数学物理方法-8

数学物理方法理学院冯国峰数学物理方法1、基本方程的推导及基本概念2、分离变量法3、行波法与积分变换法4、贝塞尔函数5、勒让德多项式6、格林函数法绪论常微分方程只能描述质点唯一随时间的变化而发生改变的规律。含有某未知多元函数的偏导数的方程称为偏微分方程。表示物理量在空间或时间中变化规律的偏微分方程称为数学物理方程。

绪论数学物理方程的基本任务：数学物理方程是以物理学、力学及工程技术中的具体问题为研究对象的，其基本任务有以下两个方面：（1）建立描绘某类物理现象的数学模型，并提供这些问题的求解方法；（2）通过理论分析，研究客观问题变化发展的一般规律。绪论数学物理方程的定解问题：泛定方程：表达某类物理现象共同规律的数学表达式——偏微分方程。定解条件：伴随一个完整的物理过程发生的具体条件，一般包括初始条件与边界条件。泛定方程+定解条件=数学物理方程的定解问题绪论数学物理方程的显著特点：（1）它广泛地运用数学诸多领域的成果。自然现象是复杂的、多样的，数学物理方程中所研究的问题也是复杂的、多样的，所以要应用不同的数学工具来解决性质不同的问题。（2）数学物理方程源于工程实际问题，自然现象本身所蕴含的内在规律，对人们寻求解决问题的思路有着重要的启迪。数学物理方程中的许多重要求解方法，都可以在自然现象中找到它们的来源。第1章典型方程的推导及基本概念数学物理方程中的三个典型方程：弦振动方程双曲型方程热传导方程抛物型方程拉普拉斯方程椭圆型方程第1章典型方程的推导及基本概念（1）弦的微小横振动方程

[问题]设有一根理想化的细弦，其横截面的直径与弦的长度相比非常小，设其线密度为，长度为，平衡时沿直线拉紧，除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外，不受外力的影响。研究弦作微小横向振动的规律。第1章典型方程的推导及基本概念模型的分析：弦是一个力学系统，是一个质点组（是连续的而非离散的质点组，进一步说它是一个一维的连续系统），所以它的运动应符合牛顿运动定律，对它的简化假设如下：设弦在未受扰动时平衡位置是x轴，两端分别固定在及处，而其上各点均以该点的横坐标表示。第1章典型方程的推导及基本概念模型的简化：（1）弦是横向振动的，在时刻t，弦的形状是曲线。（2）弦的振动是微小振动。即，从而可以忽略不计。（3）弦是“柔软”的，整个弦总是可以任意变形，并无内力抵抗。第1章典型方程的推导及基本概念受力分析：水平方向（x轴）：竖直方向（u轴）：第1章典型方程的推导及基本概念应用模型假设得到的结论：应用牛顿（Newton）第二定律，得到：第1章典型方程的推导及基本概念最后的结论：进一步假设：令自由横振动方程：

第1章典型方程的推导及基本概念若在振动过程中，还有弦上还受到一个与振动方向平行的外力，其方向垂直于x轴，设在t时刻，弦的外力密度为，强迫横振动方程：第1章典型方程的推导及基本概念一维：二维：三维：自由振动强迫振动第1章典型方程的推导及基本概念（二）在固体中的热传导方程如果空间某物体G内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高的点向温度较低的点流动，这种现象就叫做热传导。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置的不同而变化，因此解决热传导问题的实质是求物体内部温度的分布。我们用表示物体G内一点在t时刻的温度，来研究在热传导过程中，温度函数所满足的偏微分方程。第1章典型方程的推导及基本概念取包含点的一个小区域，讨论这个小区域内的热平衡，然后在设法过渡到点。设这个小区域的表面为闭曲面，体积为V。设物体G的密度为比热容为，则温度变化为第1章典型方程的推导及基本概念所需热量为傅里叶（Fourier）实验定律：称为物体在点的导热系数。第1章典型方程的推导及基本概念通过小区域表面流入小区域的热量为利用高斯（Gauss）公式化为三重积分，第1章典型方程的推导及基本概念如果所考虑的物体内部没有热源，由热量守恒可得：非均匀的各向同性体的热传导方程：第1章典型方程的推导及基本概念若物体是均匀的，即为常数，则或这里称为拉普拉斯算子。此方程称为热传导方程（扩散方程）。第1章典型方程的推导及基本概念

如果在物体内部还有热源，则需要一个物体内部的热源函数来标志其强度。用函数表示热源的密度（单位时间单位体积中所产生的热量），第1章典型方程的推导及基本概念（三）拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程三维拉普拉斯方程或调和方程：三维泊松（Poisson）方程：第1章典型方程的推导及