小学奥数面积计算综合题型

./第十八周面积计算〔一专题简析：计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小"桥",就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。图形面积简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积,首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等,然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上,不但容易识别,而且容易计算.上面左图是边长为4的正方形,它的面积是4×4＝16〔格；右图是3×5的长方形,它的面积是3×5＝15〔格.上面左图是一个锐角三角形,它的底是5,高是4,面积是5×4÷2＝10〔格；右图是一个钝角三角形,底是4,高也是4,它的面积是4×4÷2＝8〔格.这里特别说明,这两个三角形的高线一样长,钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形,底是5,高是3,它的面积是5×3＝15〔格；右图是一个梯形,上底是4,下底是7,高是4,它的面积是〔4+7×4÷2＝22〔格.上面面积计算的单位用"格",一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米,1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米,1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位,1格就是一个面积单位.在这一讲中,我们直接用数表示长度或面积,省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积用直线组成的图形,都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积=底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式,而且要会灵活运用.例1右图中BD长是4,DC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积=4×高÷2.三角形ADC面积=2×高÷2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底,这条边上的高就是三角形的高,所以每个三角形都可看成有三个底,和相应的三条高.例2右图中,BD,DE,EC的长分别是2,4,2.F是线段AE的中点,三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解：BC＝2＋4＋2＝8.三角形ABC面积=8×4÷2＝16.我们把A和D连成线段,组成三角形ADE,它与三角形ABC的高相同,而DE长是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AE的一半,三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形DFE面积=16÷4＝4.例3右图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影部分面积.解：ABEF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2,它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理,FECD也是长方形,它内部三个三角形〔阴影部分面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半,也就是20×12÷2＝120.通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形〔阴影部分的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形ABCD〔阴影部分的面积是多少？解：把A和C连成线段,四边形ABCD就分成了两个,三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说,AB是底边,高是10,因此面积=4×10÷2＝20.对三角形ADC来说,DC是底边,高是8,因此面积=7×8÷2＝28.四边形ABCD面积=20＋28＝48.这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE＝3,DF＝2,求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的,但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形ABE面积=3×6×2＝9.三角形BCF面积=6×〔6-2÷2＝12.三角形DEF面积=2×〔6-3÷2＝3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形BEF面积=6×6-9-12-3＝12.例6在右图中,ABCD是长方形,三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ABMD〔阴影部分的面积.解：四边形ABMD中,已知的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积,然后用长方形ABCD的面积减去它们,由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线段连起来,将三角形DCE分成两个三角形.三角形DCE的面积是7×2÷2＝7.因为M是线段DE的中点,三角形DMC与三角形MCE面积相等,所以三角形MCE面积是7÷2＝3.5.因为BE＝8是CE＝2的4倍,三角形MBE与三角形MCE高一样,因此三角形MBE面积是3.5×4＝14.长方形ABCD面积=7×〔8＋2=70.四边形ABMD面积=70-7-14＝49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形,它的两条直角边一样长,这样的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一个直角〔90度,还有两个角都是45度,通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形,可以拼成一个正方形,如图〔a.四个一样的等腰直角三角形,也可以拼成一个正方形,如图〔b.一个等腰直角三角形,当知道它的直角边长,从图〔a知,它的面积是直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长,从图〔b知,它的面积是斜边的平方÷4例7右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长,恰好是前一个斜边长的一半,求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半,第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.这一个图形的面积是32＋16＋8＋4＋2＋1＝63.例8如右图,两个长方形叠放在一起,小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点,并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么图中阴影部分的总面积是多少？解：为了说明的方便,在图上标上英文字母D,E,F,G.三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边,与三角形ADE的直角边一样长,因此三角形ADE面积=ABC面积×2＝4.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.阴影部分的总面积是4＋1＝5.例9如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7,BC＝3,三个角的度数：角B和D是直角,角A是45°.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE,切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45°,角D是90°,角E是180°-45°-90°＝45°,所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积,是这两个等腰直角三角形面积之差,即7×7÷2-3×3÷2＝20.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的,这就大错特错了.这样做,角A是45°,这一条件还用得上吗？图形上线段相等,两个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据,小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角,你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10在右图11×15的长方形内,有四对正方形〔标号相同的两个正方形为一对,每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形〔阴影部分面积是多少？解：长方形的宽,是"一"与"二"两个正方形的边长之和,长方形的长,是"一"、"三"与"二"三个正方形的边长之和.长-宽=15-11＝4是"三"正方形的边长.宽又是两个"三"正方形与中间小正方形的边长之和,因此中间小正方形边长=11-4×2＝3.中间小正方形面积=3×3＝9.如果把这一图形,画在方格纸上,就一目了然了.例11从一块正方形土地中,划出一块宽为1米的长方形土地〔见图,剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地,我们已知道长-宽=1〔米.还知道它的面积是15.75平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？如果能求出,那么与上面"差"的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起,如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形,如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形,仔细观察一下,就会发现,它的边长,恰好是长方形的长与宽之差,等于1米.现在,我们就可以算出大正方形面积：15.75×4+1×1＝64〔平方米.64是8×8,大正方形边长是8米,也就是说长方形的长+宽=8〔米.因此长=〔8＋1÷2＝4.5〔米.宽=8-4.5＝3.5〔米.那么划出的长方形面积是4.5×1＝4.5〔平方米.例12如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6,求三角形AEG〔阴影部分的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此四边形AECD面积=〔小正方形边长+大正方形边长×大正方形边长÷2三角形ADG是直角三角形,它的一条直角边长DG=〔小正方形边长+大正方形边长,因此三角形ADG面积=〔小正方形边长+大正方形边长×大正方形边长÷2.四边形AECD与三角形ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有,因此,三角形AEH与三角形HCG面积相等,都加上三角形EHG面积后,就有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半=6×6÷2＝18.十分有趣的是,影阴部分面积,只与小正方形边长有关,而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难,但可以给你启发的内容不少,请读者仔细体会.例13画在方格纸上的一个用粗线围成的图形〔如右图,求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个,面积为1的三角形有5个,面积为1.5的三角形有1个,因此围成面积是4×4-3-5-1.5＝6.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14下图中ABCD是6×8的长方形,AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AEF中,我们知道一边AF,但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB,底边AB,就是长方形的长,高是长方形的宽,即BC的长,面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半,而扩大的三角形AFB是直角三角形,它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它的面积.因此三角形AEF面积＝〔三角形AEB面积-〔三角形AFB面积＝8×6÷2-4×8÷2＝8.这一例题告诉我们,有时我们把难求的图形扩大成易求的图形,当然扩大的部分也要容易求出,从而间接地解决了问题.前面例9的解法,也是这种思路.例15下左图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分的面积〔阴影部分有多大？解：我们首先要弄清楚,平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出,底是2,高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与10×2的长方形面积相等.可以设想,把这个平行四边形换成10×2的长方形,再把横竖两条都移至边上〔如前页右图,草地部分面积〔阴影部分还是与原来一样大小,因此草地面积=〔16-2×〔10-2＝112.例16右图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积.解：实际上,阴影部分是一个梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出,ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC,是直角边AD的长减去3,高就是DC的长.因此阴影部分面积等于梯形ABCD面积=〔8＋8-3×5÷2＝32.5.上面两个例子都启发我们,如何把不容易算的面积,换成容易算的面积,数学上这叫等积变形.要想有这种"换"的本领,首先要提高对图形的观察能力.例17下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知AF,FE,EC都等于3,CB,BD都等于4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=〔3＋3＋3×4÷2＝18.三角形CDE面积=〔4＋4×3÷2＝12.这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG,只要减去这个重叠部分,所求图形的面积立即可以得出.因为AF＝FE＝EC＝3,所以AGF,FGE,EGC是三个面积相等的三角形.因为CB＝BD＝4,所以CGB,BGD是两个面积相等的三角形.2×三角形DEC面积=2×2×〔三角形GBC面积＋2×〔三角形GCE面积.三角形ABC面积=〔三角形GBC面积＋3×〔三角形GCE面积.四边形BCEG面积=〔三角形GBC面积＋〔三角形GCE面积=〔2×12＋18÷5＝8.4.所求图形面积=12＋18-8.4＝21.6.例18如下页左图,ABCG是4×7长方形,DEFG是2×10长方形.求三角形BCM与三角形DEM面积之差.解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.〔三角形BCM面积-〔三角形DEM面积=〔梯形ABEF面积-〔两个长方形面积之和=〔7＋10×〔4＋2÷2-〔4×7＋2×10=3.例19上右图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少？解：所求的影阴部分,恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分,而面积为13,49,35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分,因此〔三角形ABC面积+〔三角形CDE面积＋〔13＋49＋35＝〔长方形面积＋〔阴影部分面积.三角形ABC,底是长方形的长,高是长方形的宽；三角形CDE,底是长方形的宽,高是长方形的长.因此,三角形ABC面积,与三角形CDE面积,都是长方形面积的一半,就有阴影部分面积=13＋49＋35＝97.例题1。18－1ABCFEDABCFED18－1ABCFEDABCFED18－118－1[思路导航]阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF〔等底等高,采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。因为BD=EQ\F<2,3>BC,所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED,所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。因此,S△ABC＝5S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米,所以S△DCF＝8÷5＝1.6〔平方厘米,则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2〔平方厘米。练习1如图18－2所示,AE＝ED,BC=3BD,S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。如图18－3所示,AE=ED,DC＝EQ\F<1,3>BD,S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。AABCFEDA如图18－4所示,DE＝EQ\F<1,2>AE,BD＝2DC,S△AABCFEDAFFEFFEEEDBCCDBDBCCDB18－418－318－218－418－318－2例题2。两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图18－5所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少？BBCDAO66121218－518－5[思路导航]已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等〔等底等高可知：S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。答：△AOD的面积是3。练习2两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,〔如图18－6所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少？已知AO＝EQ\F<1,3>OC,求梯形ABCD的面积〔如图18－7所示。BCBCDAOBBCDAO4B4BCDAO84848818－818－818－718－618－6例题3。D四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积〔如图18－9所示。DFAFAEE18－9CB18－9CB[思路导航]由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形,它们的面积相等。同理,三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知,三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。15×3＝45〔平方厘米答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。练习3四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积〔如图18－10。已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积〔如图18－11所示。如图18－12所示,求阴影部分的面积〔ABCD为正方形。6EADADD6EADADDEGAEGA4F4F·FG·FGCBCBECBCBCBECB18－1218－1118－1018－1218－1118－10例题4。BABADCOEE18－1318－13[思路导航]因为BO＝2DO,取BO中点E,连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质,可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4,类推可得每个三角形的面积。所以,S△CDO＝4÷2＝2〔平方厘米S△DAB＝4×3＝12平方厘米S梯形ABCD＝12+4+2＝18〔平方厘米答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。练习4如图18－14所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC＝2AO。求梯形面积。已知OC＝2AO,S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积〔如图18－15所示。D已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO,求梯形的面积〔如图18－16所示。DOADABADCOOADABADCOOO18－16CB18－1518－14CB18－16CB18－1518－14CB例题5。如图18－17所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。AFFAAFFACCCCEEDEDBDEDB18－1718－17[思路导航]连接AE。仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法。由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半〔16÷2＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5