2016-2017学年高二数学人教A版选修2-1（第3.2 立体几何中的向量方法） Word版含解析

绝密★启用前人教版选修2-1课时3.2立体几何中的向量方法一、选择题1．【题文】已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1,0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则()A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直2．【题文】已知直线l1的方向向量为a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是（）A．－3或1B．3或－1C．－3 D．13．【题文】已知，，，分别是平面，的法向量，则平面，的位置关系式（）A．平行B．垂直C．所成的二面角为锐角D．所成的二面角为钝角4．【题文】在空间直角坐标系中，点是在坐标平面内的射影，为坐标原点，则等于（）A．B．C．D．5．【题文】长方体中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.6．【题文】在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离为（） A． B． C． D．7．【题文】如图，在四面体OABC中，G是底面△ABC的重心，则等于（）A.B.C.D.8．【题文】在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值 （） A． B． C． D．二、填空题9．【题文】如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．10．【题文】已知正四棱锥的侧棱与底面所成角为60°，M为PA的中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．11．【题文】如图所示，正方体的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1三、解答题12．【题文】如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上异于A、B的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角的余弦值．13．【题文】如图，直三棱柱中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．(1)求证：A1B∥平面ADC1；(2)若AB＝BB1＝2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．14．【题文】直四棱柱中，底面为菱形，且为延长线上的一点，面.设.(1)求二面角的大小；(2)在上是否存在一点，使面?若存在，求的值；若不存在，说明理由.

人教版选修2-1课时3.2立体几何中的向量方法参考答案与解析一、选择题1．【答案】A【解析】∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0.b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.考点：直线的方向向量.【题型】选择题【难度】较易2．【答案】A【解析】|a|＝，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.考点：直线的方向向量.【题型】选择题【难度】较易3．【答案】B【解析】由，，可得，所以，又，分别是平面，的法向量，所以，故选B.考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.【题型】选择题【难度】较易4．【答案】B【解析】因为点是在坐标平面内的射影，所以，．故选B．考点：空间中两点间的距离．【题型】选择题【难度】较易5．【答案】B【解析】建立坐标系如图所示，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，则＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．cos〈，〉＝＝.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.故选B.考点：异面直线所成角的向量求法.【题型】选择题【难度】较易6．【答案】B【解析】建立如图所示的直角坐标系，设平面的法向量，则，即又，∴平面与平面间的距离，故选B.考点：面与面间的距离的向量求法.【题型】选择题【难度】一般7．【答案】D【解析】由题意知，=，故选D.考点：空间向量的运算.【题型】选择题【难度】一般8．【答案】B【解析】以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，，，则，，则，，∵点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得．∴，，∵平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．，∴与平面ABD所成的角的余弦值为，故选B.考点：线面角的空间向量求法.【题型】选择题【难度】较难二、填空题9．【答案】【解析】以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，则＝(－1,1，－2)，＝(－1,0,0)，cos〈，〉＝＝＝.考点：异面直线夹角的向量求法.【题型】填空题【难度】较易10．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量为＝(1,0,0)，D，P，M，则＝，所以cos〈，〉＝＝，所以DM与平面PAC所成的角为45°.考点：线面角的空间向量求法.【题型】填空题【难度】一般11．【答案】平行【解析】分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．∵A1M＝AN＝a，∴M，N，∴＝.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，∴·＝0，∴⊥.∵是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.考点：向量法求线面关系.【题型】填空题【难度】一般三、解答题12．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.又因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)，故＝(，0,0)，＝(0,1,1)，设平面BCP的法向量为＝(x1，y1，z1)，则所以令y1＝1，则＝(0,1，－1)．＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，设平面ABP的法向量为＝(x2，y2，z2)，则所以令x2＝1，则＝(1，，0)．于是cos〈，〉＝＝.由题意可知二面角的余弦值为.考点：空间二面角的向量求法.【题型】解答题【难度】一般13．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形A1ACC1是矩形．连接A1C交AC1于O，连接，则O是A1C的中点，又D是BC的中点，所以在△A1BC中，OD∥A1B，因为A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.(2)因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC.以D为原点，建立如图所示空间坐标系.由已知AB＝BB1＝2，得D(0,0,0)，A(，0,0)，A1(，0,2)，C1(0，-1,2)，则＝(，0,0)，＝(0，-1，2)，设平面AC1D的法向量为＝(x，y，z)，则即取z＝1，则x＝0，y＝2，∴＝(0,2,1)，又＝(，0,2)，∴cos〈，〉＝＝，设A1D与平面ADC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝，故A1D与