一类势函数的性质

一类势函数的性质

0多元正态总体模型参数的修正检验配置xj1、xj2、。。。xjnj（j.1，2，…，q）是从p维真正态平均氮（j，12j）中提取的随机样本。为了便于说明，将正态平方差的一般矩阵（12）j，j0）进行比较，并考虑yj=12jj1xjsj=j=1（xj）-xj））进行基础验证。简单地说。yj~Νp(μj,12Σj),Sj~Wp(12Σj,nj)(j=1,2,⋯,q)且相互独立.其中ˉXj=1ΝjΝj∑α=1Xjα,μj=Ν12jθj‚nj=Νj-1‚Wp(Σ,n)表示Wishart分布,其密度函数为[212pn|Σ|12nΓp(12n)]-1⋅|S|12(n-p-1)etr(-12Σ-1S)(1)其中Γp(12n)=π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-p+12).设原假设为H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2Ip,其中σ2>0且未知,Ip表示p阶单位矩阵.相应于A≠H检验原假设H的似然比统计量为Λ*=(pΝ)12pnq∏j=1Ν12pΝjj⋅q∏j=1|Sj|12Νj[tr(S1+S2+⋯+Sq)]12pΝ(2)其中Ν=q∑j=1Νj.记n=q∑j=1nj.在上式中用nj代Nj,用n代N,则得到修正似然比统计量为Λ=(pn)12pnq∏j=1n12pnjj⋅q∏j=1|Sj|12nj[tr(S1+S2+⋯+Sq)]12pn(3)对于这种多元正态总体中关于协方差矩阵的球性检验问题,文给出了在与原假设相接近的某些备择假设下修正似然比检验统计量(3)的非零分布的渐近展开式,文给出了修正似然比检验统计量在固定备择假设A≠H之下非零分布的渐近展开式.然而对有关参数的检验问题,我们不仅要给出检验的方法,而且在某种意义上更希望了解和掌握这种检验的性质.在采用修正似然比检验统计量的情形下,文和文证明了这一检验是无偏的,文还给出了当q=1时这一检验的单调性结论.本文将给出当q≥2时这一检验的单调性结论.1正交变换群的vpp工艺设有变换:yj→bΓjyj+α,Vj→b2ΓjVjΓj(j=1,2,⋯,q)(4)其中b≠0,ΓjΓj′=I.易知相对于A≠H检验H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的检验问题在上述正交变换群下保持不变.设lj1,lj2,…,ljp(j=1,2,…,q)为Vj的p个特征根,且不妨设Σj为对角形矩阵:Σj=diag(σj1,σj2,⋯,σjp)(j=1,2,⋯,p)(5)其中σj1,σj2,…,σjp为Σj的p个特征根.将诸Vj的qp个特征根ljt及诸Σj的qp个特征根σjt(j=1,2,…,q;t=1,2,…,p)分别按由大到小的次序排列,记为l1≥l2≥⋯≥lpq,r1≥r2≥⋯≥rqp,则不难证得下述引理的结论成立.引理1对于相应于A≠H检验H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的检验问题,在上述正交变换群(4)下的一组最大不变量是(l1l2,l2l3,⋯,lqp-1lqp),而参数空间上的一组最大不变量是(σ1σ2,σ2σ3,⋯,σqp-1σqp).引理2设V=(vij)p×p～Wp(Σ,n)(n≥p),Σ是以σ1,σ2,…,σp为对角线元素的对角矩阵:Σ=diag(σ1,σ2,…,σp),令rij=vij(viivjj)12,(i≠j,1≤i＜j≤p,i=1,2,⋯,p)rii=1(i=1,2,⋯,p)则子样相关系数矩阵R=(rij)p×p的密度为[Γ(12n)]p[π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-i-12)]-1|R|14(n-p-1)(6)诸vii～σiχ2n(i=1,2,…,p)且相互独立.又R与诸vii相互独立.证明作变换V=diag(v1211,v1222,⋯,v12pp)Rdiang(v1211,v1222,⋯,v12pp),此变换的Jacobian为J(V→R,v11,v22,…,vpp)=∏1≤i＜j≤p(viivjj)12=p∏r=1(vrr)12(p-1),因此,由(1)式可知R与v11,v22,…,vpp的联合密度为f(R,vii,i=1,2,⋯,p)=[Γ(12n)]p[π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-i-12)]-1|R|12(n-i-1).p∏i=1{[212nΓ(12n)σi]-1(viiσi)12n-1exp(-vii2σi)}(7)将上式两端依次对v11,v22,…,vpp积分,即知R的密度如(6)所示,且可知vii～σiχ2ni(i=1,2,…,p)且相互独立.又R与诸vii相互独立.引理3设诸Sj(j=1,2,…,l)相互独立且依次服从12σjχ2nj,又假定σ1≥σ2≥…≥σl,记A≜A(S1,S2,⋯,Sl)={S1,S2,⋯,Sl|l∏j=1Snjj(l∑j=1Sj)-Ν(l)≤c}.其中N(l)=l∑j=1nj,c为常数.令P(A)=P((S1,S2,…,Sl)A).那么,对任一个k(1≤k≤l),当p-2参数δi=σiσi+1(i=1,2,⋯,l-1;i≠k)固定时,P(A)是δk=δkδk+1的单调非减函数.证明参见文.2似然比检验tqp-1由于上述关于多个多元正态总体的协方差矩阵的球性检验问题在正交变换群(4)下保持不变,所以将限于讨论不变检验.由引理1可知任一不变检验是以最大不变量(l1l2,l2l3,⋯,lqp-1lqp)的函数为基础的,即任一不变检验只依赖于这个最大不变量.同时,由于参数空间内的最大不变量为(σ1σ2,σ2σ3,⋯,σqp-1σqp),可知任一不变检验的势函数只通过(σ1σ2,σ2σ3,⋯,σqp-1σqp)依赖于参数.很显然,这一检验问题的似然比检验的拒绝域A=Vj,j=1,2,…,q|Vj>0,j=1,2,…,q;∏j=1q|Vj|nj[tr(V1+V2+⋯+Vq)]pn≤c(其中c是按检验尺码来确定的)在正交变换群(4)下保持不变.作为本文的主要结果,关于这检验的势函数有如下结论成立.定理1在q个实多元正态总体的情形下,相应于备择假设A≠H检验原假设H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的球性检验问题,当qp-2的参数δi=δiδi+1(i=1,2,⋯,qp-1;i≠k,1≤k≤qp-1)固定时,似然比检验的势函数Ρ(A)=Ρ{Vj,j=1,2,⋯,q|Vj>0,j=1,2,⋯,q;∏j=1q|Vj|nj[tr(V1+V2+⋯+Vq)]np≤c}(8)是δk=δkδk+1的单调非减函数.证明由于Vj～Wp(12Σj,nj)(j=1,2,⋯,q)且相互独立,可知Vj(j=1,2,…,q)的联合密度函数为f(V1,V2,…,Vq)=∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Σj|-12nj|Vj|12(nj-p-1)exp-tr(Σj-1Vj)(9)又由于这检验问题在正交变换群(4)下不变,不妨设Σj(j=1,2,…,q)为(5)所示的对角矩阵,于是(9)化为f(V1,V2,⋯,Vq)=∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Vj|12(nj-p-1)∏i=1pσji-12njexp-∑i=1pvjiiσji-1(10)其中vjii(i=1,2,…,p)依次为Vj(j=1,2,…,q)的对角线元素.从而,检验的势函数可表示为Ρ(A)=Ρ(VjA,j=1,2,⋯,q)=∫A∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Vj|12(nj-i-1)∏i=1pσji-12nj·exp-∑i=1pvjiiσji-1dV1dV2…dVq(11)作变换Vj=diag(vj1112,vj2212,⋯,vjpp12)Rjdiag(vj1112,vj2212,⋯,vjpp12)(j=1,2,⋯,q).变换的JacobianJ(Vj→Rj;vj11,vj22,⋯,vjpp,j=1,2,⋯,q)=∏j=1q∏i=1p(σjii)12(p-1),于是(11)式化为Γp(12nj)|Rj|12(nj-p-1)·∫AR∏j=1q∏i=1pσji-12njΓ-p12nj∏i=1pvjii12n-1·exp-∑i=1pvjiiσji-1∏j=1q∏i=1p(dvjii)∏j=1q(dRj)=∫R1⋯∫Rqπ14pq(p-1)(∏j=1q∏i=1pΓ-1(nj-i+12)⋅Γp12nj|Rj|12(nj-p-1)·∫AR∏j=1q∏i=1pσji-12njΓ-1(12nj)(vjii)12nj-1⋅exp(-vjiiσji-1)∏j=1q∏i=1pdvjii∏j=1q(dRj)(12)其中AR=AR(vjii,j=1,2,…,q;i=1,2,⋯,vjii;j=1,2,…,q;i=1,2,…,p∏j=1q∏i=1pvjiinj∑j=1q∑i=1pvjii-np≤c|R1|-n1|R2|-n2⋯|Rq|-nq.注意到(12)式中里层积分的被积函数的乘积因子σjii-12njΓ-1(12nj)(vjii)12nj-1exp(-vjiiσji-1)为vjii~12σjiχ2(nj)的密度函数,因而这里层积分的被积函数就是pq个相互独立随机变量vjii(j=1,2,…,q;i=1,2,…,p)的联合密度函数.对于里层积分应用引理3,并且由引理2可知外层积分与参数无关,即知定理结论正确.3jtrvj-12pnj(1)如在本文引言部分中,提出的检验假设为Η*:Σj=σj2Ι(σj2>0且未知;j=1,2,⋯,q),则检验的修改似然比检验统计量为Λ*=p12pn∏j=1q[|Vj|12nj(trVj)-12pnj],其拒绝域A*为A*=Vj,j=1,2,…,q|Vj>0,j=1,2,…,q;∏j=1