坐标为（3，）．（3）P1（1，），P2（3，），P3（，），P4（，）．【点评】主要考查了待定系数法求解析式以及函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．2