2016-2017学年高中数学选修4-1（人教版）练习：第一讲章末评估验收（一） Word版含解析

章末评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．如图所示，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：①eq\f(AE,EC)＝eq\f(BF,FC)；②eq\f(AD,BF)＝eq\f(AB,BC)；③eq\f(EF,AB)＝eq\f(DE,BC)；④eq\f(CE,CF)＝eq\f(EA,BF).其中正确式子的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．答案：B2．已知三角形的三条中位线长是3cm，4cm，5cm，A．6cm2 B．12cm2C．24cm2 D．40cm2解析：由中位线性质得三边长分别为6cm，8cm，10cm，由勾股逆定理知，此三角形为直角三角形，所以S＝eq\f(1,2)×6×8＝24(cm2)．答案：C3．如图所示，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是()A．BC＝2DE B．△ADE∽△ABCC.eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC) D．S△ABC＝3S△ADE解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC＝2DE；因DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，AD∶AB＝AE∶AC，即AD∶AE＝AB∶AC，S△ABC＝4S△ADE，所以选项D错误．故选D.答案：D4．如图所示，△ABC的三边互不相等，P是AB边上的一点，连接PC，下列条件中不能使△ACP∽△ABC成立的是()A．∠1＝∠2 B．AP·BC＝AC·PCC．∠2＝∠ACB D．AC2＝AP·AB解析：因为∠A公共，所以由相似三角形的判定定理知，C，D项一定能使△ACP∽△ABC成立．若△ACP∽△ABC，则eq\f(AP,AC)＝eq\f(PC,BC)，即B成立，所以加一条件B项能使△ACP∽△ABC成立，而A项则不能．答案：A5．如图所示，AB∥GH∥EF∥DC，且BH＝HF＝FC，若MN＝5cm，则BDA．15cm B．20cmC.eq\f(50,3)cm D．不能确定解析：因为AB∥GH∥EF∥DC，且BH＝HF＝FC，所以由平行线等分线段定理得DM＝MN＝NB.因为MN＝5cm所以BD＝3MN＝15(cm)．答案：A6．如图所示，已知AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，CE的延长线交AB于F，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,4)，则eq\f(AF,FB)等于()A.eq\f(1,7)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,10)解析：过D作DG∥CF，如图所示，因为CD＝BD，所以FG＝GB.因为EF∥DG，所以eq\f(AF,FG)＝eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,4).所以eq\f(AF,FB)＝eq\f(AF,2FG)＝eq\f(1,8).答案：B7．两个三角形相似，其对应高的比为2∶3，其中一个三角形的周长是18cm，A．12cm B．C．12cm或27cm D．解析：设另一个三角形的周长为xcm，由相似三角形的周长之比等于相似比，也等于对应高的比．所以eq\f(18,x)＝eq\f(2,3)或eq\f(x,18)＝eq\f(2,3).解得x＝27cm或x＝12答案：C8.如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝eq\f(1,4)CD.有下列结论：①∠BAE＝30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：②③正确，①④不正确．答案：B9．如图所示，在△ABC中，EF∥BC，EF交AB于E，交AC于F，AD⊥BC于D，交EF于M，若BC＝36，AD＝30，MD＝10，则EF的长是()A．12B．30C．24D．18解析：因为EF∥BC，所以eq\f(EF,BC)＝eq\f(AM,AD)＝eq\f(AD－MD,AD).所以eq\f(EF,36)＝eq\f(20,30)，所以EF＝24.答案：C10．如图所示，在△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，CD平分∠ACB，DE∥BC.若AC＝6，AE＝2，则BC的长为()A．10B．12C．14D．8解析：因为DE∥BC，所以∠1＝∠2.又∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，所以DE＝EC＝AC－AE＝6－2＝4，因为DE∥BC，所以eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AC)，所以BC＝eq\f(AC·DE,AE)＝eq\f(6×4,2)＝12.答案：B11.如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AC＝12，BC＝5，则CD的长为()A.eq\f(60,13)B.eq\f(120,13)C.eq\f(50,13)D.eq\f(70,13)解析：AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(122＋52)＝13.因为S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD.所以CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(12×5,13)＝eq\f(60,13).答案：A12.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件，不能推出△ABP与△ECP相似的是()A．∠APB＝∠EPCB．∠APE＝90°C．P是BC的中点D．BP∶BC＝2∶3解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝90°，当A成立时，∠APB＝∠EPC，有△ABP∽△ECP.当∠APE＝90°时，也可证出∠APB＝∠PEC.所以△ABP∽△ECP也成立．当BP∶BC＝2∶3时，可以推出PC∶BP＝1∶2，而EC∶AB＝1∶2，又∠B＝∠C＝90°，所以△ABP∽△ECP.当P是BC的中点时，无法推出△ABP∽△ECP.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的线上)13．若两个相似三角形的周长之比为3∶4，则这两个三角形的内切圆的面积之比为________．解析：两相似三角形的相似比等于周长之比3∶4，而其内切圆的面积之比为相似比的平方，故为9∶16.答案：9∶1614．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E，F为BD的三等分点，则BM＝________，DN＝________．解析：由题意知eq\f(BM,AD)＝eq\f(BE,ED)＝eq\f(1,2)，所以BM＝eq\f(1,2)BC＝12，eq\f(DN,BM)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(1,2)，所以DN＝eq\f(1,2)BM＝6.答案：12615．如图所示，已知直线l1，l2，l3，且l1∥l2∥l3，直线AC与l1，l2，l3分别交于A，B，C，直线FD与l1，l2，l3分别交于F，E，D，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________．解析：由题意知EF∶DE＝AB∶BC＝eq\f(3,2)，所以eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5).又DF＝20，所以DE＝8.答案：816．在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点M在AB上且AM＝3，点N在AC上，连接MN，使△AMN与△ABC相似，则AN＝________.解析：如图①所示，当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，可得eq\f(AM,AB)＝eq\f(AN,AC)，即eq\f(3,9)＝eq\f(AN,6)，故AN＝2.如图②所示，当MN与BC不平行且∠AMN＝∠C时，△AMN∽△ACB.图①图②可得eq\f(AM,AC)＝eq\f(AN,AB)，即eq\f(3,6)＝eq\f(AN,9)，得AN＝eq\f(9,2)，故AN＝2或eq\f(9,2).答案：2或eq\f(9,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是BC的中点，CD⊥AM交AM于D，求证：△AMB∽△BMD.证明：因为∠ACM＝90°，CD⊥MA，所以△CMD∽△AMC.所以eq\f(CM,DM)＝eq\f(MA,CM).因为CM＝BM，所以eq\f(BM,MD)＝eq\f(MA,BM).又因为∠AMB＝∠AMB，所以△AMB∽△BMD.18．(本题满分10分)如图所示，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E.求证：eq\f(BC2,AC2)＝eq\f(BE,EC).证明：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以由射影定理，得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.所以eq\f(BC2,AC2)＝eq\f(BD·AB,AD·AB)＝eq\f(BD,AD).又DE⊥BC，AC⊥BC.所以DE∥AC，所以eq\f(BD,AD)＝eq\f(BE,EC).所以eq\f(BC2,AC2)＝eq\f(BE,EC).19．(本题满分12分)如图所示，已知在△ABC中，AB＝3AC，AD平分∠A，BE⊥AD于E.求证：AD＝DE证明：延长AC交BE的延长线于G.过E作EH∥BC交AG于H，则△ABE≌△AGE.所以EB＝EG，AB＝AG.在△GCB中，因为EH∥BC，EB＝EG，所以CG＝2CH.因为AB＝3AC，AB＝AG所以AG＝3AC.所以CH＝CA在△AEH中，因为DC∥EH，AC＝CH，所以AD＝DE.20．(本题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数．解：(1)当AD在△ABC内部时，如图①所示，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.所以∠BCA＝∠BAD＝65°.图①图②(2)当AD在△ABC外部时，如图②所示，由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，所以∠B＝∠CAD＝25°.所以∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.故∠BCA等于65°或115°.21．(本题满分12分)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.(1)求证：△ADB∽△EAC；(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．(1)证明：因为AB2＝DB·CE，AB＝AC，所以eq\f(AB,CE)＝eq\f(DB,AC).由题可知∠ABC＝∠ACB，所以∠ABD＝∠ACE，所以△ADB∽△EAC.(2)解：△ADB∽△EAC，所以∠DAB＝∠E.因为∠D＝∠D，所以△ADB∽△EDA，所以∠DAE＝∠ABD，因为∠ABC＝eq\f(180°－40°,2)＝70°，所以∠DAE＝∠ABD＝180°－70°＝110°.22．(本题满分14分)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G.(1)求证：eq\f(AF,AD)＝eq\f(CG,CD).(2)FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．(3)当AB＝AC时，△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由．(1)证明：在四边形AFEG中，因为∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，所以四边形AFEG为矩形．所以AF＝EG.根据题意，易证△EGC∽△ADC，所以eq\f(EG,AD)＝eq\f(CG,CD).所以eq\f(AF,AD)＝eq\f(CG,CD).(2)解：FD⊥DG.证明过程如下：因为△ABC为直角三