6.3.1平面向量基本定理【高效备课精讲精研】高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教2019A版必修第二册

6.3.1

平面向量基本定理回顾：向量共线定理:位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。思考：平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？

我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.

类似地，我们能否将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢?探究1

如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量.将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？OMN思考1再给出另一个向量a，还能这样表示吗？思考2与e1或e2共线的向量，能这样表示吗？思考3零向量，也能这样表示吗？结论1：平面上任意一个向量a都可以表示为：a=λ1e1+λ2e2探究2

如果给定的两向量e1，e2共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？结论2：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量.探究3

现在我们知道，平面内任何一个向量a，都可以用两个不共线的向量e1，e2表示为a=λ1e1+λ2e2.在这种表示方法中，这样的实数λ1，λ2是唯一的吗？如何证明？结论3：有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2成立.

1.平面向量基本定理若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.基底思考1作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.思考2同一平面内的基底有多少对？思考3若e1，e2能作为基底，那么e1，3e2能作为基底吗？

e1+3e2，e1-2e2能作为基底吗？2.基底例1(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是A.e1＋e2和e1－e2

B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2

D.e1和e1＋e2题型一：对基底概念的理解①基底不共线②基底不唯一3.平面向量相等的充要条件

如果e1，e2不共线，且a=λ1e1+λ2e2，b=μ1e1+μ2e2，那么练习：已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝_____.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，，用{a，b}为基底表示CABEDF例2（课本P27T1）

题型二：用基底表示向量练习1已知向量e1、e2不共线，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，请用a，b表示c.变式已知向量e1、e2不共线，a=-e1+3e2，b=4e1+2e2，c=-3e1+12e2，试以{a，c}为基底表示b.题型二：用基底表示向量练习2

如图，在△OAB中，OC为中线，点D为线段OB靠近O点的三等分点，AD交OC于点M，若，求x的值.OABDCM题型三：平面向量基本定理的应用题型三：平面向量基本定理的应用题型三：平面向量基本定理的应用因为点E是BD的中点，反思感悟(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.类型三：平面向量基本定理在几何中的应用例3如图，CD是△ABC的中线，且

CD＝

AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形．CADB因