曲边题型的面积变速直线运动的路程

人教A版选修2—2精讲细练1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程一、知识精讲1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形①定义：曲边梯形—由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如下图)．②求法：分割、近似替代、求和、取极限。3．求作变速直线运动物体的位移(路程)如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似替代、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内的位移s.二、典例细练【题型一】：连续函数的判断例题1：下列函数中,在其定义域内不是连续函数的是(

).(x)=|x|

(x)=sinx(x)=lgx-1

(x)= 【答案】:D【解析】:作出各个函数的图象,可知应选D.【点评】判断一个函数在某个区间上是否为连续函数就是看此函数的图像在该区间上是否间断；若间断，则不为连续函数。【题型二】：求曲边梯形的面积例题1：求直线和曲线所围成的图形（曲边三角形）的面积．【解析】1．分割把区间等分成个小区间，，…，，…，每个区间的长度为.过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，，…，，…，．即．2．近似替代对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即．3．求和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形的面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值，其中]．4、取极限当分割无限变细，即（亦即）时，.的求法包括：方法1、计算机计算（一个大致结果）．方法2、体积构造法:.将单位正方体每条棱等分，得到个长方体，其体积之和即为；当时，该几何体无限逼近四棱锥，又，从而．方法3、公式法:由（公式推导见教材第二章推理与证明P72）有，当时，，从而．【点评】求曲边梯形面积的思想是“以直代曲”，分割的越细，曲边题型的面积越精确。变式训练：求由直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x＋2x＋1围成曲边梯形的面积．【解析】将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]，第i个小区间的面积为ΔSi＝f(eq\f(i,n))·eq\f(1,n)＝[(eq\f(i,n))2＋2(eq\f(i,n))＋1]·eq\f(1,n)，所以Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si＝eq\i\su(i＝1,n,[)(eq\f(i,n))2＋2(eq\f(i,n))＋1]·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n3)(12＋22＋32＋…＋n2)＋eq\f(2,n2)(1＋2＋3＋…＋n)＋1＝eq\f(1,n3)·eq\f(nn＋12n＋1,6)＋eq\f(2,n2)·eq\f(nn＋1,2)＋1＝eq\f(1＋\f(1,n)2＋\f(1,n),6)＋eq\f(1,n)＋2，S＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))Sn＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))[eq\f(1＋\f(1,n)2＋\f(1,n),6)＋eq\f(1,n)＋2]＝eq\f(7,3)，所以所求的曲边梯形的面积为eq\f(7,3).【题型三】：求作变速直线运动物体的路程例题3：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．【解析】(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．把时间[0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为[eq\f(i－1,n)t，eq\f(it,n)](i＝1,2，…，n)，每个小区间所表示的时间段Δt＝eq\f(it,n)－eq\f(i－1,n)t＝eq\f(t,n)，在各个小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在[eq\f(i－1,n)t，eq\f(it,n)]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g·eq\f(i－1,n)t近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝eq\f(t,n)内所经过的距离可近似表示为Δsi≈geq\f(i－1,n)t·eq\f(t,n)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si＝eq\i\su(i＝1,n,g)·(eq\f(i－1,n))t·eq\f(t,n)＝eq\f(gt2,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝eq\f(1,2)gt2(1－eq\f(1,n))．(4)取极限：s＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,2)gt2(1－eq\f(1,n))＝eq\f(1,2)gt2.即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为eq\f(1,2)gt2.【点评】把变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的问题,采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限,求变换直线运动的路程和曲边梯形的面积,虽然它们的意义不同,但都可以归纳为求一个特定形式和的极限,通过这样的背景问题,能更好体会后面所要学习的定积分的概念.变式训练：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？【解析】将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n))).∴Δsi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))·eq\f(1,n).sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))2＋2))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f((i－1)2,n2)＋\f(2(i－1),n)＋3))＝eq\f(1,n)3n＋eq\f(1,n2)[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋eq\f(1,n)[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]＝3＋eq\f((n－1)(2n－1),6n2)＋eq\f(n－1,n).s