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文档简介
S2
是s2的无偏估计例
设总体的方差D(X)=
s2
>0，则样本方差S2是σ2的无偏估计。
niin
nii
=1X
+
nX
22X
-
2
X-
X
)2
=证明：(n
-
1)
S
2
=
(
Xi
=122ninE
(
X
2
)
=
nE(
X
2
)
-
nE(
X
2
)E(
X
)
-(n
-
1)E(
S
)
=
\
E(
S
2
)
=
s
2
i
=1ni2
-
nX
2=
Xi
=1i
=1=
n{D(
X
)
+
E(
X
)2
}
-
n{D(
X
)
+
E(
X
)2
}s
2n=
n(s
2
+
m
2
)
-
n(
+
m
2
)2=
(n
-
1)s证明无偏性并判断哪个有效例
设总体X~U[0,θ]，
θ
>0
未知，(X1，X2，X3)是取自都是θ的无偏估计；1)2)
上述两个估计量中哪个方差最小？31£i
£3 1£i
£31
i
2
i=
4
minX试证q
=
4
max
X
,
q
X的一
个样本：分析：要判断是否无偏估计，需要计算期望要计算期望，需知道概率密度函数证明：1)
qX
1,, 0
£
x
<
qx
‡
q
0
,
x
<
0
xF
(
x
)
=X
的分布函数为：
0
3
y
2
, 0
£
y
£
q
q
,
else\
fY
(
y)
=
qq403
q
3y
3dy
=
q\
E
(Y
)
=
3令Y
=
max
Xi
,
Z
=
min
Xi
则Y的分布函数为:1£i
£3 1£i
£3FY
(
y)
=
P{Y
£
y}
=
P{maxXi
£
y}1£i£3=
P{X1
£
y,
X2
£
y,
X3
£
y}=
P{X1
£
y}
P{X2
£
y}
P{X3
£
y}X=[F
(
y)]3
0,
x
<
0
xFX
(
x
)
=
q
, 0
£
x
<
q
1,
x
‡
q
Z
,
else
0
3
z
20
£
z
£
q同理可得,
f
(z)
=
q
1
-
q
,q403
q
1z
(q
-
z)2
dz
=
q\
E(Z)
=
331£i
£3
1£i
£3i
i从而,
E
(
4
max
X
)
=
E
(4
min
X
)
=
q31£i
£3
1£i
£3i
i即
4
max
X
和4
min
X
都是q的无偏估计2)80
D(Y
)
=
E(Y
2
)-
E(Y
)2
=
3
q234\
D(
Y
)
£
D(4Z)80D(Z)
=
E(Z2
)-
E(Z)2
=
3
q231£i
£3 1£i
£3i
i即
4
max
X
比
=
4
min
X
的方差小(更有效)q2
相合估计量的证明2例
设
X~N(0,
s
)，证明：2是s
的相合估计量。nX
i
=12i1n分析：证明相合性往往用到切比雪夫不等式，其中涉及期望与方差；这里计算方差较难，可以先化为χ2分布，再利用卡方分布的性质计算。相合估计量的证明是s2的相合ini
=1X
2n例 设
X~N(0,
s
2)，证明：1
n
Xi证明：
E
2
估计量。
1ninX
=
i
=12
X
2i
=11n令Y
=
i
~
c2
(n)
则
s
Ynnni2
1
s
2故D
X
=
D
i
=1
=
nE(X
)
=
n
i
=1
n
i
=12i1E X
2
)=
s
2Yns
22D(Y
)n=s
4n2s
4s
4=
n2
2n=由切比雪夫不等式，有
‡
e
niniXnX
-
EnP
i
=12
i
=12
1
1故2是s
的相合估计量。nXn
i
=
12
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