2016-2017学年高二下学期数学期末复习大串讲（新人教版必修5）专题01解三角形 Word版含解析

第一章解三角形【知识网络】【专题总结】专题一：应用正、余弦定理解三角形专题二：判断三角形的形状专题三：解三角形的应用【知识扫描】知识点1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C变形形式(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_CcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解决问题(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角知识点2在△ABC中，已知a，b和∠A时解的情况∠A为锐角∠A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解知识点3三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．知识点4实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角α的范围是0°≤α<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m°坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡比为i，则i＝eq\f(h,l)＝tanα坡比坡面的垂直高度h和水平宽度l的比专题一：应用正、余弦定理解三角形【典例1】在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是()A．b＝20，A＝45°，C＝80°B．a＝30，c＝28，B＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45°D．a＝12，c＝15，A＝120°【答案】【举一反三】1．在△ABC中，C＝60°，AB＝eq\r(3)，BC＝eq\r(2)，那么A等于()A．135° B．105°C．45° D．75°【答案】C【解析】由正弦定理知eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)，即eq\f(\r(2),sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)，所以sinA＝eq\f(\r(2),2)，又由题知，BC<AB，∴A＝45°.2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)且b<c，则b＝()A．3 B．2eq\r(2)C．2 D.eq\r(3)【答案】C【解析】由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b<c，∴b＝2.3．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()A．60° B．90°C．120° D．150°【答案】C【解析】由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°.【解题反思】1．正弦定理的应用技巧(1)求边：利用公式a＝eq\f(bsinA,sinB)，b＝eq\f(asinB,sinA)，c＝eq\f(asinC,sinA)或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝eq\f(asinB,b)，sinB＝eq\f(bsinA,a)，sinC＝eq\f(csinA,a)或其他相应变形公式求解．2．利用余弦定理解三角形的步骤(1)eq\x(\a\al(两边和它,们的夹角))eq\o(→,\s\up7(余弦定理))eq\x(另一边)eq\o(→,\s\up7(正弦定理),\s\do5(或余弦定理推论))eq\x(另两角)(2)eq\x(三角形三边)eq\o(→,\s\up7(余弦定理推论))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(→\x(一角)\o(→,\s\up7(正弦定理))\x(另两角),→\x(三角)))【链接高考】1.(2015·福建高考)若△ABC中，AC＝eq\r(3)，A＝45°，C＝75°，则BC＝________.【答案】eq\r(2)【解析】∠B＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理，得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(\r(3),sin60°)，解得BC＝eq\r(2).2．(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝________.【答案】43.(2016高考新课标3理数)在中，，边上的高等于,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C4.(2016高考新课标2理数)的内角的对边分别为，若，，则．【答案】5.(2016高考上海理数)已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【答案】【解析】由已知，∴，∴，∴.专题二：判断三角形的形状【典例1】设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，且sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解析】由bcosC＋ccosB＝asinA得;sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A，在三角形中sinA≠0，∴sinA＝1，∴A＝90°，由sin2B＝sin2C知b＝c，综上可知△ABC为等腰直角三角形．【举一反三】1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(c,b)<cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】A【解析】由eq\f(c,b)<cosA得eq\f(sinC,sinB)<cosA，所以sinC<sinBcosA，即sin(A＋B)<sinBcosA，所以sinAcosB<0，因为在三角形中sinA>0，所以cosB<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．2．在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2eq\f(A,2)，且sin2B＋sin2C＝sin2A，则△ABC是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】D3.已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．【答案】△ABC为等腰三角形【解析】设方程的两根为x1、x2，由韦达定理知x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB，由题意得bcosA＝acosB，根据余弦定理，得b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac).∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，化简得a＝b，∴△ABC为等腰三角形．【解题反思】判断三角形形状的两种常用途径1．化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．2．化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．【链接高考】1.(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的长．【答案】（1）eq\f(1,2)（2）BD＝eq\r(2)，AC＝1【解析】(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.由正弦定理，得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq\r(2).在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.由(1)知，AB＝2AC，所以AC＝1.2.（2016高考新课标1）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知（I）求C；（II）若的面积为,求的周长．【答案】（I）（II）3.(2016年高考四川理数)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.【解析】（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC．代入+=中，有+=，变形可得;sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)．在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sinC，所以sinAsinB=sinC．专题三：解三角形的应用【典例1】如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔顶A的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500m，求塔高AB．【答案】250eq\r(6)【解析】设AB＝x，∵AB垂直于地面，∴△ABM、△ABN、△ABP均为直角三角形，∴BM＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x，BN＝eq\f(x,tan45°)＝x，BP＝eq\f(x,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)x.在△MNB中，BM2＝MN2＋BN2－2MN·BN·cos∠MNB，∴3x2＝250000＋x2－2×500x·cos∠MNB ①在△PNB中，BP2＝NP2＋BN2－2NP·BN·cos∠PNB，eq\f(1,3)x2＝250000＋x2－2×500x·cos∠PNB②又∵∠MNB与∠PNB互补，∴①＋②得，eq\f(10,3)x2＝500000＋2x2，∴x＝250eq\r(6)或x＝－250eq\r(6)(舍去)．所以塔高为250eq\r(6)m.【举一反三】1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是()A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400\r(3),3)mC．200eq\r(3)m D．200m【答案】A2．如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，在河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A，B间距离为________米．【答案】20eq\r(6)【解析】依题设，∠BCD＝90°，∠BDC＝45°，CD＝40，在Rt△BCD中，BD＝eq\f(CD,cos45°)＝40eq\r(2)米．在△ACD中，∠ADC＝60°＋45°＝105°，所以∠DAC＝180°－(105°＋30°)＝45°，由正弦定理，得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴AD＝eq\f(40·sin30°,sin45°)＝20eq\r(2).在△ABD中，∠ADB＝60°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋DB2－2AD·DB·cos∠ADB＝(20eq\r(2))2＋(40eq\r(2))2－2×20eq\r(2)×40eq\r(2)cos60°＝2400.所以AB＝20eq\r(6)(米)．3．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离A为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10eq\r(3)海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．【答案】北偏东75°.【解析】如图所示，设所需时间为t小时，则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°.整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)，所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10.在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(BC·sin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2).∴∠CAB＝30°.所以舰艇航向为北偏东75°.【解题反思】解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解能求解的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．（3）常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题等．【链接高考】1．(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m【答案】C【解析】如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60eq\r(3)(m)．在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan15°＝60(2－eq\r(3))(m)．所以BC＝CD－BD＝60eq\r(3)－60(2－eq\r(3))＝120(eq\r(3)－1)(m)．2．(2014·全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.【答案】1503.(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.【答案】100eq\r(6)【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在