考研数学二分类模拟题60

考研数学二分类模拟题60解答题设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．1.

证明α，Aα线性无关；正确答案：[证明]若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0（江南博哥），可设k2≠0，所以矛盾，所以α，Aα线性无关．

2.

若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；正确答案：[解]由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，

因为α≠0，所以r(A2+A-6E)＜2，从而|A2+A-6E|=0，即

|3E+A|·|2E-A|0，则|3E+A|=0或|2E-A|=0.

若|3E+A|≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得

(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；

若|2E-A|≠0，则2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得

(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有|3E+A|=0且|2E-A|=0，于是二阶矩阵A有两个特征值-3，2，故A可对角化．

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．3.

求矩阵A的特征值；正确答案：[解]因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，

由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一个特征值为λ1=2；

又由A(α1-α2)=-(α1-α2)，A(α2-α3)=-(α2-α3)，得A的另一个特征值为λ2=-1.因为α1，α2，α3线性无关，所以α1-α2与α2-α3也线性无关，所以λ2=-1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，-1，-1.

4.

判断矩阵A可否对角化．正确答案：[解]因为α1-α2，α2-α3为属于二重特征值-1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．

设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：5.

AB=BA；正确答案：[证明]由AB=A-B得A-B-AB+E=E，(E+A)(E-B)=E，

即E-B与E+A互为逆矩阵，于是(E-B)(E+A)=E=(E+A)(E-B)，

故AB=BA．

6.

存在可逆矩阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角矩阵．正确答案：[证明]因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，

BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，

AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有ABξi=λiBξi，i=1，2，3.

若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi=μiξi；

若Bξi=0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P-1AP，P-1BP同为对角阵．

7.

若A可逆且A～B，证明：A*～B*；正确答案：[证明]因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且|A|=|B|．

因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，

而A*=|A|A-1，B*=|B|-1，

于是由P-1AP=B，得(P-1AP)-1=B-1，即P-1A-1P=B-1，

故P-1|A|A-1P=|A|B-1或P-1A*P=B*，于是A*～B*．

8.

若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．正确答案：[证明]因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P-1AP=B，即AP=PB，

于是AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故AP～BP．

9.

设有三个线性无关的特征向量，求a及An．正确答案：[解]由

因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以A一定可对角化，从而r(E-A)=1，

即a=1，故

由λ=1时，由(E-A)X=0，得

由λ=2时，由(2E-A)X=0，得

令，两边n次幂得

从而

设方程组为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．10.

求A；正确答案：[解]因为方程组有无穷多个解，所以

令

从

11.

求|A*+3E|．正确答案：[解]|A|=2，A*对应的特征值为，即2，-1，-2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以|A*+3E|=10.

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(-1，0，1)T．12.

求A的其他特征值与特征向量；正确答案：[解]因为A的每行元素之和为5，所以有

，即A有特征值λ2=5，对应的特征向量为

又因为AX=0有非零解，所以r(A)＜3，从而A有特征值0，设特征值。对应的特征向量为，根据不同特征值对应的特征向量正交得解得特征值0对应的特征向量为

13.

求A．正确答案：[解]令，得

14.

设，求a，b及正交矩阵P，使得PTAP=B.正确答案：[解]因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即

，解得a=1，b=0，则

因为A～B，所以矩阵A，B的特征值都为λ1=1，λ2=0，λ3=6.

当λ=1时，由(E-A)X=0，得

当λ=0时，由(0E-A)X=0，得

当λ=6时，由(6E-A)X=0，得

令

再令，则有PTAP=B．

15.

设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜72.证明：A，B有公共的特征向量．正确答案：[证明]因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0为A，B公共的特征值，A的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解；

B的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解，

因为，所以方程组有非零解，即A，B有公共的特征向量．

设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若

Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0.16.

证明：α1，α2，…，αn线性无关；正确答案：[证明]令x1α1+x2α2+…+xnαn=0，则

因为an≠0，所以x1=0，反推可得x2=…=xn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关．

17.

求A的特征值与特征向量．正确答案：[解]，令P=(α1，α2，…，αn)，则，则A与B相似，由即A的特征值全为零，又r(A)=n-1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn=0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．

18.

设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为设，求Aβ.正确答案：[解]因为A的每行元素之和为5，所以有，即A有一个特征值为λ1=5，其对应的特征向量为

又AX=0的通解为，则其对应的特征向量为

令x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3=β，解得x1=8，x2=-1，x3=-2，

则

19.

，求a，b及可逆矩阵P，使得P-1AP=B．正确答案：[解]由|λE-B|=0，得λ1=-1，λ2=1，λ3=2因为A～B，所以A的特征值为λ1=-1，L2=1，L3=2.

由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由|A|=b=λ1λ2λ3=-2，得b=-2，即

由(-E-A)X=0，得ξ1=(1，1，0)T；

由(E-A)X=0，得ξ2=(-2，1，1)T；

由(2E-A)X=0，得ξ3=(-2，1，0)T，

令

由(-E-B)X=0，得η1=(-1，0，1)T；

由(E-B)X=0，得η2=(1，0，0)T；

由(2E-B)X=0，得η3=(8，3，4)T，

令

由

令，则P-1AP=B．

20.

设，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．正确答案：[解]，得矩阵A的特征值为λ1=1-a，λ2=a，λ3=1+a．

(1)当1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+n，即a≠0且时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．

λ1=1-a时，由[(1-a)E-A]X=0得；λ2=a时，由(aE-A)X=0得；λ3=1+a时，由[(1+a)E-A]X=0得

(2)当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化．

(3)当时，因为所以方程组的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．

21.

设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．正确答案：[证明]首先ATA为实对称矩阵，r(ATA)=n，对任意的X＞0，

XT(ATA)X=(AX)T(AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以

(AX)T(AX)=αTα=|α|2＞0，即二次型XT(ATA)X是正定二次型，ATA为正定矩阵，所以ATA的特征值全大于零．

22.

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．正确答案：[证明]首先AT=A，因为(PTAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以PTAP为对称矩阵，对任意的X≠0，XT(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令PX=α，因为P可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以αTAα＞0，即XT(PTAP)X＞0，故XT(PTAP)X为正定二次型，于是PTAP为正定矩阵．

23.

设P为可逆矩阵，A=PTP．证明：A是正定矩阵．正确答案：[证明]显然AT=A，对任意的X≠0，XTAX=(PX)T(PX)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是XTAX=(PX)T(PX)=|PX|2＞0，即XTAX为正定二次型，故A为正定矩阵．

24.

设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．正确答案：[证明]因为A，B正定，所以AT=A，BT=B，从而(A+B)T=A+B，即A+B为对称矩阵．对任意的X≠0，XT(A+B)X=XTAX+XTBX，因为A，B为正定矩阵，所以XTAX＞0，XTBX＞0，因此XT(A+B)X＞0，于是A+B为正定矩阵．

25.

三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为，求此二次型．正确答案：[解]因为f=XTAX经过正交变换后的标准形为所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2.由|A|=λ1λ2λ3=-2得A*的特征值为μ1=μ2=-2，μ3=1，从而A*+2E的特征值为0，0，3，即A*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3=-2的特征向量．

令A的属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为，因为A为实对称矩阵，所以有即x1+x3=0故矩阵A的属于λ1=λ3=1的特征向量为

令，由，得

，所求的二次型为

26.

设二次型经过正交变换X=QY化为标准形求参数a，b及正交矩阵Q．正确答案：[解]二次型

的矩阵形式为

f=XTAX

其中，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4.

而|λE-A|=λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)，所以有λ3-(a+4)λ2+(4a-b2+2)λ+(-3a-2b+2b2+2)=(λ-1)2(λ-4)，

解得a=2，b=1.当λ1=λ2=时，由(E-A)X=0得由λ3=4时，由(4E-A)X=0得．显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为

27.

设齐次线性方程组有非零解，且为正定矩阵，求a，并求当时XTAX的最大值．正确答案：[解]因为方程组有非零解，所以，即a=-1或a=0或a=3.因为A是正定矩阵，所以aii＞0(i=1，2，3)，所以a=3.当a=3时，由

得A的特征值为1，4，10.因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得

而当

所以当，XTAX的最大值为20(最大值20可以取到，如

28.

设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．正确答案：[证明]A所对应的二次型为

因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X=QY，使得

对任意的X≠0，因为X=QY，所以Y=QTX≠0，

于是即对任意的X≠0有XTAX＞0，所以XTAX为正