物理人教版选修3-4学案第十一章2简谐运动的描述

2．简谐运动的描述1．知道什么是振动的振幅、周期和频率。2．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。3．知道简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，明确图象的物理意义及图象信息。4．能用公式描述简谐运动的特征。一面锣，它只有一种声音，用锤敲锣，发出响亮的锣声，锣声很快弱下去，但音调不会发生变化。摆动着的秋千，虽然摆动幅度发生变化，但频率不发生变化。弹簧振子在实际的振动中会逐渐停下来，但频率是不变的。这是什么原因呢？说明了什么问题呢？提示：所有能振动的物体，都有自己固有的周期或固有的频率。这些都是由自身因素所确定的物理量，周期和频率也是描述振动的重要物理量。1．描述简谐运动的物理量(1)振幅A：振动物体离开平衡位置的__________，表示振动的______，是______。(2)全振动：简谐运动是一种周期运动。振子以相同速度相继通过__________所完成的过程称为一个全振动。(3)周期T和频率f：做简谐运动的物体完成一次________所需要的______，叫做振动的周期，单位是______。单位时间内完成________的______，叫做振动的频率，单位是______，简称____，符号是______。周期和频率的关系为__________。(4)相位：描述周期性运动在各个时刻所处的__________。思考：你能区分“振动的快慢”和“振动物体运动的快慢”这两种表述吗？2．简谐运动的一般表达式__________________A表示简谐运动的______；ω是一个与频率成正比的量，叫做简谐运动的________，它也表示简谐运动振动的______，ω＝________＝2πf；(ωt＋φ)代表简谐运动的______，φ表示______时的相位，叫做________。相位差：如果两个简谐运动的频率相等，其初相分别是φ1和φ2，当φ2＞φ1时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1答案：1．(1)最大位移强弱标量(2)同一位置(3)全振动时间s全振动次数赫兹赫Hzf＝eq\f(1,T)(4)不同状态思考提示：振动的快慢用周期T、频率f描述，周期越小，频率越大，表示振动得越快。由于物体做简谐运动是一种变速运动，振动物体运动的快慢只能用瞬时速度描述，它是随时间变化的。由此可认识振幅、周期、频率都是从整体上描述振动特点的物理量。2．x＝Asin(ωt＋φ)振幅“圆频率”快慢eq\f(2π,T)相位t＝0初相位一、如何理解振幅、位移和路程的关系？1．振幅与位移(1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，位移是物体相对于平衡位置的位置变化。(2)振幅是表示振动强弱的物理量，在同一简谐运动中振幅是不变的，而位移却时刻变化。(3)振幅是标量，位移是矢量。(4)振幅在数值上等于位移的最大值。2．振幅与路程(1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅，在半个周期内的路程一定为两个振幅。(2)振动物体在eq\f(1,4)T内的路程可能等于一个振幅，可能大于一个振幅。只有当eq\f(1,4)T的初时刻，振动物体在平衡位置或最大位移处时，eq\f(1,4)T内的路程才等于一个振幅。二、简谐运动的对称性和周期性做简谐运动的物体，运动过程中各物理量关于平衡位置对称。以水平弹簧振子为例，振子通过关于平衡位置对称的两点，其加速度、速度大小相等，动能相等，势能相等。对称性还表现在过程量的相等上，如：从某点到达最大位置和从最大位置再回到该点所需要的时间相等，质点从某点向平衡位置运动时到达平衡位置的时间和它从平衡位置再运动到该点的对称点所用的时间相等。简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可做出如下判断：1．若t2－t1＝nT，则t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。2．若t2－t1＝nT＋eq\f(T,2)，则t1、t2两时刻，描述运动的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。3．若t2－t1＝nT＋eq\f(T,4)或t2－t1＝nT＋eq\f(3T,4)，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体在平衡位置时，t2时刻到达最大位移处；若t1时刻物体在其他位置，t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。三、如何理解简谐运动的表达式？做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)。1．式中x表示振动质点相对平衡位置的位移。2．式中A表示振幅，描述的是振动的强弱。3．式中ω叫做圆频率，它与周期频率的关系为ω＝eq\f(2π,T)＝2πf。可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。4．式中(ωt＋φ)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。5．式中φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态为初相位或初相。6．相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。相位差的取值范围一般为：－π≤Δφ≤π，当Δφ＝0时两运动步调完全相同，称为同相；当Δφ＝π时，两运动步调相反，称为反相。类型一描述简谐运动的物理量【例1】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20cm，某时刻振子处于B点，s，振子首次到达C点，(1)振子的振幅。(2)振子的周期和频率。(3)振子在5s内通过的路程及位移大小。解析：(1)振幅设为A，则有2A＝BC＝20cm，所以A(2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1s；再根据周期和频率的关系可得f＝eq\f(1,T)＝1Hz。(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40s＝eq\f(t,T)·4A＝5×40cm＝2005s的时间为5个周期，又回到原始点B，位移大小为10答案：(1)10cm(2)1s,1Hz(3)200题后反思：一个全振动的时间叫做周期，周期和频率互为倒数关系。简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离。要注意各物理量之间的区别与联系。类型二简谐运动的对称性和周期性【例2】一弹簧振子做简谐运动，周期为T。则下列说法中正确的是()。A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt一定等于eq\f(T,2)的整数倍B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍C．若Δt＝eq\f(T,2)，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定相等D．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相等解析：若Δt＝eq\f(T,2)或Δt＝nT－eq\f(T,2)(n＝1,2,3，…)，则在t和(t＋Δt)两时刻振子必在关于平衡位置对称的两位置(包括平衡位置)，这两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相反，但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等〔只有当振子在t和(t＋Δt)两时刻均在平衡位置时，弹簧长度才相等〕。反过来，若在t和(t＋Δt)两时刻振子的位移、加速度和速度均大小相等、方向相反，则Δt一定等于eq\f(T,2)的奇数倍，即Δt＝(2n－1)eq\f(T,2)(n＝1,2,3，…)。如果仅仅是振子的速度在t和(t＋Δt)两时刻大小相等、方向相反，那么不能得出Δt＝(2n－1)eq\f(T,2)，更不能得出Δt＝neq\f(T,2)(n＝1,2,3，…)。根据以上分析，A、C选项错误。若t和(t＋Δt)两时刻，振子的位移、加速度、速度等均相同，则Δt＝nT(n＝1,2,3，…)，但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出Δt＝nT，所以B选项错误。若Δt＝nT，在t和(t＋Δt)两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相同，D选项正确。答案：D题后反思：不能仅根据两时刻位移或速度是否大小相等、方向相反来判断这一段时间是不是半个周期的奇数倍，必须是位移和速度均大小相等、方向相反的两个时刻之间的时间才为半个周期的奇数倍。同样，也不能仅根据两时刻位移或速度是否相同来判断这一段时间是不是周期的整数倍，必须是位移和速度均相同的两个时刻之间的时间才为周期的整数倍。类型三简谐运动的方程【例3】一个物体沿x轴做简谐运动，振幅为8cm，Hz，在t＝0时，位移是4cm，且向x点拨：简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)。解析：根据题目给出的条件，A＝m，ω＝2πf＝π代入表达式：xsin(πt＋φ)m，由于t＝0时，x＝4cm，所以sinφ＝eq\f(1,2)。根据三角函数可得初相位为：φ＝eq\f(π,6)或φ＝eq\f(5π,6)，再根据此时速度方向沿x轴负方向可以判断出初相位应为后者，故所列关系式为xsin(πt＋eq\f(5π,6))m。答案：x＝sin(πt＋eq\f(5π,6))m题后反思：把简谐运动表达式中对应的项目一一求出即可写出振动关系式，由于振动存在周期性，一定要注意由于周期性带来的多值问题。1如图所示，弹簧振子以O为平衡位置，在BC间做简谐运动，则()。A．从B→O→C为一次全振动B．从O→B→O→C为一次全振动C．从C→O→B→O→C为一次全振动D．从D→C→O→B→O→D为一次全振动2如图是一做简谐运动的物体的振动图象，下列说法正确的是()。A．振动周期2×10－2sB．前2×10－2s内物体的位移是－10C．物体振动的频率为25HzD．物体振动的振幅为103在1min内甲振动30次，乙振动75次，则()。A．s，sB．s，乙的周期为2sC．Hz，HzD．Hz，Hz4某质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，则()。A．当质点再次经过此位置时，经历的时间为一个周期B．当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期C．当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期D．以上三种说法都不对5两个简谐运动分别为x1＝4asin(4πbt＋)，x2＝2asin(4πbt＋)。求它们的振幅之比，各自的频率，以及它们的相位差。答案：1．CD(1)从全振动中路程与振幅间固定关系上解决本题：A项对应的路程是振幅的2倍，B项所述过程为振幅的3倍，C、D所述过程中路程为振幅的4倍，故C、D两项正确。(2)从全振动意义上解答此题：即物体完成一次全振动时，一定回到了初始位置，且以相同的速度回到初始位置，可判断C、D两项正确。2．CD该题考查了从图象中获取信息的能力。周期是完成一次全振动所用的时间，在图象上是两相邻极大值间的距离。所以周期是4×10－2s，A项错误。又f＝，所以f＝25Hz，则C项正确。正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A＝