2022-2023学年上学期甘肃省八年级数学期末试题选编第13章 轴对称 同步练习（3份打包 含解析）

第第页2022-2023学年上学期甘肃省八年级数学期末试题选编第13章轴对称同步练习（3份打包含解析）13.1轴对称

一、单选题

1．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）下列图形是轴对称图形的有（）

A．个B．个C．个D．个

2．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

3．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

4．（2022秋·甘肃张掖·八年级期末）点P（3，－5）关于y轴对称的点的坐标为（）

A．（3，5）B．（－3，5）C．（－3，－5）D．（－5，3）

5．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，ED交BF于点G．若∠BGE＝130°，则∠EFC的度数是（）

A．110°B．115°C．120°D．125°

6．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，中，的垂直平分线交于，如果，那么的周长是（）

A．6B．7C．8D．9

7．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是20，12，则为（）

A．4B．6C．8D．10

8．（2022秋·甘肃平凉·八年级期末）如图，在△ABC中，CA的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，连接EF，则下列结论中，不正确的是（）

A．∠AEF=∠AFEB．EFBCC．AD垂直平分EFD．S△BDF：S△CED=BF：CE

9．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，△ABD的周长是13，则BC的长为（）

A．8B．10C．11D．12

10．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（）

A．10.5B．12C．15D．18

11．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，DE是AC的垂直平分线，CE=5，△BDC的周长为15，则△ABC的周长是（）

A．15B．20C．25D．30

12．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）到三角形三个顶点距离相等的点是()的交点．

A．三角形三边垂直平分线的交点B．三角形三条高的交点

C．三角形三条中线的交点D．三角形三条角平分线的交点

13．（2022春·甘肃兰州·八年级期末）《中共上都国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（）

A．三条边的垂直平分线的交点处B．三个角的平分线的交点处

C．三角形三条高线的交点处D．三角形三条中线的交点处

14．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（）

A．B．

C．D．

二、填空题

15．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=75°，AC=6，DE垂直平分BC，则BE=．

三、解答题

16．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE是∠ABC的平分线，ED是AB边的垂直平分线．求∠A的度数．

17．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．

18．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：

（1）FC＝AD；

（2）AB＝BC+AD．

19．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：（1）∠ECD=∠EDC；

（2）OC=OD；

（3）OE是线段CD的垂直平分线．

20．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，校园有两条路、，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点．（请保留作图痕迹）

21．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．

（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．

22．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在中，，D是延长线上一点，点E是的中点．

(1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标注相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作的平分线；

②连接，并延长交于点G；

③过点A作的垂线，垂足为F．

(2)猜想与证明：猜想与有怎样的位置关系与数量关系，并说明理由．

23．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明．

参考答案：

1．C

【分析】根据轴对称图形的定义逐个判断即可求解．

【详解】解：图1有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图2不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；

图3有两条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图4有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图5有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．

故轴对称图形有个．

故选：C

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，轴对称图形定义是如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．熟知轴对称图形的定义是解题关键．

2．B

【分析】根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形判断即可；

【详解】A、是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不合题意．

故选B．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义准确分析判断是解题的关键．

3．A

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，判断即可．

【详解】解：选项A的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

选项B、C、D的美术字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

故选：A．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

4．C

【分析】根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答．

【详解】解：点P(3，－5)关于轴对称的点的坐标为(－3，－5)．

故选：C

【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

5．B

【分析】根据平行线的性质得到∠D′EG＝∠BGE＝130°，再根据折叠的性质得到∠GEF＝∠D′EF＝65°，最后根据平行线的性质得到∠EFC＝115°．

【详解】解：如图，∵AE∥BF，

∴∠D′EG＝∠BGE＝130°，

由折叠的性质得到∠GEF＝∠D′EF＝65°，

∵DE∥CF，

∴∠EFC+∠GEF＝180°，

∴∠EFC＝180°﹣65°＝115°．

故选：B

【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟知平行线的性质与折叠的性质是解题关键．

6．D

【分析】由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，即可求得的周长．

【详解】解：是的垂直平分线，

，

，

的周长是：．

故选D．

【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

7．C

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，从而得到AC=BE+CE，再由与的周长分别是20，12，可得AB+BC+AC=20，AC+BC=12，即可求解．

【详解】解：∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴AC=AE+CE=BE+CE，

∵与的周长分别是20，12，

∴AB+BC+AC=20，BE+CE+BC=12，

∴AC+BC=12，

∴AB=8．

故选：C

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．

8．B

【分析】先根据角平分线的性质得到DE=DF，则可判断Rt△ADE≌Rt△ADF，所以AE=AF，于是可对A选项进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对C选项进行判断；根据等腰三角形的性质，利用DA平分∠BAC，只有当AB=AC时，AD⊥BC，才能判断EF∥BC，则可对B选项进行判断；根据三角形面积公式可对D选项进行判断．

【详解】解：∵DA平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE=AF，

∴∠AEF=∠AFE，所以A选项的结论正确；

∵AE=AF，DE=DF，

∴AD垂直平分EF，所以C选项的结论正确；

即AD⊥EF，

∵DA平分∠BAC，

∴只有当AB=AC时，AD⊥BC，此时EF∥BC，所以B选项的结论错误；

∵DE=DF，

∴，

所以D选项的结论正确．

故选B．

【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的判定、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．

9．A

【分析】先证明再证明结合从而可得答案.

【详解】解：DE是AC的垂直平分线，

△ABD的周长是13，

AB＝5，

故选A

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解本题的关键.

10．C

【分析】由垂直平分线的性质可得DC=BD，再计算△ACD周长即可．

【详解】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，

∴BD=DC

∴AB=AD+BD=AD+DC=9

∵AC=6

∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15

故选：C

【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

11．C

【分析】由DE是AC的垂直平分线，可得：，，再利用线段的和差与三角形的周长公式可得答案．

【详解】解：DE是AC的垂直平分线，

故选：

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的定义与性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．

12．A

【分析】根据“线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”即可判断．

【详解】解：∵到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，

∴到三角形三个顶点的距离相等的点在三条边的垂直平分线上，

即到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，

故选：A．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线判定的应用，解题的关键是线段的垂直平分线的判定定理．

13．A

【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．

【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，

充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，

故选：A．

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

14．D

【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案．

【详解】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意；

B．由此作图可知BA=BP，不符合题意；

C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；

D．由此作图可知PA=PC，符合题意.

故选D．

【点睛】本题考查了基本作图的方法.熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键.

15．12

【分析】根据三角形的内角和求出∠B=15°，再根据垂直平分线的性质求出BE=EC，∠1=∠B=15°，然后解直角三角形计算．

【详解】如图：

∵△ABC中，∠A=90°，∠C=75°，

∴∠B=15°，

连接EC，

∵DE垂直平分BC，

∴BE=EC，∠1=∠B=15°，

∴∠2=∠ACB-∠1=75°-15°=60°，

在Rt△ACE中，∠2=60°，∠A=90°，

∴∠3=180°-∠2-∠A=180°-60°-90°=30°，

故EC=2AC=2×6=12，

即BE=12．

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形.

16．30°

【分析】根据垂直平分线的性质，得到BE=AE，进而得到∠EBD=∠EAB，设∠A=x，根据直角三角形中两个锐角互余可得关于x的方程，解方程即可得问题答案．

【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠CBE=∠DBE，

∵ED是AB边的垂直平分线，

∴BE=AE，

∴∠EBD=∠A，

设∠A=x，

则∠CBE=∠EBD=∠A=x，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠CBA=90°，

即3x=90°，

解得x=30°，

∴∠A=30°．

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是求出∠CBE=∠EBD=∠A．

17．见解析

【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．

【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，

∴∠BCE=∠EBC，

∴BE=CE，

∴点E在BC的垂直平分线上．

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．

18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；

（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．

【详解】（1），

，

点E是CD的中点，

，

在和中，，

，

；

（2）由（1）已证：，

，

又，

是线段AF的垂直平分线，

，

由（1）可知，，

．

【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．

19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）根据角平分线性质可证ED=EC，从而可知△CDE为等腰三角形，可证∠ECD=∠EDC；

（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可证△OED≌△OEC，可得OC=OD；

（3）根据ED=EC，OC=OD，可证OE是线段CD的垂直平分线．

【详解】证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，

∴∠ECD=∠EDC；

（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，

∴△OED≌△OEC（AAS），

∴OC=OD；

（3）∵OC=OD，且DE=EC，

∴OE是线段CD的垂直平分线．

【点睛】本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相关知识．关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形．

20．见解析

【分析】分别作线段的垂直平分线和的角平分线，它们的交点即为点．

【详解】解；如图，点为所作．

【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．

21．（1）作图见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；

（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．

【详解】（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；

（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=30°，

∵∠C=90°，

∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，

∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD平分∠CBA．

【点睛】考查线段的垂直平分线的作法以及角平分线的判定，熟练掌握线段的垂直平分弦的作法是解题的关键.

22．(1)见解析

(2)，．理由见解析

【分析】（1）利用基本作图（作一个角的平分线和过一点作直线的垂线）求解；

（2）先利用等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质和角平分线定义可得，则可判断；接着根据“”证明得到，然后根据等腰三角形的性质，由得到，所以．

【详解】（1）如图所示；

（2），．

理由如下：∵，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，即；

∵点E是的中点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．

23．见解析

【分析】因为P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，所以P应是∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点．

【详解】解：∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点P即为所求，如图，

【点睛】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键．13.2画轴对称图形

一、单选题

1．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）平面直角坐标系内一点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（）

A．（2，﹣3）B．（3，﹣2）C．（﹣2，﹣3）D．（2，3）

2．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）

A．6cmB．5cmC．4cmD．3cm

二、填空题

3．（2022秋·甘肃兰州·八年级期末）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为．

4．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）点关于x轴对称点的坐标是．

5．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）若点M（，a）关于y轴的对称点是点N（b，），则=．

6．（2022秋·甘肃白银·八年级统考期末）已知点与点关于轴对称，则．

7．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）已知点P(a，－3)与Q(1，b)关于x轴对称，则点M(a，b)在第象限

8．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）若点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，则m=；n=．

9．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）若点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，则a+b的值是

三、解答题

10．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．

(1)在图中作出关于轴的对称图形；

(2)写出点，，的坐标．

11．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，作关于y轴对称的图形，并写出点C的对应点的坐标．

12．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形组成的10×10网格，直线是一条网格线，点E，F在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．

(1)作出关于直线对称的；

(2)在直线上画出点M，使四边形的周长最小；

(3)求的面积．

13．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在格点上.

（1）若将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1

（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

14．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．

（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；

（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移4个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出顶点A2，B2，C2的坐标．

15．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小方格的边长都为1，△各顶点都在格点上．若点的坐标为（0，3），请按要求解答下列问题：

（1）在图中建立符合条件的平面直角坐标系；

（2）根据所建立的坐标系，写出点和点的坐标；

（3）画出△关于轴的对称图形△．

16．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，已知，，．

(1)作出关于x轴对称的；

(2)写出点、的坐标，；

(3)计算的面积．

17．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A、B、C三点．

（1）写出顶点A、B、C三点的坐标；

（2）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；

(3)写出点B′和点C′的坐标．

18．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示

（1）请画出关于轴对称的△；（其中、、分别是、、的对应点，不写画法）

（2）直接写出三点的坐标；

（3）求的面积．

19．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）画出关于轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标；

（2）在轴上作出一点，使的值最小，求出该最小值.（保留作图痕迹）

20．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图所示，在直角坐标系xOy中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．

（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；

（2）写出△A1B1C1的顶点坐标；

（3）求出△ABC的面积．

参考答案：

1．B

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P（﹣x，﹣y），进而得出答案．

【详解】解答：解：点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是：（3，﹣2）．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

2．B

【分析】对称轴就是两个对称点连线的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得=,=，所以=++=5cm.

【详解】∵与关于对称，

∴为线段的垂直平分线，

∴=，

同理，与关于OB对称，

∴OB为线段的垂直平分线，

∴=，

∵△的周长为5cm．

∴=++=++=5cm，

故选B

【点睛】对称轴是对称点的连线垂直平分线，再利用垂直平分线的性质是解此题的关键.

3．（﹣1，1），（﹣2，﹣2），（0，2），（﹣2，﹣3）

【详解】如图所示：

（此时不是四边形，舍去），

故答案为

4．

【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是．

【详解】解：点关于x轴对称点的坐标为，

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

5．1

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）得出a，b的值，进而求出答案．

【详解】解：∵点M（，a）关于y轴的对称点是点N（b，），

∴b=-，a=，

则=1．

故答案为：1．

【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，得出a，b的值是解题关键．

6．5

【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解．

【详解】解：由题意得

a=3，b=2，

∴3+2=5．

故答案为：5．

【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数．

7．一

【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答．

【详解】∵点P(a，－3)与Q(1，b)关于x轴对称，

∴a＝1，b＝3，

∴点M坐标为（1，3），在第一象限．

故答案为一．

【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

8．m=-1n=3

【详解】分析：根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数求解即可.

详解：∵点P（m，3）与点Q（1，n）关于y轴对称，

∴m=-1，n=3.

故答案为-1；3.

点睛：本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.

9．-3

【详解】∵点M（a，﹣1）与点N（2，b）关于y轴对称，

∴a=﹣2，b=﹣1，

∴a+b=（﹣2）+（﹣1）=﹣3．

故答案为：﹣3．

10．(1)见详解

(2)

【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点即可；

（2）由（1）得到点，，的坐标；

【详解】（1）如图，为所作；

（2）；

【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．

11．见解析，

【分析】根据轴对称的性质，即可画出图形．

【详解】解：如图所示，即为所求；

点C的对应点的坐标为．

【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．

12．(1)见解析

(2)见解析

(3)3

【分析】（1）根据轴对称的性质确定A、B、C的对应点，顺次连线即可；

（2）连接AB1与直线EF的交点即为点M，此时四边形的周长最小；

（3）用面积法计算即可．

【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）如图，点M为所作；

（3）的面积为：，

答：的面积为3．

【点睛】此题考查作轴对称图形，轴对称的性质，周长最小问题，计算网格中三角形的面积，熟记轴对称的性质是解题的关键．

13．（1）见解析；（2）图见解析，C2（3，-2）

【分析】（1）先根据平移方式得到A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描出A1、B1、C1，最后顺次连接A1、B1、C1即可；

（2）先根据关于x轴对称的点的坐标特征得到A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，然后描出A2、B2、C2，最后顺次连接A2、B2、C2即可

【详解】解：（1）∵是△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，A（2，4），B（1，1），C（3，2），

∴A1（-2，2）、B1（-3，-1）、C1（-1，0），

如图所示，即为所求；

（2）∵与△ABC关于x轴对称，A（2，4），B（1，1），C（3，2），

∴A2（2，-4）、B2（1，-1）、C2（3，-2），

如图所示，即为所求；

【点睛】本题主要考查了画平移图形，画轴对称图形，写出坐标系中点的坐标等等，解题的关键在于能够熟练掌握根据图形的平移确定点的坐标以及关于x轴对称的点的坐标特征．

14．（1）见详解；（2）图见详解，点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣4，﹣1），（﹣1，﹣2），（﹣3，﹣4）．

【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A、B、C点的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用点平移的坐标特征写出点A2，B2，C2的坐标，然后描点即可．

【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣4，﹣1），（﹣1，﹣2），（﹣3，﹣4）．

【点睛】本题考查了关坐标与图形对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数．

15．（1）见解析；（2）点B的坐标为（-3，-1），点C的坐标为（1，1）；（3）见解析.

【分析】（1）根据点A的坐标（0，3）可建立坐标系；

（2）根据所建立的平面直角坐标系可得两个点的坐标；

（3）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得．

【详解】（1）如图所示：

（2）如图所示，点B的坐标为（-3，-1），点C的坐标为（1，1）；

（3）如图所示，△A′B′C′即为所求．

【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．

16．(1)答案见解析

(2)，

(3)9

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；

（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；

（3）利用三角形所在矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解．

【详解】（1）所作图形如图所示：

（2），

（3）的面积

【点睛】本题考查了坐标与图形的变化：轴对称的相关知识，解答的关键在于作出关于x轴对称的．

17．（1）A(0，-2)，B(3，-1)，C(2，1)；（2）图见解析；（3）(-3，-1)，(-2，1)

【分析】（1）根据三角形在坐标中的位置可得；

（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；

（3）利用点的坐标的表示方法求解．

【详解】解：（1）△ABC的各顶点坐标：A（0，-2）、B（3，-1）、C（2，1）；

（2）△A′B′C′如图所示：

（3）(-3，-1)，(-2，1)．

【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键．

18．（1）见解析；（2）A′（2，3）；B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）；（3）5．5．

【分析】（1）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同的长度，线段的端点就是要找的三顶点的对应点，顺次连接；

（2）从画出的图形上找出新图形的三顶点的坐标；

（3）通过割补法，用长方形面积减去三个三角形面积，即△ABC的面积．

【详解】（1）如图所示；

（2）A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）；

（3）．

【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积

19．（1）见解析，；（2）见解析，．

【分析】（1）先根据轴对称的定义画出点，再顺次连接即可得，根据点坐标关于x轴对称的变化规律即可得点的坐标；

（2）根据轴对称的性质、两点之间线段最短可得连接与x轴的交点P即为所求，最小值即为的长，由两点之间的距离公式即可得．

【详解】（1）先根据轴对称的定义画出点，再顺次连接即可得，如图所示：

点坐标关于x轴对称的变化规律：横坐标不变、纵坐标变为相反数

则；

（2）由轴对称的性质得：

则

由两点之间线段最短得：连接与x轴的交点P即为所求，最小值即为的长

由两点之间的距离公式得：．

【点睛】本题考查了画轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短等知识点，熟记轴对称图形与性质是解题关键．

20．（1）如图，△A1B1C1即为所求；见解析；（2）A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣5，1）；（3）S△ABC＝5．

【分析】（1）根据轴对称图形的画法，以轴为对称轴作图即可；（2）根据平面直角坐标系中的任意一点关于轴的对称点为即可求解；（3）根据割补法将三角形补成一个长方形，减去多余三角形的面积即可.

【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）由图可知，A1(﹣3，4)，B1(﹣1，2)，C1(﹣5，1)；

（3）．

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中轴对称图形的画法及对称点坐标的表示，同时还考查了特殊三角形面积的求法，熟练掌握平面直角坐标系对称点的表示及割补法求面积时解决本题的关键.13.3等腰三角形

一、单选题

1．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）已知等腰三角形的一个角为40°，则其底角为（）

A．70°B．100°C．40°D．40°或70°

2．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=35°，则∠BAD=（）

A．110°B．70°C．55°D．35°

3．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）

A．6B．7C．8D．9

4．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个

A．3B．4C．5D．8

5．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（）

A．5B．7C．8D．7或8

6．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）已知等腰三角形的两条边长分别为4和9，则它的周长为（）

A．17B．22C．23D．17或22

7．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（）

A．2B．2.5C．3D．3.5

8．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（）

A．3B．6C．9D．12

二、填空题

9．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，，则的度数是．

10．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．

11．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）在等腰三角形ABC中，，则.

12．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，，则的周长等于．

13．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…△AnBnAn＋1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y＝x上，已知OA1＝1，则OA2023的长为．

14．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为．

15．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为．

16．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）若△ABC的边AB=6cm，周长为16cm，当边时，△ABC为等腰三角形．

17．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为

18．（2022秋·甘肃天水·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边分别为4和10，则它的周长为．

19．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，BC=2cm，DE是AC边的垂直平分线，连接CD，则△BCD的周长是．

20．（2022春·甘肃平凉·八年级统考期末）如图．已知直线，过点作x轴的垂线交直线l于点N，，过点N作直线l的垂线交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点，…；按此作法继续下去，则点的坐标为．

三、解答题

21．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

22．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．

23．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，，求证：

(1)△ABC是等腰三角形；

(2)．

24．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE．

求证：（1）△ABC≌△DEF；

（2）GF＝GC．

25．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，，.

求证：

(1)

(2)

26．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在中，的平分线交于点，．求证：是等腰三角形．

27．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．

（1）求证：△ABE≌△ACF；

（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．

28．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC．

（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由．

（2）若M为DE上的点，且BM平分，CM平分，若的周长为20，BC=8．求的周长．

29．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=10厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上以4厘米/秒由点A出发向C点运动．设运动时间为t秒．

(1)用含t的式子表示第t秒时，BP=________厘米，CQ=________厘米．

(2)如果点P与点Q分别从B，A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CPQ是否全等？请说明理由．

(3)如果点P与点Q分别从B，A两点同时出发，经过几秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形？

30．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，为等边三角形，，，相交于点，于，，．

(1)求证：；

(2)求的长．

31．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．

32．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）问题发现：（1）如图1，在中，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则的数量关系是_______，的数量关系是________．

拓展探究：（2）如图2，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．试求的度数及线段之间的数量关系．

解决问题：（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．试求的度数及线段之间的数量关系．

33．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）数学模型（“一线三等角”模型）

(1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE．

(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）；

(3)如图3，D，E是直线上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由．

34．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD，连接AD，AE，DE．

(1)求证：；

(2)试判断△ADE的形状，并说明理由．

35．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，为等边三角形，，与相交于点，于Q，，．

(1)求证：；

(2)求的度数；

(3)求的长．

36．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，已知中，，于点，的平分线分别交，于点．

(1)试说明是等腰三角形；

(2)若点恰好在线段的垂直平分线上，猜想：线段与线段的数量关系，并说明理由；

(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．

参考答案：

1．D

【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．

【详解】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角==70°；

当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，

故它的底角的度数是70°或40°．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．

2．C

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．

【详解】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∵∠B＝35°，

∴∠BAD＝90°35°＝55°．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

3．C

【分析】分为两种情况：①以为腰时；②以为底时，符合条件的总数即为所求．

【详解】分为两种情况：①以为腰时，符合条件的有点C、D、E、F、G、H；②以AB为底时，符合条件的有点I、J；相加即可得出答案．

①以为腰时，符合条件的有点C、D、E、F、G、H；

②以为底时，符合条件的有点I、J；

共6+2=8，

故选C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．

4．B

【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论

【详解】解：若OM为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧

若ON为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧

若NM为底边，则满足条件的点N有2个，在点O的右侧一个，在点O的左侧一个

由上可知，满足条件的点N共有4个

故选：B

【点睛】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键

5．D

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】解：分两种情况：

当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；

当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8．

故选：D．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

6．B

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】解：（1）如果腰长为4，则三边是：4，4，9；不满足三角形两边之和大于第三边的性质，不成立；

（2）如果腰长为9，则三边是：4，9，9；满足三角形两边之和大于第三边的性质，成立；周长=9+9+4=22．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

7．C

【分析】由△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，得∠ABC=60°，∠ABE=30°，根据EF⊥AB，得∠D=30°，得到BE=DE，在Rt△BEF中，求得BE=2EF=2，即可得答案．

【详解】解：连接BE，

∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，

∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，

∵EF⊥AB，

∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，

∴BE=DE，

在Rt△BEF中，EF=1，

∴BE=2EF=2，

∴BE=DE=2，

∴DF=EF+DE=3，

故选：C．

【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明BE=DE，从而用含30度角的直角三角形的性质解决问题．

8．B

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，，再根据角平分线，求出，然后根据平行线的性质求出，从而得到，最后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．

【详解】解：∵，AD是的中线，

∴，，．

∵AE是的角平分线，

∴．

∵，

∴，

∴．

在中，，

∴．

故选B．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，利用数形结合的思想是解题关键．

9．/50度

【分析】由的垂直平分线交于点，可得，即可证得，又由等腰中，，可得，继而可得：，解此方程即可求得答案．

【详解】解：是的垂直平分线，

，

，

等腰中，，

，

，

解得：．

故答案为：．

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，注意方程思想的应用．

10．112

【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO=28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB=OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE=CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．

【详解】如图，连接OB、OC，

∵OA平分∠BAC，∠BAC=56°，

∴∠BAO=∠BAC=×56°=28°，

∵AB=AC,∠BAC=56°，

∴∠ABC=(180°∠BAC)=×(180°56°)=62°，

∵OD垂直平分AB，

∴OA=OB，

∴∠OBA=∠BAO=28°，

∴∠OBC=∠ABC∠OBA=62°28°=34°，

由等腰三角形的性质，OB=OC，

∴∠OCE=∠OBC=34°，

∵∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，

∴OE=CE，

∴∠OEC=180°2×34°=112°.

故答案为112.

【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于利用等腰三角形的性质求解.

11．400

【详解】试题分析：由条件可判断∠A为顶角，再利用三角形内角和定理求得∠B．

解：∵100°，

∴∠A只能为△ABC的顶角，

∵△ABC为等腰三角形，

∴∠B=∠C=×(180°100°)=40°，

故答案为40°.

12．18

【分析】利用角平分线得到，，根据得到，，于是得到，可得，即可求出的周长．

【详解】解：与的平分线交于点，

，

，，

，，

，，

的周长

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等边对等角，平行线的性质，掌握角平分线的性质，平行线的性质是解题的关键．

13．

【分析】根据△A1B1A2为等腰直角三角形，得出A1B1OA2，∠B1A2O=45°，根据点B1在直线y=x上，∠B1Ox=45°=∠B1A2O，OA1=A1A2，即点A1为OA2的中点，根据OA1=1，得出OA2=2OA1=2，根据△A2B2A3为等腰直角三角形，得出A2B2OA2，∠B2A3O=45°=∠B2OA3，得出OA2=A2A3=2，可求OA3=OA2+A2A3=2+2=4=22，根据△A3B3A4，…△AnBnAn＋1都是等腰直角三角形，可得∠B3A4O=…=∠BnAn＋1O=45°=∠BnOAn，B3A3⊥OA4，…，Bn-1An-1⊥OAn，得出OA4=2OA3=2×4=8=23，…OAn=2OAn-1=2×2n-2=2n-1，当n=2023时，代入求值即可．

【详解】解：∵△A1B1A2为等腰直角三角形，

∴A1B1OA2，∠B1A2O=45°，

又∵点B1在直线y=x上，

∴∠B1Ox=45°=∠B1A2O

∴OA1=A1A2，即点A1为OA2的中点，

又∵OA1=1，

∴A1B1=A1A2=1．OA2=2OA1=2，

∵△A2B2A3为等腰直角三角形，点B2在直线y=x上，

∴A2B2OA2，∠B2A3O=45°=∠B2OA3，

∴OA2=A2A3=2，

∴OA3=OA2+A2A3=2+2=4=22，

∵△A3B3A4，…△AnBnAn＋1都是等腰直角三角形，点B3，Bn在直线y=x上，

∴∠B3A4O=…=∠BnAn＋1O=45°=∠B3OA4=∠BnOAn，B3A3⊥OA4，…，Bn-1An-1⊥OAn，

∴OA4=2OA3=2×4=8=23，

…

∴OAn=2OAn-1=2×2n-2=2n-1

当n=2023时，

∴OA2023=22023-1=22023．

故答案为：22023．

【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，规律型：图形的变化类，等腰直角三角形性质．

14．18

【分析】由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．

【详解】∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠ABO＝∠OBC，

∵MN∥BC，

∴∠MOB＝∠OBC，

∴∠ABO＝∠MOB，

∴BM＝OM，

同理CN＝ON，

∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．

故答案为：18．

【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．

15．6或8/8或6

【分析】分两种情况进行讨论：①当腰长为6时；②当底边长为6时，分别进行求解即可．

【详解】解：设底边长为x，腰长为y，

则，

①当腰长时，

，

；

三边长分别为6，6，8能构成三角形，符合题意；

故；

②当底边长时，

，

；

三边长分别为7，7，6能构成三角形，符合题意；

故；

综上所述，或；

故答案为：6或8．

【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的构成与一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形三边的关系与分类讨论是解答此题的关键．

16．6或5或4

【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的三边关系可得答案.

【详解】解：△ABC的边AB=6cm，周长为16cm，

当时，则符合三角形的三边关系，

当时，则符合三角形的三边关系，

当时，符合三角形的三边关系，

所以为6cm或5cm或4cm.

故答案为：6或5或4

【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.

17．60°或120°

【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．

【详解】解：当高在三角形内部时（如图1），

∵，

∴，即顶角是60°；

当高在三角形外部时（如图2），

∵，

∴，

∴，即顶角是120°．

故答案为：60或120．

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．

18．24

【分析】分4是腰长和10是腰长两种情况，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理即可得．

【详解】解：由题意，分以下两种情况：

（1）当4是腰长时，

则这个等腰三角形的三边长分别为，

，

不满足三角形的三边关系定理，舍去；

（2）当10是腰长时，

则这个等腰三角形的三边长分别为，

，

满足三角形的三边关系定理，

此时它的周长为；

综上，这个等腰三角形的周长是24，

故答案为：24．

【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理，正确分两种情况讨论是解题关键．

19．6cm.

【详解】试题解析：∵DE是AC边的垂直平分线，

∴AD=CD，

∴∠ACD=∠A=30°，

∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，

∴∠B=∠BCD=60°，

∴∠BDC=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∵BC=2cm，

∴△BCD的周长是：2+2+2=6（cm）．

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等边三角形的判定与性质．-

20．

【分析】由∠MON=60°，从而得到∠MNO=∠OM1N=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OM1=4OM，然后表示出OMn与OM的关系，再根据点Mn在x轴上写出坐标即可．

【详解】解：∵点M（1，0），

∴OM=1，

∵∠NOM=60°，

∴ONM=30°，

∴ON=2OM=2．

又∵NM1⊥l，即∠ONM1=90°，

∴∠OM1N=30°，OM1=2ON=41OM=4．

同理，OM2=4OM1=42OM，

OM3=4OM2=4×42OM=43OM，

…

OMn=4nOM=4n．

∴点Mn的坐标是（4n，0）．

故答案是：（4n，0）．

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出变化规律是解题的关键．

21．30°

【分析】根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．

【详解】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，

∴∠DAE=∠CAB=（90°-∠B），

∵DE垂直平分AB，

∴AD=BD，

∴∠DAE=∠B，

∴∠DAE=∠CAB=（90°-∠B）=∠B，

∴3∠B=90°，

∴∠B=30°．

若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．

【点睛】此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，比较简单．

22．见解析

【分析】根据角平分线的性质定理可得DE＝DF，可证得Rt△AED≌Rt△AFD，从而得到AE＝AF，再根据等腰三角形的性质，即可求证．

【详解】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE＝AF，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴AD垂直平分EF．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．

23．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）由AE//BC可得，由AE平分得，从而，故可得结论；

（2）根据SAS证明即可证明AF=CE．

【详解】（1）∵AE//BC

∴

∵AE平分

∴

∴

∴，即△ABC是等腰三角形；

（2）由（1）可得，

∵

∴

∴．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质，能判断出等角对等边是解答本题的关键．

24．（1）证明见解析，（2）证明见解析．

【分析】（1）先根据BF＝CE证明BC＝EF，然后利用“边角边”即可证明△ABC和△DEF全等；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DFE，再根据等角对等边证明即可．

【详解】证明：（1）∵BF＝CE，

∴BF+FC＝CE+FC，

即BC＝EF，

∵AB⊥BE，DE⊥BE，

∴∠B＝∠E＝90°，

在△ABC和△DEF中，

∵，

∴△ABC≌△DEF（SAS）；

（2）∵△ABC≌△DEF

∴∠ACB＝∠DFE

∴GF＝GC．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定，比较简单，证明出BC＝EF是解题的关键．

25．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）求出，利用SAS证明即可；

（2）根据全等三角形的性质求出，根据等角对等边可得结论．

【详解】（1）证明：∵，

∴，即，

∵在△ABC和△DEF中，，

∴（SAS）；

（2）∵

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

26．见解析

【分析】根据的平分线交于点，得到∠ABD=∠CBD；根据，得到∠BDE=∠CBD；继而得到∠ABD=∠BDE，得证EB=ED完毕．

【详解】因为的平分线交于点，

所以∠ABD=∠CBD；

因为，

所以∠BDE=∠CBD；

所以∠ABD=∠BDE，

所以EB=ED，

故是等腰三角形．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义即把角分成相等两个角的射线，等腰三角形的判定，熟练掌握性质，等腰三角形的判定是解题的关键．

27．（1）见解析；（2）80°

【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；

（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．

【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACF，

∵∠BAF＝∠CAE，

∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，

∴∠BAE＝∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA）；

（2）解：∵B＝∠ACF＝30°，

∵∠AEB＝130°，

∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，

∵△ABE≌△ACF，

∴∠CAF＝∠BAE＝20°，

∵AD＝AC，

∴∠ADC＝∠ACD，

∴∠ADC＝＝80°．

答：∠ADC的度数为80°．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

28．（1）是等腰三角形，理由详见解析；（2）28．

【分析】（1）由DE//BC，可知∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边即可求得结论；

（2）由于DE//BC，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，易证BD=DM，ME=CE，根据△ADE的周长为20，BC=8，即可求出△ABC的周长．

【详解】（1）∵DE//BC，

∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE，

∴△ADE是等腰三角形．

（2）∵DE//BC，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，

∴∠MBC=∠DMB=∠DBM，∠MCB=∠MCE=∠EMC．

∴BD=DM，ME=CE．

∵△ADE的周长=AD+AE+DM+ME=20，

∴AD+AE+BD+CE=20．

∴△ABC的周长=（AD+AE+BD+CE）+BC=20+8=28．

29．(1)2t，(12－4t)

(2)△BPD与△CPQ全等，理由见解析

(3)经过1秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形

【分析】（1）根据路程＝速度×时间列式即可；

（2）当t＝2时，求出BP＝2