第九章第五节常系数线性方程

第九章第五节常系数线性方程第1页，课件共43页，创作于2023年2月二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束第2页，课件共43页，创作于2023年2月2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束第3页，课件共43页，创作于2023年2月3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束第4页，课件共43页，创作于2023年2月小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动目录上页下页返回结束第5页，课件共43页，创作于2023年2月若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:机动目录上页下页返回结束第6页，课件共43页，创作于2023年2月例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束第7页，课件共43页，创作于2023年2月例3.解:位移应满足自由振动方程,质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为机动目录上页下页返回结束第8页，课件共43页，创作于2023年2月方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况(

n=0)机动目录上页下页返回结束第9页，课件共43页，创作于2023年2月解的特征:简谐振动A:振幅,

:初相,周期:固有频率机动目录上页下页返回结束(仅由系统特性确定)第10页，课件共43页，创作于2023年2月方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况大阻尼:n>k临界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征机动目录上页下页返回结束第11页，课件共43页，创作于2023年2月(n<k)小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t的增大物体趋于平衡位置.机动目录上页下页返回结束第12页，课件共43页，创作于2023年2月(n>k)大阻尼解的特征:1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.机动目录上页下页返回结束第13页，课件共43页，创作于2023年2月(n=k)临界阻尼解的特征:任意常数由初始条件定,最多只与t轴交于一点;即随时间t的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;机动目录上页下页返回结束第14页，课件共43页，创作于2023年2月求方程的通解.解:通解为通解为通解为第九节目录上页下页返回结束例5.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例4.第15页，课件共43页，创作于2023年2月例5.为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为机动目录上页下页返回结束第16页，课件共43页，创作于2023年2月线性常系数非齐次微分方程机动目录上页下页返回结束一、二、第17页，课件共43页，创作于2023年2月二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法机动目录上页下页返回结束第18页，课件共43页，创作于2023年2月一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束第19页，课件共43页，创作于2023年2月(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束第20页，课件共43页，创作于2023年2月例6.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束第21页，课件共43页，创作于2023年2月例7.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束第22页，课件共43页，创作于2023年2月例8.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动目录上页下页返回结束第23页，课件共43页，创作于2023年2月于是所求解为解得机动目录上页下页返回结束第24页，课件共43页，创作于2023年2月二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束第25页，课件共43页，创作于2023年2月第一步利用欧拉公式将f(x)变形机动目录上页下页返回结束第26页，课件共43页，创作于2023年2月第二步求如下两方程的特解

是特征方程的k

重根(

k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:机动目录上页下页返回结束第27页，课件共43页，创作于2023年2月第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为m次多项式.机动目录上页下页返回结束第28页，课件共43页，创作于2023年2月第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,机动目录上页下页返回结束第29页，课件共43页，创作于2023年2月小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束第30页，课件共43页，创作于2023年2月例9.

的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束第31页，课件共43页，创作于2023年2月例10.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束第32页，课件共43页，创作于2023年2月例11.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动目录上页下页返回结束第33页，课件共43页，创作于2023年2月例12.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程当p

≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为例3中若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④机动目录上页下页返回结束第34页，课件共43页，创作于2023年2月当干扰力的角频率p

≈固有频率k时,自由振动强迫振动

当

p

=k时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为机动目录上页下页返回结束第35页，课件共43页，创作于2023年2月若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p

=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.机动目录上页下页返回结束第36页，课件共43页，创作于2023年2月内容小结

为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束4.对于一般的f(x)，设解为用常数变易法.第37页，课件共43页，创作于2023年2月例13.

求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为机动目录上页下页返回结束第38页，课件共43页，创作于2023年2月例14.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为机动目录上页下页返回结束第39页，课件共43页，创作于2023年2月机动目录上页下页返回结束欧拉方程常系数线性微分方程第40页，课件共43页，创作于2023