北京南召中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析

北京南召中学2022年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a=log23，b=，c=log53，则（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c参考答案：A【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：a=log23=，c=log53==＜=a，另一方面：a=＜=，b=，∴c＜a＜b．故选：A．2.，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为

参考答案：B略3.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意∈[a，b]，都有成立，则称和在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若与在[a，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是A、[0，2]

B、[0，1]

C、[1，2]

D、[-1，0]参考答案：B略4.已知数列的各项均为正数，其前项和为，若是公差为-1的等差数列，且则等于A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.已知全集{1，2，3，4，5，6}，{2，3，5}，{4，5}，则集合{1，6}=（

）

A．∪

B．∩

C．∪

D．∩参考答案：C∪={2，3，4，5}，所以{1，6}=∪，选择C。6.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：D，所以对称轴为，当时，，所以要使互不相等的实数满足，则有，不妨设，则有，，，所以，即，所以的取值范围是，选D,如图。7.已知命题p：“若直线ax+y+1=0与直线ax－y+2=0垂直，则a=1”；命题q：“”是“”的充要条件，则（A）p真，q假

（B）“”真

（C）“”真

（D）“”假参考答案：D略8.函数的图像如图所示，则它的解析式是（

）A.B.C.D.参考答案：C9.某程序的框图如图所示,执行该程序，若输入的为，则输出

的的值分别为

A.

B.C.

D.参考答案：B第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，不满足条件，输出，选B.10.已知直线平面，直线平面，下面四个结论：①若，则；②若，则；③若则；④若，则，其中正确的是（）A．①②④ B．③④ C．②③ D．①④参考答案：：D．解：由直线平面，直线平面，知：在①中，若，则由线面垂直的性质定理得，故①正确；在②中，若，则与平行或异面，故②错误；在③中，若，则与不一定垂直，故③错误；在④中，若，则由线面平行的判定定理得，故④正确．故选：D．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．参考答案：(数形结合法)曲线|y|＝2x＋1即为y＝2x＋1或y＝－(2x＋1)，作出曲线的图象(如图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，须。本题采用数形结合法，准确画出函数|y|＝2x＋1的图象，由图象观察即得b的取值范围．12.已知x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是

．参考答案：考点：函数的零点与方程根的关系．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由f（x）=0得=2a，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到a的取值范围．解答： 解：由得=2a，①若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知＜a≤，②若x＜0，设g（x）=，则当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此时g（x）=﹣，此时g（x）≥1，当﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜2，当﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，当﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此时g（x）=﹣，此时1≤g（x）＜，作出函数g（x）的图象，要使有且仅有三个零点，即函数g（x）=2a有且仅有三个零点，则由图象可知≤a＜，综上：＜a≤或≤a＜，故答案为：．点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．13.已知，则

．参考答案：14.小明在学校组织了一次访谈，全体受访者中，有6人是学生，4人是初中生，2人是教师；5人

是乒乓球爱好者，2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知，此次访谈中受访者最少有_____人；最多

有______人.参考答案：

考点：逻辑推理.15.若双曲线的一条渐近线经过点(3,－4)，则此双曲线的离心率为__________．参考答案：双曲线的渐近线方程为，由渐近线过点，可得，即，，可得，故答案为.16.设公比不为1的等比数列满足，且成等差数列，则.

参考答案：1；17.设函数的定义域为，若存在非零实数t使得对于任意，有，且，则称为上的t高调函数，如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的8高调函数，那么实数的取值范围是____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，已知3是﹣a2与a9的等比中项，S10=﹣20．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn（n≥6）．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等比数列的通项公式与性质、等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）分类讨论，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵3是﹣a2与a9的等比中项，∴=﹣a2?a9，又S10=﹣20．∴﹣（a1+d）（a1+8d）=45，10a1+d=﹣20，联立解得a1=﹣11，d=2．∴an=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13．（2）1≤n≤5时，bn===﹣．n≥6，bn===，∴n≥6时，数列{bn}的前n项和Tn=﹣+=﹣．19.（12分）已知点A、B分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，且椭圆C过点P（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，过P点能否引圆M的切线？若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形面积；若不能，说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题设知a2=b2+16，+=1，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）由A（﹣6，0），F（4，0），（，），则得=（，），=（﹣，），所以=0，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．【解答】解：（1）由题意a2=b2+16，+=1，解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36，所以，所求椭圆C的标准方程为=1．（2）由（1）知A（﹣6，0），F（4，0），又（，），则得=（，），=（﹣，）．所以=0，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，而kPM=，所以PQ的斜率为﹣，因此，过P点引圆M的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣），即x+y﹣9=0．令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0），所以S扇形MPF==，因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=．【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20.已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2．（1）解不等式f（x）≥0；（2）若存在实数x，使得f（x）﹣a≤|x|，求实数a的最小值．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）不等式可化为|x+|﹣|x|≤1+，求出左边的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）x≤﹣时，﹣1﹣2x+x≥2，∴x≤﹣3；﹣时，2x+1+x≥2，∴x，不符合；x≥0时，x+1≥2，∴x≥1，综上所述，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（2）不等式可化为|x+|﹣|x|≤1+，∵||x+|﹣|x||≤|x+﹣x|=∴1+≥﹣，∴a≥﹣3，∴a的最小值为﹣3．21.已知矩阵，，计算．参考答案：试题分析：利用矩阵特征值及其对应特征向量性质：进行化简.先根据矩阵M的特征多项式求出其特征值，进而求出对应的特征向量，.再将分解成特征向量，即，最后利用性质求结果，即22.一班现有9名学生去学校组织的高中数学竞赛选拔考试，该活动有A，B，C是哪个等级，分别对应5分，4分，3分，恰有3名学生进入三个级别，从中任意抽取n名学生（每个人被抽到的可能性是相同的，1≤n≤9），再将抽取的学生的成绩求和．（1）当n=3时，记事件A={抽取的3人中恰有2人级别相等}，求P（A）．（2）当n=2时，若用ξ表示n个人的成绩和，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变