考研数学二分类模拟题71

考研数学二分类模拟题71一、选择题1.

微分方程y"-y=ex+1的一个特解应具有形式(式中a，b为常数)______.A.aex+bB.axex+bC.aex+bxD.axex+bx参考答（江南博哥）案：B[解]y"-y=0的特征方程为λ2-1=0，特征值为λ1=-1，λ2=1，

y"-y=ex的特解形式为y1=axex，y"-y=1的特解形式为y2=b，

故方程y"-y=ex+1的特解形式为y=axex+b，应选B．

2.

在下列微分方程中以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是______.A.y'''+y"-4y'-4y=0B.y'''+y"+4y'+4y=0C.y'''-y"-4y'+4y=0D.y'''-y"+4y'-4y=0正确答案：D[解]因为通解为y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x，

所以特征值为λ1=1，λ2，3=±2i，

特征方程为(λ-1)(λ-2i)(λ+2i)=0，整理得λ3-λ2+4λ-4=0，

对应为微分方程为y'''-y"+4y'-4y=0，应选D．

二、解答题1.

设函数y=y(x)满足且y(0)=0，求函数y=y(x)．正确答案：[解]由得y=y(x)可导且

即解得

由y(0)=0得故

2.

设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a+b)=eaf(b)+ebf(a)成立，又f'(0)=1，求f(x)．正确答案：[解]取a=0，b=0得f(0)=0.

通解为

由f(0)=0得C=0，故f(x)=xex．

3.

设当u＞0时f(u)一阶连续可导，且f(1)=0，又二元函数z=f(ex-ey)满足求f(u).正确答案：[解]

由

由f(1)=0得C=0，故f(u)=lnu．

4.

求微分方程满足条件y|x=e=2e的特解．正确答案：[解]由

令原方程化为

整理得积分得

将x=e，u=2代入得C=1，所求的特解为y2=2x2lnx+2x2．

5.

微分方程的通解．正确答案：[解]

令原方程化为

变量分离得

积分得ln(lnu-1)-lnx+lnC，

解得lnu-1=Cx，于是u=eCx+1，故通解为y=xeCx+1．

6.

求微分方程的通解．正确答案：[解]通解为

7.

求微分方程xy'+(1-x)y=e2x(x＞0)的满足的特解．正确答案：[解]原方程化为

由得C=-1，故特解为

8.

求微分方程y'+ycosx=(lnx)e-sinx的通解．正确答案：[解]通解为

9.

求微分方程的满足初始条件y(1)=0的特解．正确答案：[解]原方程化为

由y(1)=0得C=1，故y=x2-x(1+lnx)．

10.

求微分方程(1-x2)y"-xy'=0的满足初始条件y(0)=0，y'(0)=1的特解．正确答案：[解]由(1-x2)y"-xy'=0的

由y'(0)=1得C1=1，从而

于是y=arcsinx+C2，再由y(0)=0得C2=0，

故y=arcsinx．

11.

已知微分方程y'+y=f(x)，其中求该微分方程的解y=y(x)满足y(0)=0.正确答案：[解]当0≤x≤1时，y'+y=2的通解为

y=C1e-x+2；

当x＞1时，y'+y=0的通解为

y=C2e-x，

即

由y(0)=0得C1=-2，再由C1e-1+2=C2e-1得C2=2e-2，

故所求的特解为

12.

解方程(3x2+2)y"=6xy'，已知其解与ex-1(x→0)为等价无穷小．正确答案：[解]由

从而y'=C1(3x2+2)，解得y=C1x3+2C1x+C2，

因为C1x3+2C1x+C2～ex-1～x，所以

故所求的解为

13.

求微分方程yy"+(y')2=0的满足初始条件的特解．正确答案：[解]由yy"+(y')2=0得(yy')'=0，从而yy'=C1，

进一步得于是

由得故

14.

设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y'+2y=2ex，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点的切线重合，求函数y=y(x)．正确答案：[解]特征方程为λ2-3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，

y"-3y'+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x．

令特解y0=axex，代入得a=-2，

原方程的通解为y=C1ex+C2e2x-2xex．

曲线y=x2-x+1在(0，1)处的斜率为y'|x=0=-1，

由题意得y(0)=1，y'(0)=-1，从而解得C1=1，C2=0，

故所求的特解为y=ex-2xex．

15.

求微分方程y"-y=4cosx+ex的通解．正确答案：[解]特征方程为λ2-1=0，特征值为λ1=-1，λ2=1，

y"-y=0的通解为y=C1e-x+C2ex，

令y"-y=4cosx的特解为y1=acosx+bsinx，代入得a=-2，b=0；

令y"-y=ex的特解为y3=cxex，代入得

特解为

16.

设连续函数f(x)满足：正确答案：[解]

因为

即f'(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x．

17.

设f(x)二阶可导，且正确答案：[解]

两边求导得

两边再求导得

f'(x)