北京市2022年中考数学一模分类汇编几何综合等边三角形等腰三角形旋转变换

2022年北京市中考数学一模分类汇编——几何综合等边三角形、等腰三角形+旋转变换1.（燕山）已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP:PB的值和∠AMC的度数；（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.CMDAPB（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMCCMDAPB2.（东城）已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=，设BP=，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于的函数关系式．3．（顺义）问题：如图1，在Rt△中，，，点是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为；（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．图14.（延庆）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC>AD图1下面的证法供你参考：把绕点A瞬时间针旋转得到，连接ED，则有,DC=EB∵AD=AE,∴是等边三角形∴AD=DE在中，BD+EB>DE即：BD+DC>AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：图3如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合），图3求证：BD+DC>AD图图2（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论.间接利用旋转变换添加辅助线5．（密云）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．6．（平谷）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.7．（怀柔）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..与中点有关的问题8．（丰台）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．9．（石景山）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；图1图2②当时，上述结论成立；当时，上述结论不成立．图1图210．（海淀）在□ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；MBDCFEANPPMBDCFEANPPNAEFCDB图1图2轴对称+中点+旋转思想添辅助线11．（西城）已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1)求证：BF∥AC；(2)若AC边的中点为M，求证：；(3)当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图1图2轴对称思想添辅助线12.（门头沟）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图l，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长. 13．（昌平）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线AD’、BC’相交于点P．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AD’、BC’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．14.（朝阳）阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．图①图②几何探究与函数关系式问题BCAD15．（通州）已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点BCAD（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论.ADBC（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PEADBC（填：成立或不成立）.（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD=，设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>AC时，求y与x之间的函数关系式.几何最值问题16．（房山）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以为半径作圆.⑴设点P为☉B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，联结DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP；⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=___________；⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______°时，BD有最大值，且最大值为_____；当∠PBC=_________°时，BD有最小值，且最小值为_____．旋转变换中不变量+辅助圆的构造17.（朝阳）在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．备用图相似列方程几何计算18.（大兴）已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）四边形EPGQ（填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值；（3）连结PQ，求的值．2022年北京市中考数学一模分类汇编——几何综合等边三角形、等腰三角形+旋转变换1.（燕山）已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP:PB的值和∠AMC的度数；（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.CMDAPB（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出CMDAPB⑴1，60°………2分⑵不变化.证明：如图，点E在AP的延长线上，CAPDBME∠BPE=α<60CAPDBME∵∠BPC=∠CPD+60°,∠DPA=∠CPD+60°,∴∠BPC=∠DPA.在△BPC和△DPA中，又∵BP=DP，PC=PA，∴△BPC≌△DPA.…………4分∴∠BCP=∠DAP.∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC=120°-∠BCP-∠MAC=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA=120°-∠PAC=60°，且与α的大小无关.……6分⑶不变化，60°…………7分2.（东城）已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=，设BP=，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于的函数关系式．24.（本小题满分7分）解：（1）EF=2．……………1分（2）EF=BF．……………2分证明：∵∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP，∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，∴∠BAP=∠EAQ．在△ABP和△AEQ中，AB=AE，∠BAP=∠EAQ，AP=AQ，∴△ABP≌△AEQ．∴∠AEQ=∠ABP=90°．∴∠BEF．又∵∠EBF=90°-60°=30°，∴EF=BF．……4分(3)在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=．由（2）得30°，在Rt△BDF中，．∴BF=．∴EF=2．∵△ABP≌△AEQ,∴QE=BP=．∴QF=QE＋EF．∴以QF为边的等边三角形的面积y=3．（顺义）问题：如图1，在Rt△中，，，点是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为，点E落在，容易得出BE与DE之间的数量关系为；（2）当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．解：（1）完成画图如图2，由的度数为60°，点E落在AB的中点处，容易得出BE与DE之间的数量关系为BE=DE；……………3分（2）完成画图如图3．猜想：．证明：取AB的中点F，连结EF．∵，，∴，．∴△是等边三角形．∴．①……4分∵△ADE是等边三角形，∴，．②∴．∴．即．③……5分由①②③得△ACD≌△AFE（SAS）．…………6分∴．∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线．∴BE=AE.…………7分∵△ADE是等边三角形，∴DE=AE.∴．……………8分图14.（延庆）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：图1下面的证法供你参考：把绕点A瞬时间针旋转得到，连接ED，则有,DC=EB∵AD=AE,∴是等边三角形∴AD=DE在中，BD+EB>DE即：BD+DC>AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：图3如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C图3求证：BD+DC>AD图图2（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论.（1）证明：把绕点A瞬时针旋转得到，连接ED，---1分则有,DC=EB∵AD=AE,∴是等腰直角三角形∴DE=AD------------------2分在中，BD+EB>DE即：BD+DC>AD-------------------3分（2）BD+DC≥AD---------4分（3）猜想1：BD+DC〈2AD证明：把绕点A顺时针旋转，得到则有,DC=EB，∠ACD=∠ABE---------5分∵∠BAC+∠BDC=180º∴∠ABD+∠ACD=180º∴∠ABD+∠ABE=180º即：E、B、D三点共线---------6分∵AD=AE,在中∵AE+AD>DE即BD+DC〈2AD---------------------7分或者猜想2：--------7分间接利用旋转变换添加辅助线5．（密云）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即．证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE．易证（SAS）．∴AE=AN；∠EAB=∠NAD．∴．又AM为公共边，∴．．即．------------------4分（2）猜想：线段和之间的等量关系为：．证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结AE．易证（SAS）．∴AM=AE；∠MAB=∠EAD．易证（SAS）．．∵，∴．--------------7分6．（平谷）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.(1)……….…...1分(2)线段AE、BF和EF之间的数量关系：.………….…...2分证明：过O作OH⊥OF，交AD于点H，连结HE.….…..3分∵∠1=45°，∠AOB，∴∠2+∠3=∠2+∠4=45°.∴∠3=∠4.由正方形性质可知，OA=OB，∠5=∠6=45°.∴△AOH≌△BOF.............................4分∴BF=AH，OF=OH.………………5分在△EOH和△EOF中∴△EOH≌△EOF.∴EF=EH……6分在Rt△AEH中，∵∴.………7分7．（怀柔）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..24．探究：（1）通过观察可知，EF=BE＋DF.………1分（2）结论EF=BE＋DF仍然成立（如图2）.…………2分证明:将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到，∴△ADF≌，（图2）∴∠1=∠2，A=AF，=DF.∠=∠（图2）又∵∠EAF=∠BAD，即∠4=∠2+∠3.∴∠4=∠1+∠3.又∵∠ABC＋∠D＝180°，∴∠A＋∠ABE=180°，即：、B、E共线.在△AEF与△AEF1中，AF=A，∠4=∠1+∠3，AE=AE∴△AEF≌△AE中，………3分∴EF=E，又E=BE＋B,即：EF=BE＋DF.…………4分（3）发生变化.EF、BE、DF之间的关系是EF=BE－DF.……5分（图3）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC（图3）得到△AB，如图3所示.∴△ADF≌△AB，∴∠BA=∠DAF，A=AF，B=DF.又∵∠EAF=∠BAD，且∠BA=∠DAF∴∠AE=∠FAE.在△AE与△FAE中AF=A，∠AE=∠FAE,AE=AE,∴△AE≌△FAE.…………………6分∴EF=E，又∵BE=B＋E，∴E=BE－B.即EF=BE－DF.…………7分与中点有关的问题8．（丰台）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．解：（1）BM=DM且BM⊥DM．………2分（2）成立．……………3分理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD．易证△EMD≌△CMF．………4分∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．………5分又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．.…………7分9．（石景山）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；图1图2②当时，上述结论成立；当时，上述结论不成立图1图2（1）∠BMD=3∠ADM…………2分（2）联结CM，取CE的中点F，联结MF，交DC于N∵M是AB的中点，∴MF∥AE∥BC，∴∠AEM=∠1，∠2=∠4，………3分∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中点，∴ME=MC，∴∠1=∠2.……….4分∴∠1=∠2=∠3.∴∠BME=3∠AEM.……….5分（3）当0°<∠A<120°时，结论成立；当时，结论不成立.…………7分10．（海淀）在□ABCD中，∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF、EC,N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．（1）如图1，若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；MBDCFEANPPNAEFCDB（2）如图2MBDCFEANPPNAEFCDB图1图2解:（1）NP=MN,∠ABD+∠MNP=180(或其它变式及文字叙述,各1分).………2分（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).M1324PNAEM1324PNAEFCDB∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，∴∠ABD=∠BDC.∵∠A=∠DBC，∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.①……………3分∵∠EDF=∠ABD,∴∠EDF=∠BDC.∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC.即∠BDE=∠CDF.②又DE=DF，③由①②③得△BDE≌△CDF.……………4分∴EB=FC,∠1=∠2.∵N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB,NP=.同理可得MN∥FC，MN=.∴NP=NM.…………5分∵NP∥EB,∴∠NPC=∠4.∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.∵MN∥FC，∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180-∠BDC=180-∠ABD.∴∠ABD+∠MNP=180.……………7分轴对称+中点+旋转思想添辅助线11．（西城）已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1)求证：BF∥AC；(2)若AC边的中点为M，求证：；(3)当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图1图2图图624．证明：（1）如图6．∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，直线DE交直线CH于点F，∴BF=DF，DH=BH．…1分∴∠1=∠2．又∵∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，∴∠A＝∠2．∴BF∥AC．……2分（2）取FD的中点N，连结HM、HN.∵H是BD的中点，N是FD的中点，∴HN∥BF．图7由（1）得BF∥AC，图7∴HN∥AC，即HN∥EM．∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC边的中点为M，∴．∴∠A＝∠3．∴∠EDA=∠3．∴NE∥HM．∴四边形ENHM是平行四边形．………………3分∴HN=EM．∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，∴，即．∴．……………4分（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE．（只猜想结论不给分）证明：连结CD．（如图8）∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，图8∴BC=CD，∠ABC＝∠5图8∵AB＝BC，∴，AB＝CD．①∵∠EDA=∠A，∴，AE=DE．②∴∠ABC＝∠6=∠5．∵∠BDE是△ADE的外角，∴．∵，∴∠A＝∠4．③由①，②，③得△ABE≌△DCE．……………5分∴BE=CE．……………6分由（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．由（1）中所得BF∥AC可得∠BFC=∠ECF．∴∠CFE=∠ECF．∴EF=CE．∴BE=EF．…7分∴BE=EF=CE．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）轴对称思想添辅助线12.（门头沟）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图l，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长. 24.(1)DE=2CE………1分(2)证明：过点B作BM⊥DC于M∵BD=BC，∴DM=CM,………..2分∴∠DMB=∠CMB=90°,∠DBM=∠CBM=∠DBC=60°∴∠MCB=30°BM=BC∵BC=2AC，∴BM=AC.∵∠ACB=120°,∴∠ACE=90°.∴∠BME=∠ACE∵∠MEB=∠AEC∴△EMB≌△ECA∴ME=CE=CM………3分∴DE=3EC………………4分(3)过点B作BM⊥DC于M，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N.∵∠DBF=120°,∴∠FBN=60°.∴FN=BF,BN=BF…5分∵DB=BC=2BF,DN=DB+BN=BF∴DF=BF∵AC=BC,BF=BC∴AC=BF∵∠DBC=∠ACB∴△DBF≌BCA∴∠BDF=∠CBA.∵∠BFG=∠DFB,FBG∽△FDB∴∴,∴BF∴DG=BF,BG=BF∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，∴∠GDH=∠BDF.∠ABC=∠GDH.∵∠BGF=∠DGA,∴△BGF∽△DGH.∴.∴GH=BF.∵BH=BG+GH=BF=10,∴BF=.………….6分∴BC=2BF=4,CM=∴CD=2CM=.∵DE=3EC∴EC=CD=……………..7分13．（昌平）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线AD’、BC’相交于点P．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AD’、BC’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．25．解：EE（1）AD’=BC’，∠APB=∠α．……2分（2）AD’=BC’仍然成立，∠APB=∠α不一定成立．…………3分（3）∠APB=180°-∠α……4分证明：如图3，设OC’，PD’交于点E．∵将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，∴△DOC≌△D’OC’，∴OD=OD’，OC=OC’，∠DOC=∠D’OC’．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，AB=CD,∠ABC=∠DCB．∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴∠DBC=∠ACB．∴OB=OC，OA=OD．∵∠AOB=∠COD=∠C’OD’，∠BOC’=∠D’OA．∵OD’=OA，OC’=OB，∴△D’OC’≌△AOB，∴∠OD’C’=∠OAB．∵OD’=OA，OC’=OB，∠BOC’=∠D’OA，∴∠OD’A=∠OAD’=∠OBC’=∠OC’B．∵∠C’EP=∠D’EO，∴∠C’PE=∠C’OD’=∠COD=∠α．∵∠C’PE+∠APB=180°，∴∠APB=180°-∠α．…………8分14.（朝阳）阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．图①图②23.解：（1）.………………2分（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC.∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC＝EC.∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.∴△CDE为等边三角形.……3分∴DC＝DE.在AE上截取AF＝AB，连接DF，∴△ABD≌△AFD.∴BD＝DF.在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°.∴∠AFD=105°.∴∠DFE=75°.∴∠DFE=∠DEF.∴DF＝DE.∴BD＝DC＝2.…4分作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中，.………………5分∴在Rt△ABG中，.……6分几何探究与函数关系式问题BCAD15．（通州）已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，BCAD（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论.ADBC（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PEADBC（填：成立或不成立）.（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD=，设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>AC时，求y与x之间的函数关系式.25（1）PE＝PD，……………..(1分)PE⊥PD……………..(2分)①当点E在射线BC边上,且交点P在对角线AC上时,连结PB∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。又∵AP＝AP，∴△BAP≌△DAP（SAS）。∴PB＝PD∵点P在BE的垂直平分线上∴PB=PE∴PE＝PD∵△BAP≌△DAP，∴∠DPA＝∠APB.又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，∴∠DPA＝135°－∠ABP。又∵PE＝PB，∴∠BPE＝180°－2∠PBE∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）－180°+2∠PBE＝360°－270°+2∠ABP－180°+2∠PBE=90°∴PE⊥PD……..(3分)②P、C两点重合………..(4分)③当点E在BC边的延长线上且点P在对角线AC的延长线上时,连结PB同理可证∴△BAP≌△DAP（SAS）。F∴PB=PDF∴∠PBA=∠PDA∴∠PBE=∠PDC∵点P在BE的垂直平分线上∴PB=PE∴∠PBE=∠PEB∴∠PDC=∠PEB∴∠DFC=∠EFP∴∠EPF=∠DCF=90°∴PE⊥PD………..(5分)结论成立（3）（1）中的猜想不成立.………..(6分)（4）①当点P在线段AC上时∵四边形ABCD是矩形，AB=6∴DC=AB=6∴∠ABC=∠A