第七章 数学物理定解问题

第七章数学物理定解问题数学物理定解问题包含两个方面:1.数学物理方程(又称为泛定方程)物理量在时空中的变化规律,并把它写成数学形式即为数学物理方程.它反映了同一类物理问题的共性.2.定解条件(包括初始条件与边界条件)对具体的实际问题,我们必须考虑体系边界条件的约束与初始状态对具体物理问题演化的影响.它反映了具体物理问题的个性.在求解一具体物理问题时,我们就需要写出研究的物理量满足的数学物理方程与定解条件,即写出了定解问题,接下来就是求解问题.7.1数学物理方程的导出推导数学物理方程的步骤:1.首先要确定研究的物理量u.2.分折体系中任意一小的部分,根据物理规律,研究它与邻近部分的相互作用,(例如在力学中的隔离体法等)抓住主要矛盾,略去次要因素.(在数学上为略去高阶小量)3.然后再把物理量u随时间,空间的变化通过算式表示出来.——即得出数学物理方程.(一)均匀弦的微小横振动

1)确定弦上点的横向位移为研究的物理量u,它是位置x与时间t的函数,故u=u(x,t)2)把弦看一个连续分布的质点系,取其中x→x+Δx一段,用隔离体法.uT2

T1x

XX+ΔX(4)式称为一维波动方程,其它的一些波动方程.2.均匀杆的纵振动,满足的数学物理方程为(4)式.3.二维的簿膜振动,例如我们敲的鼓振动满足二维的波动方程:4.三维的波动方程:utt－a2Δu=0(6)5.真空中电磁波的波动方程:(二)连续性方程

下面我们将考虑物理上守恒量满足的方程.以电荷守恒为例,对空间任一区域单位时间内区域内电荷的减少量等于表面流出的电量：（1）式称为连续性方程,一般对具体的物理过程其守恒量都满足(1),例如对扩散问题而不牵涉到化学反应,质量守恒,对纯热传导热能守恒.当有化学反应与热源时,（1)应用到输运现象时应修正为:

ν为单位体积单位时间内的产生率.

：

(三)输运方程输运现象主要包括：热传导与扩散现象.对热传导与扩散现象由实验得出的唯象理论是相同的,对扩散问题其物质浓度u(x,y,z,t)与扩散的物质流q之间关系为:q=－D▽u(1)（其中D为常数）同样对热传导问题其温度分布u(x,y,z,t)与热流q之间关系为:q=－k▽u(2)（其中k为常数）且在仅是热传导与扩散时,热能与某种物质的质量守恒,把（1）与（2）代入连续性方程可得出输运方程.ut－a2Δu=0（3）

历史上在研究235U的链式反应时,通过对中子浓度u产生率与u成正比.得出中子浓度u满足的方程为:并由此方程求出了铀的临界体积,且与后来的实际结果相符.

(四)Laplace方程对稳定的输运现象,ut=0输运方程就变为：

Δu=0（1）（1）式为Laplace方程.另外对静电场的电势u满足方程为：

Δu=－ρ/ε（2）（2）为泊松方程,在没有电荷处ρ=0,泊松方程就变为Laplace方程.一般也可把Laplace方程看成是齐次的泊松方程.当有源时输运方程可变为：ut

－a2Δu=f(x,y.z.t)（3）

(五)其他的一些数学物理方程1.理想流体的欧拉方程2.kdv方程ut+σuux＋uxxx=0上述两方程都是非线性方程,而本课程主要讲授线性方程的求解.

(六)三类数学物理方程1.波动方程:utt－a2Δu=f(r,t)(1)一维形式utt－a2uxx=f(x,t).其中f(x,t)=F(x,t)/ρ,F(x,t)为单位长度所受外力.2.输运方程:ut－a2Δu=f(r,t)(2)utt－a2uxx=f(x,t)3.泊松方程:

Δu=f(r