复生长曲线模型的解析解

复生长曲线模型的解析解

1复正态分布模型生长曲线模型主要用于分析生长曲线。一般复生长曲线模型是指其中Y=(y1,y2,…,yN)是p×N阶观察矩阵,B和A分别为p×q和m×N阶已知复矩阵,ξ为q×m阶复参数矩阵,ε=(ε1,ε2,…,εN)为N×N阶随机误差复矩阵,∑为p×p阶非负定参数复矩阵,W=(ωij)为N×N阶已知非负定复矩阵。假定Y的列向量是取自p维复正态总体容量为N的相关子阵,设复正态总体的协方差矩阵为∑,样本间的相关阵为W,Y的期望值为BξA,则Y服从复矩阵正态分布,记为Y～CNp,N(BξA,∑,W),其密度函数为为讨论方便,进而假定:∑和W均为正定矩阵,A和B的秩分别为m和q,且W=IN(IN为N阶单位阵),于是有Y～CNp,N(BξA,∑,IN)。首先将模型简化。设B0和A0分别为p×(p-q)和N×(N-m)阶复矩阵,且使得和为酉矩阵,从而有其中,A=Δ∑Δ*,和Z分别为p×m和p×(N-m)阶,Z1和Z2分别为q×m和(p-q)×m阶。由此可知其中。从而可知球性检验问题,即检验假设H*:∑=λI(I为单位阵,λ>0且未知)等价于检验假设H:Λ=λI(λ>0且未知),且易知检验假设H的似然比准则为其中y,12=7n—7I2f2V2i。2分布参数的材料中,有为叙述方便,先以引理形式给出以下结论。引理2.1Γ-函数的渐近表示式。对于有界的h,下式成立:其中Rn(x)=o(x-n),Br(h)是r次一级Bernoulli多项式,它由下式确定通过展开并比较两端δr(r=1,2,3)的系数,得到此引理的证明可参见王竹溪、郭敦仁。设k为非负整数,K=(k1,k2,…,kp)为k的划分,其中k1≥k2≥…≥kp≥0,k1+k2+…+kp=k;且记引理2.2记,那么对任何Hermitian正定矩阵S,下述诸式成立:其中为Zonal多项式。此引理的证明参见(CuptaA.k,NagarD.KandJainK。假设参数矩阵具有以下形式其中Λ1,Λ2分别为q×q和(p-q)×(p-q)阶,则有如下结论:引理2.3在参数矩阵Λ具有(6)的形式下,球性检验似然比准则U*的h阶矩为其≥中为正常数且使得。①V1.2～CWq(λ1,n-p+q)与V12及V22相互独立;②～CWq(λ1,p-q)与V1.2及V22相互独立;③V22～CWq-q(A2,n)。由此可知U*的h阶矩为其中期望是对取的。因为V11与相互独立,利用Muirhed中定理8.3.4证明中的类似方法,可知的密度函数f(u)为其中0<η<+∞,,i=1,2。g(a,b)(u)表示参数为a和b的gamma分布的密度函数。式中第三个和第四个求和分别取遍k(1)和k(2)的所有可能划分K(1)和K(2)。由于具有参数为p(n+m+h)-qm+qm+k(1)+k(2)和η的gamma分布的-ph阶矩为将(10)代入(8),即知结论成立。由引理2.3可得到如下结论:推论当原假设H:A=λI(λ>0且未知)成立时,(3)给出的似然比统计量U*的h阶矩为3似然比分布函数在(11)中令n=M+α(α值下面将确定),并利用Mellin逆变换,即知当零假设H成立时,似然比统计量U*的密度函数为其中作变换t=h+M,e=c+M,(12)式化为其中利用引理2.1将φ(t)展开,得到其中由(13)和(14),有利用Nair,U.S中方法,展开,利用引理2.1,有其中将(17)代入(16),比较两端t的同次幂的系数,有同时将(16)代入(15),逐项积分(这是允许的),有进而得到似然比统计量U*的分布函数为其中Iu(·,·)为不完全beta分布函数。再利用引理2.1,分别将(20)右端中的T*和Γ(M+δ)/Γ(M+δ+f+i)展开,得到其中其中ci,j如(17)所示。将(21),(22)代入(20),并选取即得到如下结论:定理3.1当零假设H成立时,似然比统计量U*的分布函数按beta分布函数渐近表示为其中4材料u#的密度函数本小节将依次讨论下述两类接近零假设的备择假设下似然比统计量U*的渐近分布问题:其中Ω,Q均为已知常数矩阵。不失一般性,假设Ω,Q均为对角阵,记为其中Ω1,Q1均为q×q阶,Ω2,Q2均为(p-q)×(p-q)阶。于是在H1和H2下,A均具有(6)的形式。为此利用引理2.3,即知在备择假设H1下,似然比统计量U*的h阶矩为其中于是利用Mellin逆变换得到U*的密度函数为其中按第3小节中的方法,可知U*的分布函数为且Ri(i=0,1,2)之值如下所示:其中另外,利用引理2.1,可知有其中又因为对一个Hermitian矩阵A及充分小的t值,有下式成立利用这一结论,得到将(33),(34),(35)及(22)代入(32),即得到如下结论:定理4.1在备择假设H1下,(3)所示球性检验似然比统计量U*的分布函数可渐近地表示为其中为求在备择假设H2下球性检验似然比统计量U*的分布函数的渐近表示式,只需在对备择假设H1所得到的结论中用替代Ω,在(37)的各系数中作如下替换:即得到如下结论:定理4.2在备择假设H2下,(3)所示球性检验似然比统计量U*的分布函数可渐近表示为且与Z相互独立,