数学思维与智慧开发 第二十章 应用与建模

第15章应用与建模第一节数学模型方法概述1、数学模型

模型对我们来说并不陌生，如我们常见的汽车模型、飞机模型等都是模型。

所谓模型就是对研究对象有关性质的模拟物。地球仪和地图是地球表面的模拟物。

对于某个研究对象所建立的相应的模型，必须能反映研究对象的整体结构或某一侧面的本质特征，如地图就反映了地球上各个国家之间位置关系。

模型从大的方面来说可以分为社会科学和自然科学模型两类，其中每一类还可以再细分，例如：经济模型、人口模型、工程模型、医学模型等。

但这种分类意义不大，因为我们学习模型不只是要看懂模型，更重要的是学会构造模型。

因此，只有从规律上分类才能使我们获得构造模型的本领。

按照这个观点，模型大致可以分为3种形式：形象模型、模拟模型和数学模型。

本章只讨论数学模型。

数学模型就是将事物或运动过程，用数学概念、公式以及逻辑关系在数量上加以描述。【例】“1，2，3，…，n，…”是描述离散数量的数学模型；

每一个代数方程或公式都是一个数学模型。如S=πr2是计算圆形物体面积的数学模型。

更为严谨地说，所谓数学模型就是利用数学语言模拟现实的模型，即把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。

数学模型不仅是在理想化的条件下，对现实原型近似的、简化的反映，而且常以抽象的数学关系式来揭示现实原型的各种特性以及它们之间的规律。【例】英国卡迪夫大学心理学教授克里夫•阿诺尔发明了一个幸福感公式：幸福感=户外活动+(亲近自然×社会交往)+夏日童年回忆/温度+对假期的热望。

数学模型有广义和狭义两种解释。

广义的解释是：一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等都可称为数学模型。

数学模型不仅是在理想化的条件下，对现实原型近似的、简化的反映，而且常以抽象的数学关系式来揭示现实原型的各种特性以及它们之间的规律。【例】英国卡迪夫大学心理学教授克里夫•阿诺尔发明了一个幸福感公式：幸福感M=户外活动A+(亲近自然B×社会交往C)+夏日童年回忆D/温度E+对假期的热望F。

数学模型有广义和狭义两种解释。

广义的解释是：一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等都可称为数学模型。

狭义的解释是：只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，才称为数学模型。 数学模型又可以分为概念数学模型、方法数学模型和构型数学模型。

数学模型具有抽象性、演绎性和预测性。2、数学模型方法 所谓“数学模型方法”，是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。【例】我们以数学史上著名的“哥尼斯堡七桥问题”为例，具体看一看什么是数学模型方法。 在东普鲁士的哥尼斯堡城内有一条大河，河中有两个岛屿，全城内七座各具特色的大桥将河的两岸与河中的两个岛屿相连，如下图所示。

每当晚霞时，哥尼斯堡的大学生们都喜欢到桥上去散步，久而久之，他们提出一个问题：能否不重复地一次走完七座桥。但谁都没有成功，后来他们写信向著名的数学家欧拉请教。

据说欧拉用两天的时间解决了这个问题，认为七桥问题无解，这就是著名的七桥问题。 欧拉首先将七桥问题抽象化成一个数学问题，将岛和陆地分别抽象成一个点，将每座桥抽象成一条线，如图下所示 这个图形显然比原来那张由桥、岛、陆地等构成的地图简单得多，但是图形仍然保留了原来的桥与岛、陆地之间的连结关系。 欧拉发现，“能不能从某地出发，不重复地走遍七座桥，最后又回到出发点”和“能不能从右图的某一个顶点出发，把图不重复地一笔画出来，最后又回到出发点”是一回事。

于是能否不重复地一次通过七座桥的问题等价于能否一笔画的问题。因此，右 图就是七桥问题的数学模型方法(MM)。

用现代图论的方法可知，该图不可能一笔画成，从而七桥问题无解。第二节数学模型的建立数学模型问题的广泛性决定了建立数学模型的方法的众多性，其中有纯数学问题，有 纯工程问题，更多的是混合问题。因此任何建立一个数学模型的统一方法，获得一劳永逸的效果的企图都是徒劳的。

这里只能从某种角度介绍一些建立数学模型的途径和框架。 数学模型建立方法，有直接方法、模拟方法、类比方法、数据处理方法和程序设计方法。

⑴直接方法

是通过数学手段直接建立模型的方法。【例】已知某物体在运动过程中，其路程函数S(t)是二次函数，当时间t=0，1，2时，s(t)的值分别是5，13，19，求这个路程函数。【解】因为已知路程函数是时间t的二次函数，所以可以直接运用二次函数模型来解题。设S(t)=at2+bt+c（a≠0）代入已知条件得方程组解得a=-1，b=9，c=5故所求路程函数是

S(t)=-t2+9t+5。

⑵模拟方法 是通过寻找一种数学模型方法，使得实际问题的结构性质与该数学模型完全一致，用该数学模型来替代实际问题求解的方法。【例】一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为65％；如果每间客房定价为120元，住房率为75％；如果每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天收入最高，问每问住房的定价应是多少?【解】首先，弄清实际问题加以化简。经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设： ①设每间客房的最高定价为160元； ②根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长； ③该旅馆每间客房定价相等。 其次，建立数学模型。根据题意，设y表示旅馆一天的总收入，x为与160元相比所降低的房价。由假设②，随着房价的下降，住房率呈线性增长，可得每降低1元房价，住房率增加为 10%÷20=0.005因此，随着降低房价x，实际房价为160-x，而住房率为0.55+0.005x，旅馆150个房间一天的总收入为

y=150(160-x)(0.55+0.005x)由于住房率最高为100%，即有0.55+0.005x≤1可知0≤x≤90于是问题归结为：当0≤x≤90时，求函数

y=150(160-x)(0.55+0.005x)的最大值点。

整理函数为y=0.75(-x2+50x+17600)求导得y'=0.75(-2x+50)即知x=25时y最大，因此，可知最大收入对应的住房定价为160元一25元=135元。此时，相应的住房率为0.55+0.005×25=67.5％最大收入为150×135×67.5％=13668．75(元) 容易验证此收入在已知各种客房定价的对应收入中确实是最大的，这可从下面表中看出。 为了便于管理，定价140元也是可以的，因为这时它与最高收入只差18．75元。 实际上y为二次函数，在[0，90]之内只有一个极值点。由此可见假设①是合理的。

⑶类比方法 类比方法是用一个已知的数学模型B去替代与要建立的模型A’具有类似属性的模型A的方法。【例】法国物理学家德布罗意在大量实验研究的基础上。为了对实物粒子作定量的描述，进行了类比： 光具有粒子性和波动性，并且有方程式E=hT，λ=h/p而实物粒子也具有粒子性和波动性。于是德布罗意猜想并于1924年提出，实物粒子也可具有上述方程式。 在1927年由电子散射实验所证实，光具有粒