江苏省无锡新领航教育咨询有限公司九年级数学《一元二次方程》练习（教师版）人教新课标版

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司九年级数学《一元二次方程》练习（教师版）人教新课标版课前巩固提高1当x取何值时，的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.解：∵∴，∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a≥0）.2已知.分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.解：由二次根式的定义及分式性质，得【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.3化简【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质考点一一元二次方程定义的考查1一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为02若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（）A、1B、2C、1或2D、0答案：B3试说明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；4（2022年重庆江津区七校联考）若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值等于（）A、1B、2C、1或2D、0答案：B考点二利用一元二次方程三种变形巧解等式求值问题5已知，则的值是________。分析：若直接由解得x的值，再代入求值，则过程繁杂，极易出错，而采用整体代换，则过程简洁，妙不可言。解：因为所以原式6已知，则的值是（）A.1989B.1990C.1994D.1995解：由得所以原式应选A。7设，则________。解：由得因为x≠0所以从而原式8（重庆一中初2022级10—11学年度下期3月月考）已知x是一元二次方程的实数根，求代数式：的值．答案：解：原式=∵x2+3x－1=0∴3x2+9x=3∴原式＝9（2022黑龙江省绥化市，21，5分）先化简，再求值：，其中m是方程的根．【解析】解：原式=====∵m是方程的根∴∴原式=【答案】原式=．【点评】本题主要考查了分式的化简求值、一元二次方程解的概念，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入思想．难度中等．10（2022山东淄博4分）已知是方程的一个根，则的值为A． B． C．－1 D．1【答案】D。【考点】方程根的定义，分式化简，代数式代换。【分析】∵，又∵是方程的一个根，∴，即。∴。故选D。考点三一元二次方程的解法技巧11用因式分解法解方程。解：原方程可变形为，即。∴或。∴。评注：因式分解法的理论依据是，当含有未知量的两个代数式，满足时，其中至少有一个因式为0，即或；反之，如果或，那么就有。但应注意，方程两边不能“约”去某一个代数式。12（2022四川南充3分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是 A、2 B、3C、﹣1，2 D、﹣1，3【答案】D。【考点】解一元二次方程。【分析】解出方程，对照所给答案，选出正确的即可：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，∴x+1=0，或x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3。故选D。13(2022四川省南充市，5，3分)方程x(x-2)+x-2=0的解是（）A．２ B．－２,１ C．－１ D．２，－１解析：x(x-2)+x-2=0，化简得，解得.答案：D点评：针对方程特点选用适宜的解法是正确解答一元二次方程的关键。14（2022年海宁市盐官片一模）方程的根是 ．答案：15（北京四中模拟7）用换元法解方程答案x=－9，x=116（2022湖北恩施3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为 A、x1=1，x2=3 B、x1=﹣2，x2=3C、x1=﹣3，x2=﹣1 D、x1=﹣1，x2=﹣2【答案】D。【考点】换元法解一元二次方程。【分析】设y=2x+5，方程可以变为y2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3。当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1。故选D。17（2022湖北黄石8分）解方程：【答案】解：由题意得：由方程（2）得：代人（1）式得：，解得，或。分别代人得得：或∴原方程的解为或。【考点】高次方程，非负数的性质，绝对值，偶次幂。【分析】根据绝对值的性质以及数的偶次方的性质得出和，从而得出关于的一元二次方程，求出，即可得出的值。18（2022四川自贡10分）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。例：解方程解：(1)当即时．，原方程化为，即，解得．∵，故舍去，是原方程的解(2)当即时．，原方程化为，即，解得．∵，故舍去，是原方程的解．综上所述，原方程的解为。19解方程：【答案】解：(1)当即时．，原方程化为，即，解得。∵，故是原方程的解。(2)当即时．，原方程化为，即，解得。∵，故不是原方程的解。综上所述，原方程的解为。【考点】绝对值，解一元二次方程。【分析】把中的绝对值去号求解，分别讨论即可。考点四一元二次方程根的判断15（2022重庆江津4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 A、＜2 B、＞2 C、＜2且≠l D、＜﹣2【答案】C。【考点】一元二次方程定义和根的判别式，解一元一次不等式。【分析】利用一元二次方程一元二次方程定义－1≠0和根的判别式△=4﹣4（﹣1）列不等式，解不等式求出的取值范围：。故选C。16（2022江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是A．方程有两个不相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；D、整理得：，当时，，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确。故选D。17（2022年重庆江津区七校联考）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A. B.C.且 D.且答案：C18(2022浙江杭州模拟)已知关于x的一元二次方程有解，求k的取值范围．【答案】19（2022湖北襄阳，12，3分）如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A．k＜ B．k＜且k≠0 C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0【解析】由题意，得解得－≤k＜且k≠0．【答案】D【点评】解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知()2－4k＞0，三者缺一不可．同时，本题也是一道易错题，部分学生会忽视这一符号条件下的不等关系而错选为B．20（2022辽宁盘锦3分）关于x的方程(k－2)x2－4x＋1＝0有实数根，则k满足的条件是▲．【答案】k≤6。【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式。【分析】由关于x的方程(k－2)x2－4x＋1＝0有实数根，根据一元二次方程根的判别式，得，解得k≤6。21(2022浙江杭州模拟)下列命题：①若b=2a+c,则一元二次方程a+bx+c=O必有一根为-2；②若ac<0,则方程c+bx+a=O有两个不等实数根；③若-4ac=0,则方程c+bx+a=O有两个相等实数根；其中正确的个数是（）A．O个个个D．3个【答案】C22(2022山东德州中考,15,4,)若关于x的方程有实数解，那么实数a的取值范围是_____________．【解析】由题意，△=-=16+16≥0，解得a≥-1【答案】a≥-1【点评】一元二次方程根的情况有３种：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根．23（2022湖北随州，16,4分）设，且，则=________。－32解析：因为，∴，化简得=0。若，即，则，这与已知条件相矛盾，∴。∴=0，即。∴。点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式。解题关键是注意1-ab2≠0的运用．考点五韦达定理24(2022四川省南充市，18，8分)关于x的一元二次方程的两个实数根分别为.（1）求m的取值范围；（2）若，求m的值.解析：（1）因为一元二次方程有两个实数根，所以△≥0，从而解出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系，可以用含有m的代数式所表示出及，代入即可求出m的值。答案：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴，解之，得：.（2）由韦达定理，得：，∴，解之，得：.点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用．需要注意的是当题中没有明确两根是否相等时，应两种可能都要考虑，即△≥0。25（2022新疆乌鲁木齐4分）关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为A． B．0 C．1 D．或1【答案】A。【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义。【分析】把x=0代入方程得：|a|－1=0，∴a=±1。∵a－1≠0，∴a=－1．故选A。26（2022黑龙江省绥化市，5，3分）设，是方程的两个不相等的实数根，的值．【解析】解：因为，是方程的两个不相等的实数根，故由韦达定理得+=-1①，由根的定义得，即②．再由①+②得．【答案】2022．【点评】本题主要考查了一元二次方程的韦达定理、根的定义以及初数中整体思想，解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点及初数中常见思想方法．难度中等27（2022贵州黔东南4分）若、是一元二次方程的两根，则的值为A、2022B、2022C、D、【答案】B。【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式求值。【分析】∵、是一元二次方程的两根，∴＋＝2022。·＝1。∴。故选B。28（2022四川自贡3分）已知是方程的两个实数根，则的值等于A．B．6C．10D．【答案】C。【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。【分析】∵是方程的两个实数根，∴，。∴。故选C。29（2022山东莱芜，7，3分）已知m、n是方程的两根，则代数式的值为A．9B．C．3D．5【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得：，.==【答案】C【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、的化简，难度适中。30（2022山东德州4分）若1，2是方程2+﹣1=0的两个根，则12+22=▲．【答案】3。【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式变换。【分析】先根据根与系数的关系求出1+2和1•2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把1+2和1•2的值整体代入计算即可：∵1，2是方程2+﹣1=0的两个根，∴1+2=，1•2=。∴12+22=（1+2）2﹣21•2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3。31已知关于x的方程的两根为、，且满足.求的值。【答案】解：∵关于的方程有两根∴即：∵∴解得∵∴把代入，得：32（2022，湖北孝感，24，12分）已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．(8分)．【解析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△=b2﹣4ac的值大于0即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是-(m+3)，两根的积是(m+1)，结合即可求出m的值，进而可求得方程的两个根．【答案】解：（1）证明：因为△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4．∵无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0,∴原方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x1，x2是原方程的两根，